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    Lie-Yamaguti超代數(shù)的交換擴張

    2019-01-02 03:34:44唐鑫鑫胡夢如徐建國張慶成
    東北師大學報(自然科學版) 2018年4期
    關鍵詞:三元組同態(tài)等價

    唐鑫鑫,胡夢如,徐建國,張慶成

    (1.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林 長春130024;2.通化師范學院數(shù)學系,吉林 通化 134000)

    1 預備知識

    Lie-Yamaguti代數(shù)最初由Yamaguti[1]提出,相關研究可參考文獻[2-9].Lie-Yamaguti超代數(shù)是Lie-Yamaguti代數(shù)的推廣.本文將研究Lie-Yamaguti超代數(shù)的交換擴張,證明了交換擴張可由(2,3)-上同調(diào)群分類,推廣了文獻[8]中的結論.

    定義1Lie-Yamaguti超代數(shù)是一個三元組(A,[-,-],{-,-,-}).其中:A是一個超空間;[-,-]:A×A←A是一個偶雙線性映射;{-,-,-}:A×A×A→A是一個偶三重線性映射.其滿足:

    (LYS1) [x1,x2]+(-1)|x1||x2|[x2,x1]=0;

    (LYS2) [x1,x2,x3]+(-1)|x1||x2|[x2,x1,x3]=0;

    (LYS5) {x1,x2,[y1,y2]}=[{x1,x2,y1},y2]+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)[y1,{x1,x2,y2}];

    (LYS6) {x1,x2,{y1,y2,y3}}={{x1,x2,y1},y2,y3}+(-1)|y1|(|x1|+|x2|){y1,{x1,x2,x3},y2}+(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|){y1,y2,{x1,x2,y3}};

    (LYS01) |[x1,x2]|=|x1|+|x2|;

    (LYS02) |{x1,x2,x3}|=|x1|+|x2|+|x3|.

    定義2設(A,[-,-]1,{-,-,-}1)和(A2,[-,-]2,{-,-,-}2)是Lie-Yamaguti超代數(shù).A1和A2之間的同態(tài)是指一個偶線性映射φ:A1→A2,滿足:

    φ([x1,x2]1)=[φ(x1),φ(x2)]2,φ({x1,x2,x3}1)={φ(x1),φ(x2),φ(x3)}2.

    定義3設A是Lie-Yamaguti超代數(shù),V是一個超空間.A在V上的表示是一個三元組(ρ,γ,θ),這里ρ:A→End(V)是一個線性映射,γ,θ:A×A→End(V)是雙線性映射,滿足:

    (SR1)γ(x1,x2)-(-1)|x1||x2|θ(x2,x1)+θ(x1,x2)+ρ([x1,x2])-ρ(x1)ρ(x2)+(-1)|x1|x2|,ρ(x2)ρ(x1)=0;

    (SR2) (-1)|x1||x3|γ([x1,x2],x3)+(-1)|x1||x2|γ([x2,x3],x1)+(-1)|x2||x3|γ([x3,x1],x2)=0;

    (SR3)θ([x1,x2],y1)=(-1)|x2||y1|θ(x1,y1)ρ(x2)-(-1)|x1|(|x2|+|y1|)θ(x2,y1)(ρ(x1);

    (SR4)γ(x1,x2)ρ(y2)=(-1)|y2|(|x1|+|x2|)ρ(y2)γ(x1,x2)+ρ({x1,x2,y2});

    (SR5)γ(x1,x2)θ(y1,y2)=(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|)θ(y1,y2)γ(x1,x2)+θ({x1,x2,y1},y2)+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)θ(y1,{x1,x2,y2});

    (SR6)θ(x1,{y1,y2,y3})=(-1)(|x1|+|y1|)(|y2|+|y3|)lθ(y2,y3)θ(x1,y1)-(-1)|x1||y1|+|y2||y3|+|x1||y3|θ(y1,y3)θ(x1,y2)+(-1)|x1|(|y1|+|y2|)γ(y1,y2)θ(x1,y3).

    V也稱為一個A-模.

    設映射ν:A×A→V滿足ν(x1,x2)=-(-1)|x1||x2|ν(x2,x1),映射ω:A×A×A→V滿足ω(x1,x2,x3)=-(-1)|x1||x2|ω(x2,x1,x3).由ν生成的空間記為C2(A,V),由ω生成的空間記為C3(A,V).

    定義4設A是Lie-Yamaguti超代數(shù),V是A-模.(ν,ω)∈C2(A,V)×C3(A,V)稱為(2,3)-閉上鏈算子,若其滿足:

    (CC3)ω(x1,x2,[y1,y2])+γ(x1,x2)ν(y1,y2)=ν({x1,x2,y1},y2)+(-1)|y1(|x1|+|x2|)ν(y1,{x1,x2,y2})+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)ρ(y1)ω(x1,x2,y2)-(-1)|y2|(|x1|+|x2|+|y1|)ρ(y2)ω(x1,x2,y1);

    (CC4)ω(x1,x2,{y1,y2,y3})+γ(x1,x2)ω({y1,y2,y3})=ω({x1,x2,y1},y2,y3)+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)ω(y1,{x1,x2,y2},y3)+(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|)ω(y1,y2,{x1,x2,y3})+(-1)(|y2|+|y3|)(|x1|+|x2|+|y1|)θ(y2,y3)ω(x1,x2,y1)-(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y3|)+|y2||y3|θ(y1,y3)ω(x1,x2,y2)+(-1)(|x1|+|x2|))|y1|+|y2|)γ(y1,y2)ω(x1,x2,y3).

    由(2,3)-閉上鏈算子生成的空間記為Z2(A,V)×Z3(A,V).

    定義5設A是Lie-Yamaguti超代數(shù),V是A-模.(ν,ω)∈C2(A,V)×C3(A,V)稱為(2,3)-上邊緣算子,若存在映射f:A→V滿足:

    (BB1)ν(x1,x2)=ρ(x1)f(x2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)f(x1)-f([x1,x2]);

    (BB2)ω(x1,x2,x3)=(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x2,x3)f(x1)-(-1)|x2||x3|θ(x1,x3)f(x2)+γ(x1,x2)f(x3)-f({x1,x2,x3}).

    由(2,3)-上邊緣算子生成的空間記為B2(A,V)×B3(A,V).

    命題1B2(A,V)×B3(A,V)?Z2(A,V)×Z3(A,V).

    定義6Lie-Yamaguti超代數(shù)A的取值在V中的(2,3)-上同調(diào)群定義為商空間

    H2(A,V)×H3(A,V)∶=(Z2(A,V)×Z3(A,V))/(B2(A,V)×B3(A,V)).

    2 交換擴張

    通過證明交換擴張由(2,3)-上同調(diào)群分類,建立Ext(A,V)和H2(A,V)×H3(A,V)之間的一一對應.

    A通過V的交換擴張的等價類集合記為Ext(A,V).

    則(ρ,γ,θ)是A在V上的一個表示,且與sectionσ的選擇無關.此外,等價的交換擴張給出相同的表示.

    ρ(σ′(xi)-σ(xi))=xi-xi=0,

    從而

    σ′(xi)-σ(xi)∈V?σ′(xi)=σ(xi)+ui,對某個ui∈V.

    故ρ與σ的選擇無關.類似可證明γ,θ與σ的選擇無關.

    可得條件(SR31)成立.

    因此,等價的交換擴張給出相同的θ.類似可證明等價的交換擴張給出相同的γ和ρ.

    則(ν,ω)是A的取值在V中的(2,3)-閉上鏈.

    證明首先證明ν的像包含在V中,即p°ν(x1,x2)=0.因為p是一個代數(shù)同態(tài),故

    p°ν(x1,x2)=[p°σ(x1),p°σ(x2)]-p°σ([x1,x2])=[x1,x2]-[x1,x2]=0.

    從而

    x1,x2,x3(-1)|x1||x3|ω(x1,x2,x3)+x1,x2,x3(-1)|x1||x3|σ({x1,x2,x3})+
    x1,x2,x3(-1)|x1||x3|ν([x1,x2],x3)+
    x1,x2,x3(-1)|x1||x3|σ([[x1,x2],x3])=0.

    于是條件(CC1)成立.

    [x1+u1,x2+u2]ν=[x1,x2]+ν(x1,x2)+ρ(x1)(u2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)(u1),

    {x1+u1,x2+u2,x3+u3}ω={x1,x2,x3}+ω(x1,x2,x3)+γ(x1,x2)(u3)-
    (-1)|x2||x3|θ(x1,x3)(u2)+(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x2,x3)(u1).

    證明只需證明條件(LYS1)—(LYS6)在A?V上仍然成立.

    等式(LYS1)改寫為

    [x1+u1,x2+u2]ν+(-1)|x1||x2|[x2,u2,x1+u1]ν=0.

    直接計算得

    [x1+u1,x2+u2]ν+(-1)|x1||x2|[x2+u2,x1+u1]=
    [x1,x2]+ν(x1,x2)+ρ(x1)(u2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)(u1)+
    (-1)|x1||x2|[x2,x1]+(-1)|x1||x2|ν(x2,x1)+(-1)|x1||x2|ρ(x2)(u1)-ρ(x1)(u2)=0.

    故條件(LYS1)成立.

    同理可證明(LYS2)—(LYS6)在A?V上成立.

    F[x1+u1,x2+u2]ν=[F(x1+u1),F(xiàn)(x2+u2)]ν′,

    (1)

    F{x1+u1,x2+u2,x3+u3}ω={F(x1+u1),F(xiàn)(x2+u2),F(xiàn)(x3+u3)}ω′.

    (2)

    因為F是擴張的等價,故存在f:A→V使得

    F(xi+u)=xi+f(xi)+u,xi∈A.

    故(1)式等價于

    f([x1,x2])+ν(x1,x2)=ν′(x1,x2)+ρ(x1)f(x2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)f(x1),

    (ν-ν′)(x1,x2)=ρ(x1)f(x2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)f(x1)-f([x1,x2]).

    (2)式等價于

    f({x1,x2,x3})+ω(x1,x2,x3)=ω′(x1,x2,x3)+γ(x1,x2)f(x3)-
    (-1)|x2||x3|θ(x1,x3)f(x2)+(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x1,x3)f(x1),

    進而

    (ω-ω′)(x1,x2,x3)=γ(x1,x2)f(x3)-(-1)|x2||x3|θ(x1,x3)f(x2)+
    (-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x2,x3)f(x1)-f({x1,x2,x3}).

    定理1設A是Lie-Yamaguti超代數(shù),V是一個A-模,則

    Ext(A,V)?H2(A,V)×H3(A,V).

    因此A通過V的交換擴張由(2,3)-上同調(diào)群分類.

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