基于新四維混沌系統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌保密通信及噪聲研究

付宏睿，董永剛，張建剛

(1.安陽學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 安陽 455000；2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

氣象學(xué)家Lorenz于1963年首次發(fā)現(xiàn)了一個(gè)三維自治系統(tǒng)中的混沌吸引子，從此混沌得到很快地發(fā)展，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出許多新的三維混沌系統(tǒng).[1-3]然而三維自治混沌系統(tǒng)的帶寬比較窄，應(yīng)用在保密通信中效果差，信號(hào)容易被破譯.但是四維超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜，它具有2個(gè)或2個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)，因此更難預(yù)測(cè).將其應(yīng)用在保密通信中將會(huì)大大提高信號(hào)傳輸?shù)谋Ｃ艹潭?

近年來，許多學(xué)者將混沌系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)合在一起，將其表示為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步就成為各個(gè)節(jié)點(diǎn)間的混沌同步問題[4-6].文獻(xiàn)[7]研究了非線性耦合網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空混沌同步；文獻(xiàn)[8]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中具有相同結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)之間的脈沖同步等；文獻(xiàn)[9]研究了復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)單變量之間相互替換耦合的同步；文獻(xiàn)[10]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，研究了一類分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間混沌同步.已有文獻(xiàn)大部分都是對(duì)三維混沌系統(tǒng)的研究，很少將四維混沌系統(tǒng)應(yīng)用到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步中，并且主要都是對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的理論研究，很少有對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的應(yīng)用.本文在提出一個(gè)新四維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上將其與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，由于該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性，因此非常有利于應(yīng)用到保密通信中.

目前，許多研究都利用混沌信號(hào)帶寬頻譜的非周期性以及對(duì)初值的敏感性和具有非常好的隱蔽性等將其應(yīng)用到保密通中.[11-13]以往都是對(duì)信號(hào)只實(shí)施一次加密，而本文提出一種新的混沌保密通信系統(tǒng)，將有用信息經(jīng)過多次加密，可以大大提高信息傳輸?shù)谋Ｃ艹潭?但是在現(xiàn)實(shí)中信息傳輸總會(huì)受到噪聲的干擾，使有用信號(hào)發(fā)生畸變.因此，本文在保密通信的基礎(chǔ)上加入了高斯白噪聲[14-15]，使其對(duì)信號(hào)傳輸進(jìn)行干擾，最后用小波變換原理對(duì)噪聲進(jìn)行處理[16]，從Matlab數(shù)值仿真來看，有用信號(hào)可以被無失真地恢復(fù)出來.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 模型提出

選取一個(gè)新四維自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(1)

其中：x=(x，y，z，u)T∈R4為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，c，m∈R為系統(tǒng)的參數(shù).運(yùn)用Wolf算法可以計(jì)算出該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)λ1=0.337 1，λ2=0.218 4，λ3=0，λ4=-26.436 1，并且該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)DKY=3.020 65，則說明系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài).

1.2 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性

特征方程為(λ+5)(λ3+21λ2-680λ+140)=0，則特征根依次為λ1=-5，λ2=-38.68，λ3=0.207，λ4=17.468 5.因此它的平衡點(diǎn)不是穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，說明系統(tǒng)(1)存在超混沌現(xiàn)象.

1.3 系統(tǒng)(1)的耗散性與吸引子的存在

1.4 系統(tǒng)(1)吸引子的數(shù)值仿真

圖1 系統(tǒng)在不同空間的吸引子

2 基于系統(tǒng)(1)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步

選取由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)通過耦合而構(gòu)成的全局耦合網(wǎng)絡(luò)，其中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的n維動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(2)

將系統(tǒng)(1)表示為網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，取節(jié)點(diǎn)數(shù)N=4，那么由該系統(tǒng)組成的4個(gè)節(jié)點(diǎn)的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型為：

(3)

(4)

(5)

(6)

運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，由運(yùn)行結(jié)果可以看出：當(dāng)耦合函數(shù)d=2時(shí)，盡管系統(tǒng)的初始狀態(tài)不同，但還是可以較快地達(dá)到同步.圖2為系統(tǒng)(3)—(6)的同步誤差圖，其中：圖2(a)為節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2之間的誤差；圖2(b)為節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3之間的誤差；圖2(c)為節(jié)點(diǎn)3與節(jié)點(diǎn)4之間的誤差；圖2(d)為節(jié)點(diǎn)4與節(jié)點(diǎn)1之間的誤差.

圖2 系統(tǒng)(3)—(6)的同步誤差圖

3 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌保密通信

3.1 保密通信方案

圖3 混沌保密通信系統(tǒng)

為了提高網(wǎng)絡(luò)中信息傳輸?shù)陌踩?，提出了一種基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)新的混沌保密通信系統(tǒng)(見圖3).該系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)復(fù)雜的四維超混沌系統(tǒng)組成，它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)更復(fù)雜，并且具有2個(gè)或2個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù).因此它的動(dòng)力學(xué)特性非常有利于混沌保密通信的加密，其混沌信號(hào)對(duì)初值極端敏感，并且在接收端有用信號(hào)必須經(jīng)過兩次解調(diào)才能被恢復(fù)出來，所以該系統(tǒng)的保密程度比較高.

3.2 噪聲干擾下信號(hào)的傳輸與小波去噪

為了分析信道中噪聲對(duì)信息傳輸?shù)母蓴_以及對(duì)信息解密時(shí)的影響，本文將5 dB的高斯白噪聲干擾信號(hào)加入了信息傳輸與加密、解密的整個(gè)過程中(見圖4).

圖5 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪原理如圖5所示[17].因?yàn)橛杏眯畔⒈谎谏w在混沌信號(hào)中，而混沌信號(hào)在小波域中的能量譜中相對(duì)集中，但噪聲的能量譜卻比較分散，并且混沌信號(hào)在小波域中的分解系數(shù)絕對(duì)值比噪聲中的大.因此，可以利用小波變換原理對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，然后選擇適當(dāng)?shù)拈撝?，過濾掉絕對(duì)值相對(duì)小的小波系數(shù)，從而進(jìn)行分層分尺度去噪，達(dá)到降低噪聲的效果，最后把去噪處理后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，則可得到原有用信號(hào).

選取如圖3所示的保密通信方法，選用離散信號(hào)h(t)進(jìn)行傳輸，則傳輸?shù)幕旌闲盘?hào)s(t)=h(t)+x22(t)+n(t)，其中n(t)是5 dB的高斯白噪聲信號(hào).

令節(jié)點(diǎn)1為發(fā)射系統(tǒng)，有：

令節(jié)點(diǎn)2為接收系統(tǒng)，有：

圖6為加入高斯白噪聲后含噪信號(hào)的傳輸與小波去噪的Matlab數(shù)值仿真結(jié)果.其中：圖6(a)為x22的時(shí)間序列；圖6(b)為有用信息h(t)；圖6(c)為信道中第一次加密后傳輸?shù)暮胄盘?hào)s(t)；圖6(d)為信道中第二次加密后傳輸?shù)暮胄盘?hào)s′(t)；圖6(e)為第一次恢復(fù)的信號(hào)h′(t)；圖6(f)為第二次恢復(fù)的信號(hào)h″(t)；圖6(g)為采用小波閾值去噪處理后的有用信號(hào)h1(t).

圖6 離散信號(hào)去噪示意圖

從圖6(f)可以看出，在加入高斯白噪聲影響的情況下，盡管有用信息可以被大致恢復(fù)出來，但是由于它在傳輸中受到噪聲干擾而發(fā)生了變化，波形振蕩不夠光滑.而圖6(g)是在選取合適的閾值后，經(jīng)過小波變換處理，使有用信號(hào)可以很好地恢復(fù)出來，去噪效果比較良好.

4 結(jié)論

本文提出了一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng)，并驗(yàn)證了其吸引子的存在.研究了基于該系統(tǒng)的全局耦合網(wǎng)絡(luò)的漸近同步問題.在此基礎(chǔ)上將其同步應(yīng)用到保密通信中，研究了2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行多次加密的新保密通信系統(tǒng)，并且在信息傳輸中加入高斯白噪聲的干擾.最后，在小波變換的作用下，經(jīng)過調(diào)節(jié)閾值對(duì)有用信息進(jìn)行去噪處理，最終有用信息能夠很好地?zé)o失真地恢復(fù)出來.