淺談數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

鄭秀菊

摘 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種較為常見的教學(xué)思維方式，它強(qiáng)調(diào)把抽象的思維形象化，這種教學(xué)方式更能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維方式。同時(shí)它對于解決數(shù)學(xué)中所遇到的問題，也有著更直觀的解決方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是指在一定的條件下，利用數(shù)學(xué)知識推動(dòng)“數(shù)”和“形”的結(jié)合，從而讓學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)思維更好理解，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)意識。通過對數(shù)形結(jié)合概念的具體分析和延伸，闡述數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)教學(xué);運(yùn)用

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本也是最古老的概念，這兩個(gè)基本概念幾乎包含了從小學(xué)到高中數(shù)學(xué)知識的全部。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！笨梢姅?shù)形結(jié)合就是一種對應(yīng)關(guān)系，是數(shù)學(xué)語言的不同表達(dá)。數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來，就可以將數(shù)學(xué)中復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而提高對數(shù)學(xué)的認(rèn)知了解，達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)水平提高的最終目的。

一、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用思路

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用應(yīng)該按照教材理論思路，靈活地進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)變。在具體的應(yīng)用思路上，有這幾個(gè)應(yīng)用思路：其一是在教學(xué)中，注重?cái)?shù)形結(jié)合的簡便性。二是教學(xué)中做好分析數(shù)學(xué)條件的基礎(chǔ)。三是在具體的教學(xué)思路中，要注重一種行為依據(jù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)向形轉(zhuǎn)化的解決方式。最后就是在圖形類的數(shù)學(xué)問題教學(xué)中，盡量采用以數(shù)的形式表達(dá)出來。這種相互辯證、相互影響的應(yīng)用思路，是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中遵循的具體要素和思路。

1.簡便性

數(shù)形結(jié)合的最終目的就是為了簡便數(shù)學(xué)問題的解決方式，因此數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用上的最基礎(chǔ)思路就是注重解決問題的簡便性。如果在實(shí)際教學(xué)運(yùn)用中，讓簡單的問題復(fù)雜化，那就是與數(shù)形結(jié)合的初衷背道而馳了。例如，在進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的研究教學(xué)時(shí)，可以采用圖像為基礎(chǔ)依托，讓抽象的數(shù)量關(guān)系在圖像的表達(dá)下顯現(xiàn)得更直觀，這就充分發(fā)揮了數(shù)形結(jié)合帶來的簡便性，將一些理論中的知識用圖像表達(dá)，簡便性能讓學(xué)生更好地接觸這些概念，從而大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率。

2.基礎(chǔ)性

數(shù)形結(jié)合對于數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。一是讓學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解速度加快，而且更為牢固。二是在分析數(shù)學(xué)條件的基礎(chǔ)上，利用數(shù)形結(jié)合具有更強(qiáng)的基礎(chǔ)性，為教學(xué)積累寶貴的經(jīng)驗(yàn)。例如在對圖形進(jìn)行研究的時(shí)候，可以將上邊的數(shù)字的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行著重標(biāo)記，這樣一來不僅能讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)，還是后續(xù)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確分析數(shù)學(xué)條件的基礎(chǔ)。因此數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用思路上，要注重這種基礎(chǔ)性，確保能將數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢發(fā)揮到最大，完全體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合穩(wěn)定的優(yōu)越性，這對于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力有著很大的提升。

3.“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)中，雖然“數(shù)”和“形”并不是一種領(lǐng)域，但是之間的相互轉(zhuǎn)化也是數(shù)學(xué)中的一大特點(diǎn)。在數(shù)形結(jié)合的實(shí)際過程中，轉(zhuǎn)化方式應(yīng)注重以圖形為依據(jù)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”轉(zhuǎn)化。這種思路是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn)，它是數(shù)形結(jié)合解決問題的重要方式。在具體的實(shí)踐中，樹立這種轉(zhuǎn)化方式的思維，對于擴(kuò)大數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用范圍有著很大的幫助，同時(shí)這種轉(zhuǎn)化方式因?yàn)樾蜗笾庇^，更能表達(dá)出具體的思維，在解決問題上起著定性作用。以數(shù)化形是非常重要和常見的一種類型，在使用時(shí)應(yīng)特別注重。

在初中的具體教學(xué)過程中，方程求解作為數(shù)學(xué)知識中的重要組成部分，在具體教學(xué)上經(jīng)常有些問題題干數(shù)據(jù)信息比較籠統(tǒng)和抽象，難以理清具體關(guān)系，學(xué)生在遇到這種問題時(shí)經(jīng)常會耗費(fèi)許多的時(shí)間，久而久之就會對方程產(chǎn)生一種排斥心理。這時(shí)借助數(shù)形結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)數(shù)向形的轉(zhuǎn)化，就能很好地解決這一問題。例如小明和小紅從家到學(xué)校，20分鐘以后兩個(gè)人在超市相遇，此時(shí)小紅需要回家取東西，而10分鐘后小明也往家趕，共用時(shí)15分鐘。這樣的方程問題看起來雖然不是很難，然而題干的信息卻極為混亂，此時(shí)將數(shù)據(jù)化為圖形就有了很直觀的感受，如下圖。

通過這兩個(gè)圖形可以發(fā)現(xiàn)，小明和小紅在各個(gè)時(shí)間段和整個(gè)路程的關(guān)系一目了然，對于題干的所有信息都變得清晰直觀。學(xué)生通過這種方式的數(shù)向形轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)，能夠大大降低學(xué)習(xí)方程的難度系數(shù)，而且有助于提高對方程的理解。

4.“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化

在解決一些圖形類的問題時(shí)，雖然圖形本身看上去已經(jīng)更直觀更清楚，但是在定量方面，或是在解決一些復(fù)雜的圖形時(shí)，“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化就顯得尤為關(guān)鍵。其中就要將圖形中的隱含信息完全發(fā)掘出來，充分利用圖形的性質(zhì)和含義，把形以數(shù)的方式進(jìn)行分析計(jì)算，讓復(fù)雜圖形變成數(shù)學(xué)問題，這種數(shù)形結(jié)合的思路對于復(fù)雜的圖形數(shù)學(xué)問題有著意想不到的解決效果。因此這兩種雖然都是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思路，但是在應(yīng)用方面上有著不同，這種辯證關(guān)系，正是數(shù)形結(jié)合的具體實(shí)踐思路。

在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，絕大多數(shù)的情況是會分成三種方式：一類是數(shù)化形，一類是數(shù)變形，還有一類是數(shù)和形互相變化。用圖表等直觀地將數(shù)學(xué)中的內(nèi)容表現(xiàn)出來，促進(jìn)學(xué)生思維的拓展。

例如，下列哪些數(shù)字是不等式2x/3>50的解：76;72;78;40;60;25;90;1;55;這個(gè)不等式有多少個(gè)解？在進(jìn)行解答的時(shí)候，可以利用數(shù)軸的圖形來進(jìn)行解答，例如圖1。

又或者教師在講解三角函數(shù)的時(shí)候，也可以通過圖形讓學(xué)生更直觀地了解到三角函數(shù)的概念，見圖2。

教師通過使用數(shù)形結(jié)合的方式，可以將抽象化的問題直觀地表現(xiàn)出來，讓學(xué)生能夠了解其中的含義，將復(fù)雜的問題簡單化，增強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

二、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合已經(jīng)廣泛運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中的各個(gè)方面，無論是函數(shù)、數(shù)列還是幾何問題，都有著非常獨(dú)到的運(yùn)用。

1.函數(shù)、數(shù)列問題

函數(shù)中，圖象的幾何特征和數(shù)量特征是緊緊聯(lián)系在一起的，它是數(shù)形結(jié)合的很好體現(xiàn)。例如在三角函數(shù)里，一般我們在解決確定單調(diào)區(qū)間問題和三角函數(shù)值比較的問題時(shí)，都會借助三角函數(shù)圖象來處理，這種處理三角函數(shù)問題的方式，就是數(shù)形結(jié)合在實(shí)際中的具體應(yīng)用。這種數(shù)形結(jié)合是以幾何元素和幾何條件為背景而建立起來的概念。一般來講，具體的過程首先對問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，分解已知條件和所求條件，然后通過條件之間的聯(lián)系進(jìn)行對比分析，找出內(nèi)在聯(lián)系，從而解決問題。

而在數(shù)列的問題上，由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此也可以采用數(shù)形結(jié)合的思想方法去解決問題。數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的公式都可以看作是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題就是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決，這也算是一種數(shù)形結(jié)合。

2.幾何問題

在數(shù)學(xué)解析幾何中，所采用的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要著重培養(yǎng)學(xué)生善于將數(shù)形結(jié)合的思想方法運(yùn)用到對點(diǎn)、線、曲線的研究上，這有利于培養(yǎng)學(xué)生對于問題的自主解決能力。而在立體幾何中，數(shù)形結(jié)合的具體實(shí)踐主要是在坐標(biāo)上，用坐標(biāo)的方法將幾何的相互關(guān)系進(jìn)行研究，可以將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運(yùn)算，這樣的數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際運(yùn)用中，不僅解法便捷，還能使復(fù)雜的幾何問題迎刃而解。

通過以上數(shù)學(xué)知識對于數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用，我們可以總結(jié)出數(shù)形結(jié)合在具體應(yīng)用中主要是實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)與圖形對應(yīng)關(guān)系、曲線與方程對應(yīng)關(guān)系等。

三、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的延伸

數(shù)形結(jié)合在實(shí)際教學(xué)中，除了要對學(xué)生進(jìn)行方法的教學(xué)外，還要注重對于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，這種數(shù)形結(jié)合思想的延伸，具體有這幾個(gè)方面。

1.結(jié)合教材內(nèi)容，建立數(shù)形結(jié)合的解題思想

數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)中重要的解題方法，不僅要教會學(xué)生如何運(yùn)用，更重要的是將這種思想灌輸給學(xué)生。鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行歸納和總結(jié)，在遇到問題時(shí)能自主想到數(shù)形結(jié)合解題思想，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的探究。如在進(jìn)行冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的教學(xué)過程中，教師要通過教材讓學(xué)生自己動(dòng)手參加學(xué)習(xí)，為學(xué)生重點(diǎn)構(gòu)造一種形象的感官性，從而培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將數(shù)形結(jié)合變?yōu)閷W(xué)生的思維工具，而不是解題工具。

2.結(jié)合教學(xué)問題，提升解題能力

數(shù)形結(jié)合的解題思想，為教學(xué)提供了方便，但是最直接的目的還是為了提高學(xué)生的解題能力。因此，數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的延伸，應(yīng)該也以提高學(xué)生的解題能力為主要方向。在教學(xué)過程中，教師要運(yùn)用實(shí)際遇到的問題，扮演指導(dǎo)的角色，為學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想指明方向，同時(shí)對于學(xué)生遇到的困難進(jìn)行疏解溝通，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的目的。

3對數(shù)形結(jié)合的解題能力進(jìn)行總結(jié)復(fù)習(xí)

在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師對于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程要注重總結(jié)復(fù)習(xí)，必須要培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)能力，這樣才可以讓數(shù)形結(jié)合的思想完全融入學(xué)生的解題思路中。其中包括對基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)公式、解題方法的總結(jié)，再通過例題的方式對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行鞏固。最后教師可以將各種不同的題目進(jìn)行匯總，構(gòu)建一個(gè)獨(dú)特的數(shù)形結(jié)合的知識網(wǎng)絡(luò)，從而將數(shù)形結(jié)合思想貫徹到學(xué)生的數(shù)學(xué)思維當(dāng)中。

初中數(shù)學(xué)是一門偏抽象化的學(xué)科，部分?jǐn)?shù)學(xué)概念和理論需要極強(qiáng)的邏輯性，數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法可以在很大程度上彌補(bǔ)有些學(xué)生邏輯上的不足。總之，在新時(shí)期數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，必須在明確應(yīng)用思路的基礎(chǔ)上通過對各個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行具體的數(shù)形結(jié)合教學(xué)，在教學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的目的，可以從教材和學(xué)生遇到的教學(xué)問題入手，充分引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思考，從而提高數(shù)學(xué)的教學(xué)素養(yǎng)，提高整個(gè)數(shù)學(xué)的教學(xué)水平。

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編輯 溫雪蓮