敦煌出土藏文九九乘法寫本與西藏籌算中的九九乘法表的關(guān)系研究

內(nèi)容摘要：敦煌藏文寫本已鑒別出3件藏文九九乘法寫本，即法國國家圖書館藏伯希和收集品之P.T.1070與P.T.1256

和敦煌莫高窟北區(qū)出土寫本B59：10。關(guān)于這3件藏文寫本的歷史年代、文字特點(diǎn)、內(nèi)容、數(shù)學(xué)含義等學(xué)術(shù)界多有探討，但多數(shù)研究忽略了敦煌藏文九九乘法寫本與西藏籌算中的九九乘法寫本的淵源關(guān)系。故此，本文嘗試在已有的研究基礎(chǔ)上，對敦煌藏文九九乘法寫本及西藏籌算中的九九乘法寫本方面做進(jìn)一步研究，以便梳理敦煌本藏文九九乘法寫本與西藏籌算中的九九乘法寫本的關(guān)系及其發(fā)展演變。

關(guān)鍵詞：九九乘法表;藏文寫本;歷史淵源;比較

中圖分類號：G256.1? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1000-4106（2019）05-0102-09

A Study on the Relationship between the Multiplication

Table from a Dunhuang Manuscript in Tibetan and

the Multiplication Table Appearing in

Tibetan Calculation with Counting Rods

CAIXIANG Duojie

（Institute of Social Economy， China Tibetology Research Center， Beijing 100101）

Abstract： Among a group of recently reexamined Tibetan manuscripts from Dunhuang， 3 have been identified as multiplication tables in Tibetan： 2 of these（P. T.1070 and P. T.1256）are currently held by the Pelliot Collection of the National Library of France， while the other（B59： 10）was excavated from the Northern Area of the Mogao Grottoes. Much research has been done on the historical origins， scriptural features， and the mathematical content and concepts of the three manuscripts， but the historical connection between the Tibetan multiplication table from these Dunhuang documents and that found in Tibetan calculation with counting rods has been entirely overlooked. This paper compares the two versions of the multiplication tables， hoping to elucidate the relationship between their content and historical development.

Keywords： multiplication table; manuscript in Tibetan; historical origin and relationship; comparison

前 言

20世紀(jì)初在敦煌莫高窟藏經(jīng)洞發(fā)現(xiàn)了大批歷史文獻(xiàn)，其中藏文歷史文獻(xiàn)數(shù)量較多，據(jù)統(tǒng)計(jì)約有5000卷，大部分現(xiàn)藏于法國巴黎國立圖書館和英國倫敦印度事務(wù)部圖書館。這些文獻(xiàn)涉及宗教、歷史、法律、文學(xué)、醫(yī)藥、科技、社會經(jīng)濟(jì)等，內(nèi)容非常廣泛。其中十余件藏漢算書九九乘法寫本不僅對西藏早期的算術(shù)起源和發(fā)展提供了史料證據(jù)，也對藏漢文化交流淵源提供了新的例證。

據(jù)有關(guān)研究結(jié)果，漢文寫本已經(jīng)鑒別出11件（其中就包含12件九九乘法寫本）。這些寫本為：英國大英博物館斯坦因收集品的S.19、S.983v、S.4569、S.6167、S.8336v等5種（6份）;法國國家圖書館藏伯希和收集品的P.3349、P2502v、P.3102v等三種;俄藏Дx.2145v、Дx.2904以及敦散226 （羽037R）等[1]。已鑒別的藏文寫本有3件， 包括法國國家圖書館藏伯希和收集本P.T.1070和P.T.1256，敦煌莫高窟北區(qū)出土寫本B59：10。另外，本人在新發(fā)現(xiàn)的籌算文本中，又找到晚期的藏文九九乘法寫本，以下分別介紹。

一 藏文寫本P.T.1256{1}（圖1）

（二）寫本內(nèi)容及歷史年代

從 P.T.1256的內(nèi)容來看，本人推斷，這一寫本并非藏文九九乘法寫本，而是由漢文版的乘法表音譯而來的。

P.T.1256的歷史年代，可以從兩個方面進(jìn)行分析：第一，對九九乘法寫本的藏文字體與同時期的文獻(xiàn)字體進(jìn)行對比;第二，從藏文音譯表達(dá)特點(diǎn)上進(jìn)行探析。

從藏文字體來看，此寫本與敦煌出土的同時期其他古藏文字體類型相近，但從藏文字母的運(yùn)用特點(diǎn)來看，與敦煌早期和中晚期的古藏文字母具有較大差異，因此P.T.1256中的字母可以認(rèn)為是藏文文字形成規(guī)范化之后出現(xiàn)的，因?yàn)榕c同時期的敦煌古藏文字文獻(xiàn)比較發(fā)現(xiàn)，敦煌古藏文字文獻(xiàn)中經(jīng)常出現(xiàn)的音律符號的正反使用和每個單元字母互換等寫法在此寫本中均未出現(xiàn)。另外，在藏文詞、句、章節(jié)收尾中所用的垂直符號，比如單垂符、雙垂符、四垂符的使用，本寫本雖然與敦煌古藏文相近，但從其字母和音律符號上判斷，仍然可以推斷此寫本是吐蕃晚期或公元9世紀(jì)之后出現(xiàn)的。另外，藏文“”的用法自藏文規(guī)范厘定后便沒有出現(xiàn)在正規(guī)的書面敘述中。而此處連續(xù)出現(xiàn)17次，因此，本人推斷此寫本所出現(xiàn)的地區(qū)可能沒有及時規(guī)范藏文的書面敘述，也可能是為方便翻譯和使用漢文版的九九乘法表而使用“特殊字符”的。

從音譯的表達(dá)上來看，雖然是漢文九九乘法口訣譯成藏文，但是幾個細(xì)節(jié)仍值得進(jìn)一步探討。一是其九九乘法表口訣是從大到小排列，即從九九八十一到一一得一，這與現(xiàn)行的漢語乘法口訣九九表順序相反，但卻與藏族籌算{1}和歷算中的口訣相同。值得注意的是，數(shù)學(xué)史家杜石然在《中國數(shù)學(xué)簡史》中稱：“據(jù)現(xiàn)有的資料，‘九九歌最初是由‘九九八十一到‘二二而四，至少到公元1、2世紀(jì)時仍是如此。把‘九九歌擴(kuò)充至‘一一如一，這大約是公元5至10世紀(jì)間的事，最早到魏晉時代，中國數(shù)學(xué)家才確定了乘法定義?！盵2]這樣看來漢語九九乘法表也在此時形成。二是這部文書共出現(xiàn)138個帶i元音的韻母（部分是單元音i做韻母，部分是元音i加不同的輔音尾音），未發(fā)現(xiàn)早期文書中常見的反元音[3]。由此看來，可推斷此文本可能成于吐蕃晚期。三是從吐蕃占領(lǐng)瓜州、沙州的整個時期（786—848）[4]來看，敦煌漢民族文化對吐蕃的影響很大，吐蕃人便開始學(xué)習(xí)漢語與漢文化。此現(xiàn)象可以從敦煌發(fā)現(xiàn)的藏文注音文本中得到證明，如藏文注音的漢文啟蒙讀物《千字文》《百家姓》等，還可從編寫漢藏日常用語對照詞匯得到進(jìn)一步的證明，如P.T.1263、P.T1262等。此外，在敦煌的宗教生活中，漢藏語之間的共同使用也是較為普遍的事。有文獻(xiàn)證明，當(dāng)時的吐蕃統(tǒng)治者曾組織人力對漢文佛經(jīng)用藏文進(jìn)行注音或?qū)保鐚Α栋闳舨_蜜多心經(jīng)》等的注音（見敦煌文獻(xiàn)P.T.488），對《瑜伽師地論—菩薩地》標(biāo)注的漢藏詞匯對照（見P.3301）等。由此可見，當(dāng)時對漢文化的學(xué)習(xí)和交流在文獻(xiàn)的藏漢注音和對勘上有一定的表現(xiàn)。

由此可見，此九九乘法表寫本雖是藏文寫本，但其實(shí)質(zhì)是由漢文九九表的音譯而來，時間上可以斷定為吐蕃晚期或公元9世紀(jì)之后。內(nèi)容上，它與先前漢文九九表相符，與其他敦煌算書寫卷幾乎相同，因此筆者認(rèn)為此寫本或許為當(dāng)時吐蕃人學(xué)習(xí)漢文九九表的一種方法。

二 P.T.1070藏文九九乘法寫本（圖2）

（一）寫本內(nèi)容漢譯

寫本原文：

漢譯：

九九八十一， 九八七十二， 九七十二六十三， 九六五十四， 九五四五， 九四三十六， 九三廿七，九二一十八， 一九得九， 八八六十四， 七八七五十六， 八六一十三[四十八]， 八六二十八[八五四十]，八四一十五[三十二]， 四六一十三[二十四]， 廿

（二）寫本內(nèi)容及歷史年代

從內(nèi)容上看，這件寫本共15句，從九九八十一開始到四六一十三，再到廿十。其中多個內(nèi)容個人推斷可能為抄寫錯誤，或抄錄者已經(jīng)意識到抄寫錯誤，并且錯誤較多而停筆，所以我們可以看到此九九乘法寫本并不完整。

三 B59：10 a和b寫本

（一）寫本內(nèi)容漢譯

1. B59：10a藏文九九乘法寫本正面（圖3）

原文：

漢譯：

九七六十三， 九六二九十八，九1九八五五八四十， 八4八 八， 七七四十九 七3三七二十， 七22七 十，六四4六廿十四，六3三六 廿十五，五四四五廿十，五三3五

2. B59：10b 藏文九九乘法寫本背面（圖4）

原文：

漢譯：

四3三四十二，四2二四， 三六，三1一三三，伊—國王，結(jié)束

（二）內(nèi)容及歷史年代

敦煌莫高窟北區(qū)出土的B59：10藏文寫本殘片，共11行，其背面第4行內(nèi)容無法辨認(rèn)。字體為吳邁字體，寫在藏文長卷式書上，內(nèi)容為九九乘法。

從字體上看，與其相仿的吳邁字體從佛教后弘期開始較為普遍，且卷中沒有發(fā)現(xiàn)音符的正反使用及三十個字母中每個單元字母的互換使用，在文體上與現(xiàn)今使用的藏文并無兩樣，所以也可認(rèn)為是后弘期的文字。另外，■符號的使用，與伏藏文獻(xiàn)相像。因一般伏藏文獻(xiàn)均用此類標(biāo)記，是否為伏藏文獻(xiàn)有待考究。

從字義上看，可以看出與前面的兩卷文書略有差別。比如：“”“”“”等上看，與前面P.T.1070 藏文九九表相比有明顯的變化，可以認(rèn)為是藏文厘定改革后的寫卷。但是“”等表達(dá)方法還未有變化，也寫成“”，與現(xiàn)在藏語中“”的寫法不同，又比如“”顯然出現(xiàn)了語法上的錯誤?！啊钡暮蠹幼帧啊庇梅柗旁凇啊钡纳厦?，這是受到梵語的影響。另外“”中同時使用數(shù)字和文字的敘述，這與西藏籌算中的使用方法完全相同。筆者收集整理的近12本藏族籌算文獻(xiàn)[5]中大部分內(nèi)容均用此類敘述方式，這是西藏?cái)?shù)學(xué)的一大重要特征。另外，“”“”等數(shù)學(xué)模式早在五世達(dá)賴?yán)飼r期就已經(jīng)很普遍。筆者推斷這種模式在薩迦或更早時期均有使用，因?yàn)槊耖g的九九乘法口訣基本是按照此方法進(jìn)行的，尤其在五世達(dá)賴?yán)飼r期，德炯安南達(dá){1}所撰寫的《提煉九章》{2}已有明細(xì)，而且念法幾乎一樣，均帶韻律及格律式朗誦。

四 《德炯素算》中出現(xiàn)的九九乘法表

（圖5）

從現(xiàn)有的資料來看，《德炯素算》出現(xiàn)在五世達(dá)賴?yán)飼r期，即17世紀(jì)[6]，故價值非常之大。內(nèi)容上分八章，從隹差到素算、卓算、恰主、速算、各莊園收支計(jì)算、恰山、那呷、銀差等的算法運(yùn)演描述詳盡，而且對九九乘法以表格的形式加以應(yīng)用，并附有口訣念法，非常詳細(xì)。

（一） 寫本內(nèi)容及其用國際通用數(shù)字表達(dá)（表1）

1. 寫本內(nèi)容

2. 用國際通用數(shù)字表達(dá)（表2）

從表2中可以看出，在17世紀(jì)，藏文九九乘法表已經(jīng)形成了統(tǒng)一的體系，其乘法是從大到小，即9乘1到2乘1，跟以上敦煌寫本有差別的是，其乘法表有9乘10、8乘10、7乘10、6乘10等變化外，可以明顯看出其這一乘法表有一定的繼承關(guān)系。

（二）具體念法及漢譯{1}

藏文念法：

漢譯：

九一一九是為九，九二二九是為十八，九三三九是為二十七，九四四九是為三十六，九五五九是為四十五，九六六九是為五十四，九七七九是為六十三，九八八九是為七十二，九九是為八十一，九十十九是為九十。

八一一八是為八，八二二八是為十六，八三三八是為二十四，八四四八是為三十二，八五五八是為四十，八六六八是為四十八，八七七八是為五十六，八八是為六十四，八九九八是為七十二，八十十八是為八十。

七一一七是為七，七二二七是為十四，七三三七是為二十一，七四四七是為二十八，七五五七是為三十五，七六六七是為四十二，七七是為四十九，七八八七是為五十六，七九九七六十三，七十十七是為七十。

六一一六是為六，六二二六是為十二，六三三六是為十八，六四四六是為二十四，六五五六是為三十，六六是為三十六，六七七六是為四十二，六八八六四十七，六九九六是為五十四，六十十六是為六十。

五一一五是為五，六二二六是為十二，六三三六是為十八，六四四六是為二十四，六五五六是為三十，六六是為三十六，六七七六是為四十二，六八八六是為四十八，六九九六是為五十四，六十十六是為六十。

四一一四是為四，四二二四是為八，四三三四是為十二，四四是為十六，四五五四是為二十，四六六四十為二十四，四七七四是為二十八，四八八四是為三十二，四九九四是為三十六，四十十四是為四十。

三一一三是為三，三二二三是為六，三三是為九，三四四三是為十二，三五五三是為十五，三六六三是為十八，三七七三是為二十一，三八八三是為二十四，三九九三是為二十七，三十十三是為三十。

二一一二是為二，二二是為四，二三三二是為六，二四四二是為八，二五五二是為十，二六六二是為十二，二七七二是為十四，二八八二是為十六，二九九二是為十八，二十十二是為二十。

（三）內(nèi)容分析

從17世紀(jì)的藏文九九乘法表及其念法來看，這個時期的九九乘法表跟上述提到的P.T.1070和B59：10的九九乘法寫本相比，既有傳承發(fā)展，又有很多差異。甘丹頗章時期出現(xiàn)的藏文九九乘法表里用“九一一九是為九，九二二九是為十八，九三三九是為二十七，九四四九是為三十六，九五五九是為四十五，九六六九是為五十四，九七七九是為六十三，九八八九是為七十二，九九是為八十一，九十十九是為九十”的乘法，這與P.T.1070的 “九九八十一， 九八七十二， 九七十二六十三， 九六五十四， 九五四五， 九四三十六， 九三廿七，九二一十八”及B59：10中的“九七六十三， 九六”等相比較，其順序及表達(dá)方法上具有相對的一致性，可以認(rèn)為甘丹頗章時期的九九乘法表就是在以上兩種九九乘法寫本的基礎(chǔ)上加以發(fā)展和完善的。而且從P.T.1070和B59：10的文字上可以看到其九九乘法表就是由藏文文字的形式進(jìn)行抄寫保存的，雖然B59：10中有藏文和數(shù)字并存的方式，但總體上可以看出九九乘法是以口頭或文字的形式出現(xiàn)的，而到甘丹頗章時期既有口頭的念法，又有文字的記錄，并且很多時候都是以表格的形式出現(xiàn)，在一定程度上講，這個時期就是藏文九九乘法表的成熟期。

從文字上看，P.T.1070和B59：10兩種寫本均有很多藏文厘定以前的內(nèi)容，或在語法上出現(xiàn)了很多錯誤，與藏文厘定之后的文字有些出入，比如：“”中

“”的“”的用法，“”的用法，可以判斷出P.T.1070出現(xiàn)在藏文厘定前，而B59：10出現(xiàn)在藏文厘定后，其中也有很多口頭語的部分，比如 “”“”“”等，有可能是抄寫者按照口頭背誦的方式抄寫，也可以認(rèn)為是薩迦或帕竹時期出現(xiàn)或更早時代的產(chǎn)物。而甘丹頗章時期的九九乘法表屬于官方厘定的內(nèi)容，其表述非常嚴(yán)謹(jǐn)，可以從相關(guān)的幾種表達(dá)方式可以看出，并且使用及推廣概率較高。

五 結(jié)語與討論

綜上所述，法國國家圖書館藏伯希和收集藏文寫本P.T.1070和P.T.1256， 敦煌莫高窟北區(qū)出土寫本B59：10，甘丹頗章時期出現(xiàn)的藏文九九乘法表等的年代上來看，P.T.1070雖然是藏文書寫，其實(shí)質(zhì)是漢文九九表的音譯，時間上我們可以推斷為吐蕃晚期或公元9世紀(jì)之后。內(nèi)容上，它與先前漢文九九表相符，并且與其余敦煌算書寫卷幾乎相同，筆者認(rèn)為這一寫本可能是當(dāng)時吐蕃人學(xué)習(xí)漢文九九表的一種體現(xiàn)。

P.T.1256與B59：10的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，均是藏文九九乘法表，“從前一部分來看，它與漢文九九表相近。但與漢文本的‘小九九不同，這份藏文本是‘大九九，如：‘，而且是被乘數(shù)在前”[7]，B59：10包含了大九九和小九九， 如“九八、八九七十二”，先“9×8”（被乘數(shù)在前） 再“8×9”（乘數(shù)在前），而其他敦煌漢藏文本九九表都是小九九， 如S.8336v中的 “六九五十四， 五九四十五”（乘數(shù)在前，被乘數(shù)在后）。這是它們最大的差異。由此可見，B59：10并非現(xiàn)存敦煌漢文九九表的譯本。漢文九九表也不是 B59.10 這類藏文算書的漢譯本，由此推斷他們并非同一個傳承[7]。

甘丹頗章時期的九九乘法表是P.T.1256與B59：10的繼承和發(fā)展，因其九九乘法表與前面兩種乘法的順序、體裁、方法都有相同之處，而且也可以看出其發(fā)展演變的歷史，不難推斷西藏籌算發(fā)展的側(cè)面歷史。故此筆者認(rèn)為以上四種九九乘法寫本的時間順序?yàn)椋篜.T.1070寫本出現(xiàn)在公元9世紀(jì)后，P.T.1256和 B59：10（筆者推測）分別為佛教后弘期的早期和后期，而甘丹頗章時期的九九乘法表則出現(xiàn)在17世紀(jì)。

總之，幾種藏文九九乘法寫本的發(fā)現(xiàn)， 既反映了公元9世紀(jì)及后期西藏?cái)?shù)學(xué)的基本面貌，又反映了藏漢文化交流的情況。第一本寫本的出現(xiàn)，我們既不能簡單地得出“它是漢地算書的藏譯本”的結(jié)論， 也不能完全排除這種可能性。后期出現(xiàn)的九九表的內(nèi)容編排可分為小九九和大小九九并用的兩大類，既有相似之處，也有其各自的特點(diǎn)：漢文寫本用小九九，乘數(shù)由低到高，藏文寫本B59：10大九九和小九九合用，而大九九之乘數(shù)、小九九之被乘數(shù)由高到低排列。這表明藏漢地區(qū)算書屬不同的編排系統(tǒng)。B59：10是現(xiàn)存藏地算法口訣的早期例證，其后甘丹頗章時期出現(xiàn)的九九乘法表是這一例證的實(shí)據(jù)，由此也可以看出西藏籌算，抑或是其內(nèi)容之一的九九乘法表的演變歷史。

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