解題思模型，磨題悟構思
—— 一道幾何新定義題的命制過程與感悟

☉江蘇省海門市東洲國際學校 張浩杰

2018年4月，筆者在初三一輪復習中，受2017年陜西中考中一道幾何題的啟發(fā)，且行且思，命制了一道有關四邊形的新定義試題，現將命制過程中一系列思維碰撞的歷程與教學感悟整理成文，與大家交流、分享.

一、模型發(fā)現

1.試題呈現

（2017年陜西）如圖1，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC，若AC=6，則四邊形ABCD的面積為______.

2.解法簡析

思路1：如圖2，過點A分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，可證△ABM △AND，所以四邊形ABCD的面積為正方形AMCN的面積.

思路2：如圖3，把△ADC繞點A順時針旋轉90°，則AD與AB重合，C的對應點為M，則△CAM為等腰直角三角形，所以△CAM的面積為四邊形ABCD的面積.

以上兩種思路，主要通過構造全等三角形，把四邊形轉化為正方形或等腰直角三角形，進而解決問題.

3.模型推廣

從方法探究中可以發(fā)現另一結論：AC平分∠DCB.反之，若已知AC平分∠DCB，能否推出AB=AD呢？除了以上方法，還可用四點共圓，如圖4，利用圓周角定理及推論.

于是，得出新模型：

如圖5，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），①AB=AD，②AC平分∠DCB.若①和②中知一，必能推出另一個.同樣可以通過構造全等三角形，把四邊形轉化為正方形或等腰三角形，解決求面積問題.

二、命制過程

近幾年，有關四邊形的新定義問題，主要從邊、角、邊和角三大角度命制.根據發(fā)現，上述問題可以從邊和角或邊和對角線的方向嘗試命題.從定義語言組織看，從邊和角出發(fā)容易一些.

1.形成初稿

我們定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“完美”四邊形.

如圖6，四邊形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），則四邊形ABCD叫作“完美”四邊形.

（1）概念理解：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形，在這四種圖形中，一定為“完美”四邊形的是______.

（2）結論發(fā)現：如圖7，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC，則AC是否平分∠BCD？寫出證明過程.

（3）模仿運用：如圖8，已知四邊形ABCD是“完美”四邊形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AD=DC，求四邊形ABCD的面積.

2.研磨推敲

第（1）問主要考查學生對新定義的理解，借助我們熟悉的四邊形讓學生判別，基本目的達到.

對于第（2）問，∠BAD=∠BCD=90°，特殊情況，感覺需要另起爐灶，順暢性不夠.改為一般情況：四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，連接AC，則AC是否平分∠BCD？

這樣一來，探究味有了，問題間的聯系也更緊密了.

對于第（3）問，初稿條件給人感覺區(qū)分度不大，體現不出能力考查.若給出線段AB、BC的值，問題變化為“已知四邊形ABCD是‘完美’四邊形，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，求四邊形ABCD的面積”，滲透分類思想，較初稿有了一定的難度.但在做題時，發(fā)現方法考查目的性不強，利用解直角三角形也可處理此問題.考慮改為“如圖9，已知四邊形ABCD是‘完美’四邊形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，求四邊形ABCD的面積”.自我探究如下：

①AD=CD.連接DB，把△ADB繞點D順時針旋轉60°，點D對應點M，則B、C、M在同一條直線上，BM=BC+CM=BC+AB=6，△BDM是等邊三角形.S四邊形ABCD=S△DBM=

可以發(fā)現在②和③兩種情況下，面積可以用含參數的代數式表示.若給予參數一定的取值范圍，可以求出四邊形的最大值.因此有第4稿“如圖12，已知四邊形ABCD是‘完美四邊形’，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，若2≤BC≤3，求四邊形ABCD面積的最大值.”

3.形成定稿

我們定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“完美四邊形”.

如圖10，四邊形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），則四邊形ABCD叫作“完美”四邊形.

（1）概念理解：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形，在這四種圖形中，一定為“完美”四邊形的是____.

（2）結論發(fā)現：如圖11，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，連接AC，則AC是否平分∠BCD？寫出證明過程.

（3）模仿運用：如圖12，已知四邊形ABCD是“完美”四邊形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，若2≤BC≤3，求四邊形ABCD面積的最大值.

三、命題感悟

1.關注解題后的反思

作為教師，在解題過程中不僅僅追求答案，更需要對題中的條件與問題進行比較、聯想，發(fā)現其中存在的基本規(guī)律與生長點，而這些往往是我們編題的最好資源，同時是課堂教學的拓展點，可打通知識之間的聯系，讓學生的思維品質得到真正提高.如本題正是經歷了一道中考題的解法探究到規(guī)律發(fā)現，誘發(fā)了深層次的思考與變化，形成新的題型.

2.關注磨題中的“質疑”

磨題的價值在于，讓語言更順暢，讓問題的梯度設置更有區(qū)分度，讓知識的融合更加密切，讓技能的考查更加有效.本題的4次打磨過程中，經歷了從特殊到一般的圖形呈現，經歷了已知條件是直接或間接的賦予，也嘗試了從不同角度解決問題的路徑，由表及里，逐層推進，讓學生的探究更“有味”，即落實讓不同的學生得到不同的發(fā)展的理念.

3.關注教學中的“建模”

我們知道，數學中的許多問題都可以抽象成數學模型進行解決.作為教師，關鍵在于引導學生如何從原型過渡到模型.一是開展研究性學習，讓學生從多維度、多視角感知一類問題共同具有的特征或數量關系，為學生建構模型奠定扎實的基礎；二是加強模型運用，讓學生從訓練中感悟建構過程、基本方法、基本結論，實現從“知其然”到“知其所以然”.如：自編一道應用題，要求如下：路程應用題，三個數據必須全部用到，不添加其他數據.再比如：平行四邊形ABCD，通過添線，你可以產生哪些新的圖形？產生的新圖形之間或與原圖形之間有何聯系？如圖13所示.

①添加角平分線

②添加平行線

③添加垂直平分線

通過這些舉措，有助于學生發(fā)現數學模型，有助于學生理解數學，發(fā)展學生的思維能力，更有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

四、寫在最后

初中階段的數學模型有很多，認識模型、研究模型的過程中，可以發(fā)現其蘊含的結論與常規(guī)破解思路.而分離模型、構造模型往往可以讓我們的解題過程更便捷.真正從“源”入手，可以達到觸類旁通的效果.磨題即試題打磨，一磨好結構，如考查方式、層次性、知識點滲透等；二磨解法，入口要寬，解法不唯一等.只有這樣，才能確保試題的信度與效度及可推廣性，呈現簡約而不簡單的好題.