一道方程題的證明過程

（浙江求是工程咨詢監(jiān)理有限公司 江西鄱陽 333126）

已知方程：axm-byn=R，其中，其中a，b，R為給定的正整數(shù)，且gcd（a，b）＝ 1，x，y，m，n都屬于正整數(shù)。

求：方程axm-byn=R僅有有限組解（x，y，m，n）。

解：設(shè)axm=AC2；byn=BC2，R=AB2

則方程axm-byn=R

可轉(zhuǎn)化成AC2=BC2AB2

于是根據(jù)三角形的勾股定理性質(zhì)可得（如圖1）：

圖1

則，在BC邊上取一點D，使BD＝AB

連接AD，作AF⊥AB交AB于 點A，其中AD＝AF，過AF⊥BC交BC于點P。

由AF⊥AB，F(xiàn)P⊥BC，AB⊥BC

?四邊形ABPF為矩形

另在AC邊上取點E，使AE＝AD

又∵AD＝AF

?AE＝AD＝AF

?點D，E，F(xiàn)三點共圓

過AD⊥DO交FP于點O

∵PF⊥AF，且D，E，F(xiàn)三點共圓

?OF＝OD

連結(jié)EO，作EG＝EO交FO線段于點G

?∠EGO＝∠EOG

本題分為以下幾個步驟解析

（一）

（二）

即，當∠ODE＝∠DEO＝22.5°時，在Rt△ABC中，AC和BC僅有有限組解（k＜AC＜2.29k，0＜BC＜2.06k）

（三）

當∠EDO＝22°時，∠DEO＋∠DOE＋∠EDO＝180°

?∠DEO＋∠DOE＝158°

分析1）：在△DEO中，當∠DOE＜∠DEO時

根據(jù)三角形的余弦定理可得

即，當∠DOE＜∠DEO時（∠DOE＜79°），在Rt△ABC中，AC和BC僅有有限組解。

2．當∠DOE＞∠DEO時，∠EDO＝22°

取EF＝0.24k，根據(jù)三角形余弦定理得

即，當∠DOE＜∠DEO時，在Rt△ABC中，AC和BC僅有有限組解（k＜AC＜2.93k，0＜BC＜2.75k）。

（四）

當∠EDO＜22°時，由∠QFP＝∠FDE，且∠EDO＋∠FDE＝22.5°

即，當∠EDO＜22°，在Rt△ABC中，AB和BC僅有有限組解。

綜合上述（一）（二）（三）（四）可知，在Rt△ABC中，已知AB＝k，則AC和BC的解僅有有限組解（AC，BC）

又∵a和b為給定的正整數(shù)，且gcd（a，b）＝1

?方程：axm-byn=R在a，b，R為給定的正整數(shù)時僅有有限組解（x，y，m，n）。