利用數(shù)形結(jié)合方法解決高中數(shù)學(xué)題

李欣陽

摘要：教育體制改革的不斷深入使教育工作對高中數(shù)學(xué)的重視不斷增加，數(shù)學(xué)作為高中的重要科目，如何幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)并熟練解決高中數(shù)學(xué)題是高中教師的首要任務(wù)，而數(shù)形結(jié)合方法在學(xué)生解答數(shù)學(xué)題的過程中發(fā)揮了十分重要的作用?；诖?，本文將對利用數(shù)形結(jié)合方法解決高中數(shù)學(xué)題的方式進(jìn)行分析和探究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 高中數(shù)學(xué) 解題方法

在高中，數(shù)學(xué)主要的研究對象應(yīng)分成兩部分，即數(shù)和形。數(shù)指的是復(fù)數(shù)、代數(shù)、實(shí)數(shù)的對象以及關(guān)系，是數(shù)學(xué)中的抽象思維。形指的是幾何圖形，是數(shù)學(xué)中的形象思維。但是，數(shù)和形是具有一定關(guān)聯(lián)的，數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，可以充分調(diào)動學(xué)生右腦和左腦的思維，深入、協(xié)調(diào)、全面地幫助學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)。

一、數(shù)形結(jié)合方法的含義

數(shù)和形在數(shù)學(xué)中是最基本也是最古老的兩個研究的對象，兩者能夠在特定的條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化。高中數(shù)學(xué)研究時將其分成數(shù)與形兩個重要部分，數(shù)和形二者有著十分密切的關(guān)系，這種關(guān)系就被稱作數(shù)形結(jié)合或是形數(shù)結(jié)合。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想方法的其中一種，其應(yīng)用基本分成兩種情況，以形的直觀性對數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述，或以數(shù)的精確性對形的屬性進(jìn)行闡述，換句話說，就是數(shù)形結(jié)合主要包含兩方面，一方面是以形助數(shù)，另一方面是以數(shù)解形。其中，以數(shù)解形時部分圖形比較簡單，不能直觀地看出一些規(guī)律，此時應(yīng)對圖形賦值，比如角度和邊長等。利用數(shù)形結(jié)合方法時應(yīng)遵循雙向性、等價性、簡潔性的原則。雙向性原則指的是不但要分析幾個圖形，還應(yīng)研究相應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)兩者的對應(yīng)關(guān)系修正數(shù)據(jù)與圖形。等價性原則指的是解題過程中，數(shù)與形兩者對問題進(jìn)行描述應(yīng)遵循等價性原則，畫圖時應(yīng)注重基本特征與關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的描繪，防止因畫圖偏差產(chǎn)生的解題失誤。簡潔性原則指的是應(yīng)確保畫圖簡潔，把幾何圖形的優(yōu)點(diǎn)充分表現(xiàn)出來，并且解題過程中需要避免大量的計算，使解題難度降低，做到化繁為簡。

二、利用數(shù)形結(jié)合方法解決高中數(shù)學(xué)題的方式

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是較為常見的一種解題方法，靈活地利用數(shù)形結(jié)合方法解決高中數(shù)學(xué)題能夠有效降低題目難度，將各項數(shù)據(jù)的相互關(guān)系直觀展現(xiàn)出來。要想有效地利用數(shù)形結(jié)合方法，應(yīng)對數(shù)學(xué)中的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行全面的理解與掌握，對每種數(shù)學(xué)運(yùn)算需要用到的圖形表示方法也要熟悉，從而做到形和數(shù)的快速轉(zhuǎn)換，獲得想要的數(shù)據(jù)與結(jié)果。

（一）解決不等式和方程的問題

高中引入了數(shù)學(xué)坐標(biāo)系的概念，有效拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的圖形表達(dá)空間，并且以函數(shù)圖像為基礎(chǔ)，數(shù)形結(jié)合的適用領(lǐng)域更為廣闊，能有效解決不等式和方程問題，基本解題思路是把不等式或方程兩端的表達(dá)式當(dāng)成一個函數(shù)來畫出函數(shù)圖像，利用坐標(biāo)軸和圖像、圖像和圖像間的交叉來成功解題。通過數(shù)形結(jié)合方法解決不等式和方程問題，特別適用于判定復(fù)雜函數(shù)中模糊關(guān)系的問題，如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，這些題目通常求方程有幾個解。例如，求log5x=sin2x有幾個解，學(xué)生應(yīng)把方程兩端函數(shù)的圖像分別畫出來，按照所畫圖像呈現(xiàn)出的交點(diǎn)數(shù)量就能得出有三個解。然而，該方法不適用于判斷精確化的關(guān)系，特別是在方程圖像極為類似的時候不適合使用。該方法變式是按照函數(shù)圖像有幾個交點(diǎn)來對函數(shù)式中代數(shù)取值范圍進(jìn)行判斷，這種方法是上個題型反向運(yùn)用的方法[1]。利用數(shù)形結(jié)合方法來解決相對復(fù)雜的不等式關(guān)系與函數(shù)方程問題時，需要學(xué)生比較熟悉函數(shù)圖像，要不然解題初期就會被誤導(dǎo)，從而最終獲得錯誤的結(jié)果。

（二）解決集合的問題

集合是高中生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，反映出高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)理念上的不同之處，集合無論外在表達(dá)式或內(nèi)在關(guān)系都有圖形的體現(xiàn)。在利用數(shù)形結(jié)合方法對集合問題進(jìn)行解決的過程，本質(zhì)上是把抽象數(shù)學(xué)關(guān)系形象化、具體化，變成一種圖形關(guān)系，讓學(xué)生能夠較為直觀地發(fā)現(xiàn)集合和集合間交叉、包含關(guān)系。在具體解題時，韋恩圖與數(shù)軸是比較常用的圖形表達(dá)方式，數(shù)軸一般適合對模糊集合問題進(jìn)行處理，如判斷A、B兩個集合包含關(guān)系時，有不等式復(fù)合運(yùn)算，這時應(yīng)在數(shù)軸上反映兩個集合彼此之間的關(guān)系，用代數(shù)式標(biāo)注對應(yīng)的點(diǎn)，從而輕而易舉地發(fā)現(xiàn)每個代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系，把不等式列出并進(jìn)行運(yùn)算。韋恩圖能夠解決較為具體的集合問題，特別是數(shù)形集合問題。例如，在一次數(shù)學(xué)比賽中有A、B、C三道題，參加競賽的一共有25個學(xué)生，各學(xué)生應(yīng)選擇至少一道題進(jìn)行作答。沒有解答出A題的全部學(xué)生中，解答出B題的學(xué)生是解答出C題學(xué)生數(shù)量的兩倍，解答出A題的學(xué)生比剩下的學(xué)生多一個人，在只解答出一道題的學(xué)生里，有半數(shù)學(xué)生沒有解答出A題，求解答出B題的學(xué)生數(shù)量是多少？該題的文字表述相對復(fù)雜，特別是對部分邏輯思維能力較弱的學(xué)生來說，十分難以理解，但是用韋恩圖的方法來分析這道題，使用3個圓分別代表解答出3道題目的學(xué)生，并用相應(yīng)符號進(jìn)行劃分，如圖1所示。使用M、N、O表示分別解答出三個題目的全部學(xué)生，m、n、o、p、q、r、s表示各個分割區(qū)域，按照題目描述逐個羅列轉(zhuǎn)化，從而得到學(xué)生比較擅長與熟悉的代數(shù)式計算。

（三）解決函數(shù)極值的問題

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)極值的問題也是一個重點(diǎn)考察的部分。通常來說，函數(shù)極值可以通過基本不等式和數(shù)學(xué)公式進(jìn)行求解，如（a+b）2≤0。如果函數(shù)極值的解題過程較為復(fù)雜，應(yīng)將圖形語言適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將解題步驟以數(shù)形結(jié)合方法加以簡化，防止出現(xiàn)復(fù)雜計算的情況，利用直觀的圖形關(guān)系輕松求得答案[2]。作為高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，函數(shù)極值的問題是每年高考的熱門考點(diǎn)，在對函數(shù)極值問題進(jìn)行解答的過程中，學(xué)生要是可以使用數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法，就可以簡化答題步驟，省略很多不必要的運(yùn)算。例如，已知a2+b2+2a=0，求（a-1）2+（b+1）2的最小值。在對這道題進(jìn)行解答的過程中，學(xué)生如果使用傳統(tǒng)的運(yùn)算方法，應(yīng)按照第1個式子算出a和b的取值范圍或彼此之間的關(guān)系，并對第2個式子采取極值運(yùn)算的方法。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生使用這樣的解題思路進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算通常會顧此失彼，沒有考慮a、b兩者共存性，僅注重雙方單一存在時應(yīng)取的數(shù)值，從而使答案偏大。但是用數(shù)形結(jié)合方法，可以很好的保持a、b兩者共存性，把兩個圖像畫在坐標(biāo)系里，把復(fù)雜的極值問題變成了簡單的圖像關(guān)系問題和距離問題，從而通過相對簡單的運(yùn)算就可以求出答案。

（四）解決抽象函數(shù)的問題

在解決抽象函數(shù)的問題時，許多學(xué)生都十分吃力，特別是在解答填空題或者選擇題的時候，進(jìn)行一系列計算來解答問題會極大的浪費(fèi)學(xué)生的時間，在考試的時候很容易使后面的題沒有足夠的答題時間進(jìn)行解答。學(xué)生如果可以適當(dāng)?shù)貙?shù)形結(jié)合方法引入解題過程中，就能夠有效簡化問題，加快解題的速度。例如，如果f（a）是二次函數(shù)，該函數(shù)在f（0）時可以取得最小值，若f（x）

（五）理解數(shù)學(xué)概念

除了以上利用數(shù)形結(jié)合方法解決高中數(shù)學(xué)題的應(yīng)用外，數(shù)形結(jié)合方法還可以幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解。眾所周知，解決高中數(shù)學(xué)題離不開各種數(shù)學(xué)概念，脫離了數(shù)學(xué)概念，高中數(shù)學(xué)題的解答就無從談起。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，很多概念晦澀難懂，采用直接記憶的方式耗力耗時，并且難以取得理想的效果。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，可以利用數(shù)形結(jié)合方法把抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，從而更好地記憶與理解那些抽象的數(shù)學(xué)概念[3]。例如，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)里一個比較重要的知識點(diǎn)，三角函數(shù)中包含大量公式與概念，余弦、正弦以及兩者的二倍角公式都不容易記憶，但是利用數(shù)形結(jié)合方法，將余弦、正弦圖片畫出，就能夠通過圖片對其公式與性質(zhì)進(jìn)行理解，如畫出余弦Cosx與正弦Sinx的圖片就能夠直觀看出其單調(diào)區(qū)間、周期以及奇偶性，節(jié)約了很多理解與記憶的時間。

三、結(jié)語

總而言之，數(shù)形結(jié)合方法對學(xué)生解決高中數(shù)學(xué)題具有十分重要的作用。學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方法，不但能解決不等式和方程的問題、集合的問題、函數(shù)極值的問題、抽象函數(shù)的問題，還能更好地對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行理解與記憶。因此，學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合方法的訓(xùn)練，形成以形助數(shù)與以數(shù)解形的數(shù)學(xué)思維，從而不斷拓展解題思路，增強(qiáng)解題能力，有效提高自己的數(shù)學(xué)成績。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁健.在實(shí)驗活動課中構(gòu)建學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想——以蘇科版七年級第9章“數(shù)學(xué)活動拼圖·公式”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018，（06）：19-20.

[2]吳紫云.數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線問題解答中的應(yīng)用——以2015-2017年全國高考1卷為例[J].新課程研究（下旬刊），2018，（02）：83-86.

[3]劉慧.數(shù)形結(jié)合探思路 一題多解啟思維——2017年山東淄博中考壓軸題的解法探究與教學(xué)之思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018，（02）：59-62.

（作者單位：河北省承德市第一中學(xué)）