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    一個重要的冪級數(shù)

    2018-12-13 10:32:00胡旭東
    贏未來 2018年12期
    關(guān)鍵詞:冪級數(shù)突破口收斂性

    胡旭東

    摘要:求冪級數(shù)的和函數(shù)是級數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及難點(diǎn)內(nèi)容,找到一個突破口,以點(diǎn)帶面不失為一種尋求突破的好方法,這便是等比級數(shù) 。

    關(guān)鍵詞:冪級數(shù) ;等比級數(shù)

    冪級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它在工程問題中有著較為廣泛的應(yīng)用,冪級數(shù)的應(yīng)用和計算卻相對復(fù)雜,不易掌握.。找到一個突破口,以點(diǎn)帶面不失為一種尋求突破的好方法,這便是等比

    級數(shù) 。以此為突破口,對研究函數(shù)項級數(shù)的收斂性判斷、求和等問題有獨(dú)到的作用,本文就此作簡要描述。

    一、求冪級數(shù)的收斂半徑

    利用冪級數(shù) 的收斂區(qū)間 容易理解 的收斂區(qū)間為 ,進(jìn)而一步可以了知如下定理。

    定理 1(柯西—阿達(dá)瑪定理) 設(shè) ,

    則冪級數(shù) 在 內(nèi)絕對收斂,在 內(nèi)發(fā)散。特別地,冪級數(shù) 在 內(nèi)絕對收斂,在 發(fā)散。這說明冪級數(shù) 在研究冪級數(shù)的收斂半徑上有

    著重要的作用,可以讓初學(xué)者擺脫過度抽象帶來的負(fù)面影響。

    二、求冪級數(shù)的和函數(shù)

    定理2設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑是R,和函數(shù)為 ,那么(1) 在收斂域內(nèi)連續(xù)。(2)冪級數(shù)在收斂域上可積,并且可以逐項積分或求導(dǎo),即: ,或 ,并且積分或求導(dǎo)后的級數(shù)不改變收斂半徑。

    由此我們可以得到以下結(jié)論,這對于我們求冪級數(shù)和函數(shù)是大有幫助的。

    推論 在 時,有如下結(jié)論:

    (1) (2)

    (3) (4)

    (5) (5)

    (7) (8)

    (9) (10)

    (11) (12)

    上述變化可謂豐富多彩,對(1)兩端求導(dǎo)則生出(2),同理由(2)可以推出(3),對(1)兩端積分則有(4),將(1)到(4)中 替換成 就得到(5)至(8),把(1)(4)(5)中 替換成 則演化為(9)(10)(11),對(11)兩端積分便得(12)。如上真乃行云流水,嘆為觀止。

    下面僅舉一例說明上述變換的運(yùn)用。

    例、求 的和函數(shù),其中 。

    解:當(dāng) 時,次級數(shù)一致收斂且有和函數(shù)存在,設(shè)

    ,那么

    ,利用推論公式(4)可得,

    綜上可見, 既是最簡單的冪級數(shù),也是最重要的冪級數(shù)。

    通過對此級數(shù)的收斂性及和函數(shù)的研究與拓展,可以對冪級數(shù)的學(xué)習(xí)起到重要作用,特別是對求冪級數(shù)和函數(shù)必不可少,這是突破冪級數(shù)和函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 《數(shù)學(xué)分析》(第二版) 高等教育出版社1983年11月第二版

    [2] 《高等數(shù)學(xué)》 科學(xué)出版社 2011年2月第一版

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