賞析以數(shù)列為載體的八種創(chuàng)新題型

摘 要：近年來，以數(shù)列為載體的創(chuàng)新型試題頻繁地出現(xiàn)在全國各地的高考試卷中，它們或內(nèi)容立意新，或情境設(shè)置新，或設(shè)問方式新，或題型結(jié)構(gòu)新，不僅較好地考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)造性思維能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且有效地甑別了考生進(jìn)入高等院校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能本文結(jié)合實(shí)例談一談數(shù)學(xué)文化型、交匯整合型、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型等八種數(shù)列創(chuàng)新題型及其求解策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；創(chuàng)新題型；求解策略

作者簡介：蔡勇全（1980-），男，四川遂寧人，教育碩士，中學(xué)一級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與試題研究.

一、數(shù)學(xué)文化型

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長，是人類社會寶貴的知識與精神財(cái)富.只有通過弘揚(yáng)與傳承，才能釋放其價(jià)值.數(shù)學(xué)文化型的數(shù)列創(chuàng)新題正是在這種樸素理念的支撐下誕生的新題型.它以現(xiàn)時(shí)事件或歷史上一些數(shù)學(xué)名著中的某一段素材為背景，在基本不改變原意的前提下，巧妙地引出其中蘊(yùn)含的數(shù)列問題，要求解題者求出該問題的結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值.

例1 《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)問題及解法，其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)的容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（ ）.

A176升 B72升 C11366升 D10933升

解析 自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意可以得到

a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4.

因?yàn)閍2+a3=a1+a4，a7+a9=2a8，故a2+a3+a8=32+43

=176，故應(yīng)選A.

變式1 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其意：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，問此人每天走多少里路則此人第五天走的路程為（ ）.

A48里 B24里 C12里 D6里

變式2 中國古代數(shù)學(xué)有著很多令人驚嘆的成就.北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇中首創(chuàng)隙積術(shù)隙積術(shù)意即：將木桶一層層堆放成壇狀，最上一層長有a個(gè)，寬有b個(gè)，共計(jì)ab個(gè)木桶，每一層長寬各比上一層多一個(gè)，共堆放n層，設(shè)最底層長有c個(gè)，寬有d個(gè)，則共計(jì)有木桶n6[（2a+c）b+（2c+a）d+（d-b）]個(gè)假設(shè)最上層有長2寬1共2個(gè)木桶，每一層的長寬各比上一層多一個(gè)，共堆放15層，則木桶的個(gè)數(shù)為（ ）.

A1260 B1360 C1430 D1530

評注 一般來說，數(shù)學(xué)文化型的數(shù)列創(chuàng)新題的難度適中，命題者會將深澀的古文譯作通俗易懂的現(xiàn)代文，因此解題者不必心生畏懼，只需在準(zhǔn)確理解現(xiàn)代譯文的基礎(chǔ)上，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)列模型，運(yùn)用數(shù)列知識解出需要的數(shù)據(jù)，最后再回歸實(shí)際問題即可.

二、交匯整合型

一般數(shù)列的離散、有序性以及特定數(shù)列的遞推、趨向性等特點(diǎn)，決定了數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系交匯整合型的數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點(diǎn)是：形式多樣，內(nèi)涵豐富，交匯點(diǎn)多，常常和函數(shù)、方程、不等式、三角、復(fù)數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、解析幾何等知識融為一體，能夠很好地實(shí)現(xiàn)學(xué)科內(nèi)、學(xué)科間知識的交匯整合.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=2x-cosx，{an}是公差為π8的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a2=（ ）.

A0 B116π2 C18π2 D1316π2

解析 因?yàn)閒（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0.

即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0.所以[2（a1-π2）+sin（a1-π2）]+[2（a2-π2）+sin（a2-π2）]+…+[2（a5-π2）+sin（a5-π2）]=0.①

令g（x）=2x+sinx，易知g（x）為奇函數(shù)，又因g′（x）=2+cosx>0對任意x∈R恒成立，所以g（x）在R上單調(diào)遞增

再構(gòu)造數(shù)列{bn}，且bn=an-π2，易知{bn}為等差數(shù)列，且①式即為（2b1+sinb1）+（2b2+sinb2）+…+（2b5+sinb5）=g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0，結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象的對稱性可知，b3=a3-π2=0，所以a3=π2.故a1=π4，a5=3π4，[f（a3）]2-a1a2=1316π2，故應(yīng)選D.

變式 已知曲線Cn∶x2-2nx+y2=0（n=1，2，…）從點(diǎn)P（-1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點(diǎn)為Pn（xn，yn）.

（Ⅰ）求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求證：x1·x3·x5·…·x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn.

評注 在教學(xué)中，既要讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本的數(shù)學(xué)思想方法，又要著力于提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.認(rèn)真研究、探索數(shù)列知識網(wǎng)絡(luò)的交匯性，研究交匯點(diǎn)向外輻射的知識塊，不僅能增強(qiáng)對學(xué)科知識的整體把握能力，又能提高分析和解決創(chuàng)新型問題的能力.

三、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型

規(guī)律發(fā)現(xiàn)型的數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點(diǎn)是：題目中給出某種數(shù)列的若干特殊數(shù)據(jù)或性質(zhì)特征，要求歸納出該數(shù)列的一般規(guī)律、完善該數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)、類比推廣到相關(guān)數(shù)列等.

例3 如圖1，依次是按照某種規(guī)律排列的一系列圖形中的第（1）～（4）個(gè)，由此可猜測第n個(gè)圖形中共有個(gè)圓圈.

思路一 觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)：它們的圓圈數(shù)依次為1，3，7，13，21，…設(shè)它們構(gòu)成數(shù)列{an}，則a2-a1=2，a3-a2=4，a4-a3=6，a5-a4=8，…，按此規(guī)律，an-an-1=2（n-1）（n∈N，n>1），所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=1+2+4+…+2（n-1）=1+（n-1）（2+2n-2）2=n2-n+1.

思路二 觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形只有一個(gè)中心圓圈；第二個(gè)圖形除中心圓圈外還有兩邊，每邊一個(gè)圓圈；第三個(gè)圖形除中心圓圈外還有三邊，每邊兩個(gè)圓圈；…按此規(guī)律，第n個(gè)圖形中除中心圓圈外還有n邊，每邊n-1個(gè)圓圈，故第n個(gè)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)為n（n-1）+1=n2-n+1.

變式1 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球，第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按如圖2所示的方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，則第n堆的乒乓球總數(shù)f（n）=.

變式2 在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些數(shù)染成紅色先染1；再染兩個(gè)偶數(shù)2，4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5，7，9；再染9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2018個(gè)數(shù)是（ ）.

A3971 B3972 C3973 D3974

評注 從例3及其變式的解答過程可以看到，解決規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題需要解題者具有較強(qiáng)的觀察能力和快速探求規(guī)律的能力，因此在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)注重這方面的訓(xùn)練和經(jīng)驗(yàn)的積累.

四、現(xiàn)時(shí)約定型

現(xiàn)時(shí)約定型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點(diǎn)是：以已有的數(shù)列知識為基礎(chǔ)，現(xiàn)時(shí)定義一個(gè)新的概念，然后圍繞新概念設(shè)計(jì)一系列問題此類問題旨在考查學(xué)生獨(dú)立獲取、加工、理解信息和運(yùn)用、遷移知識能力.

例4 已知數(shù)列{an}滿足an=logn+1（n+2）（n∈N），定義使得a1·a2·a3·…·ak為整數(shù)的正整數(shù)k叫做“契合值”，則區(qū)間（6，2018]內(nèi)的契合值的個(gè)數(shù)為，該區(qū)間內(nèi)所有契合值的和為.

解析 因?yàn)閍n=logn+1（n+2）=log2（n+2）log2（n+1）（n∈N），所以a1·a2·a3·…·ak=log23log22·log24log23·log25log24·…·log2（k+2）log2（k+1）=log2（k+2）

因?yàn)閍1·a2·a3·…·ak為整數(shù)，所以可令k+2=2m（m∈N），則k=2m-2，由6<2m-2≤2018，解得4≤m≤10（m∈N），故在區(qū)間（6，2018]內(nèi)的契合值有7個(gè)，它們的和為（24-2）+（25-2）+…+（210-2）=2018.

變式 把形如M=mn（m，n∈N）的正整數(shù)M表示成各項(xiàng)都是整數(shù)，公差為2的等差數(shù)列的前m項(xiàng)的和，稱為“對M的m項(xiàng)分劃”.例如，把9表示成9=32=1+3+5，稱為“對9的3項(xiàng)分劃”；把64表示成64=43=13+15+17+19，稱為“對64的4項(xiàng)分劃”據(jù)此，對324的18項(xiàng)分劃中最大的數(shù)是；若M=m3的m項(xiàng)分劃中第5項(xiàng)是281，則m的值是.

評注 例4及其變式代表了現(xiàn)時(shí)約定型數(shù)列創(chuàng)新題的兩種最常見形式，即定義新名詞性術(shù)語與定義新規(guī)則性術(shù)語.解決此類問題時(shí)，應(yīng)充分理解新定義，并緊扣新定義與所學(xué)知識的關(guān)系，從而找到解題突破口.

五、數(shù)表（陣、組）型

數(shù)表（陣、組）型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點(diǎn)是：將一些數(shù)排成長方形、三角形、數(shù)組的形式，就形成了數(shù)表、數(shù)陣等形式，要求學(xué)生研究某行、某列、某組或所有行（列、組）所具有的特殊性質(zhì).

例5 在n行m列的方格表中每一個(gè)方格都填上一個(gè)數(shù)，使得每一行的m個(gè)數(shù)與每一列的n個(gè)數(shù)都成等差數(shù)列，如果表的四個(gè)角上的數(shù)之和等于S，則此表中所有數(shù)的和等于.

解析 題設(shè)表格的每一行、每一列都是等差數(shù)列，因此這是一個(gè)等差數(shù)表，故最上面的第一行各數(shù)的和為a11+a12+…+a1m=（a11+a1m）m2，最下面的第n行各數(shù)的和為an1+an2+…+anm=（an1+anm）m2，各列中的數(shù)的和依次為（a11+an1）n2，（a12+an2）n2，…，（a1m+anm）n2如表1所示：