用“代數(shù)表示”揭示“圖形變換”的內(nèi)涵

（東北師大附中明珠學(xué)校 吉林長(zhǎng)春 130000）

在數(shù)學(xué)發(fā)展的相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，算術(shù)是幾何的附庸，笛卡爾和費(fèi)馬將數(shù)與圖形有機(jī)的結(jié)合在一起，開創(chuàng)了圖形的數(shù)量化研究，實(shí)現(xiàn)了根本性的轉(zhuǎn)變，圖形數(shù)量化研究的基礎(chǔ)是坐標(biāo)系，其研究領(lǐng)域主要包括圖形的位置和圖形的運(yùn)動(dòng)，這便是解析幾何的基本思想內(nèi)涵。解析幾何的核心思想就是建立一個(gè)參照系，借助參照系通過對(duì)數(shù)量分析的方法研究幾何圖形及其變化。

在我們的初中的培優(yōu)教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生感知這種圖形的數(shù)量化研究的思想和魅力，這將為學(xué)生今后高中甚至于大學(xué)之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。以華師版七下教材為例，教材中介紹了三種剛體運(yùn)動(dòng)：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，都可以用代數(shù)表示的方法加以研究。

一、那么如何對(duì)三種變換進(jìn)行代數(shù)表示呢？

比如，我們可以借助數(shù)軸為參考系，通過數(shù)形結(jié)合，形象直觀的幫助學(xué)生借]助代數(shù)表示描述軸對(duì)稱和平移運(yùn)動(dòng)

軸對(duì)稱：在數(shù)軸上A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為2b－a；（我們更經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生討論數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)，比如我們經(jīng)常設(shè)置兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等的問題情境）

平移：A點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的為a; B點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b

（1）將A點(diǎn)向右平移m個(gè)單位的代數(shù)表示為：a＋m

（2）將A點(diǎn)向左平移n個(gè)單位的代數(shù)表示為：a-n

例1已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為10，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，，點(diǎn)C表示的數(shù)是2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q與點(diǎn)R關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≥0）秒．求PR等于3時(shí)，t的值．

[解析]P：10-2t，Q：8-t，R：4－（8-t）= t－4，

實(shí)際上，這種想法也在為學(xué)生在八年級(jí)和九年級(jí)，選取平面直角坐標(biāo)系為參考系描述函數(shù)的軸對(duì)稱，平移等打基礎(chǔ)。

由于數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，在教學(xué)中，教師可以利用變式透徹原理，比如，一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)的折返運(yùn)動(dòng)、變速運(yùn)動(dòng)等不同的問題情境的代數(shù)表示；兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，又可以深入探究?jī)牲c(diǎn)相遇前后、一點(diǎn)先停、一點(diǎn)折返、兩點(diǎn)同時(shí)變速、兩點(diǎn)不同時(shí)變速等多種問題情境下的代數(shù)表示；多個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系進(jìn)行討論等等，這些問題的深入探究為今后分段函數(shù)埋下伏筆。

旋轉(zhuǎn)：對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，我們可以類似于極坐標(biāo)描述旋轉(zhuǎn)角和線段的長(zhǎng)度。

例2如圖，將兩個(gè)含有30°角的全等的直角三角形如圖位置擺放，使點(diǎn)D、A、C共線，其中 ∠BAC=∠ECD=90°，∠ABC=∠EDC=30°．如圖（2），連結(jié)BD，將△EDC繞點(diǎn)C以每秒6°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D、A、C再次共線時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)時(shí)間為t（秒）（0≤t≤30）．當(dāng)∠BCD=40°時(shí)，求t的值；

[解析]當(dāng)0＜t≤10時(shí)，∠BCD＝60－6t＝40，解得

2．選擇不同的變量進(jìn)行代數(shù)表示

在教學(xué)過程中，還要鼓勵(lì)學(xué)生靈活處理，探究同一運(yùn)動(dòng)變換中選擇不同的參考系和不同的變量進(jìn)行不同的代數(shù)表示。

例3已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B表示的數(shù)為-6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≥0）秒。

在這個(gè)例子中，既可以用P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)8-6t描述點(diǎn)P的位置，還可以用AP的長(zhǎng)6t描述點(diǎn)P的位置，還可以用BP的長(zhǎng)描述點(diǎn)P的位置，而用BP的長(zhǎng)描述點(diǎn)P的位置時(shí)，需要根據(jù)這兩點(diǎn)位置的不同進(jìn)行分類討論。

綜上，在教學(xué)要注意引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)原理，探究數(shù)學(xué)思維發(fā)展的本源，將代數(shù)與圖形有機(jī)結(jié)合，用“代數(shù)表示”研究圖形的位置和運(yùn)動(dòng)，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)源頭，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，建立數(shù)學(xué)知識(shí)與方法前后的順序聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，理性學(xué)習(xí)，讓熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生能夠自由徜徉于數(shù)學(xué)的海洋中。