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    靠船下篙,順?biāo)浦?,船行千?br/>——對(duì)2018年南通市中考數(shù)學(xué)第28題的分析與思考

    2018-11-19 03:47:30江蘇省如皋經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初中章小健
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年22期
    關(guān)鍵詞:角點(diǎn)本題直線

    ☉江蘇省如皋經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 章小健

    今年我有幸參加了2018年南通市中考數(shù)學(xué)試卷的評(píng)閱工作.今年數(shù)學(xué)試卷以“課標(biāo)”為依據(jù),以“教材”為題源,充分體現(xiàn)了“遵循課標(biāo),緊扣課本,重視能力,貼近生活,控制難度”五大命題原則.第28題(壓軸題)以教材“最短路徑模型”構(gòu)造新定義,考查對(duì)定義的理解、運(yùn)用和探究,試題入口熟悉又寬敞,解法多樣,探索性強(qiáng),是課本經(jīng)典題目和題型的升華,讓經(jīng)典題有了新意,更有活力.

    本文擬對(duì)第28題進(jìn)行深入分析,并結(jié)合試卷中所反饋的信息,談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示與思考.

    一、試題呈現(xiàn)

    【定義】如圖1,A、B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交直線l于點(diǎn)P.連接AP,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”.

    (2)若直線l垂直于x軸,點(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的等角點(diǎn),其中m>2,∠APB=α,求證:tan

    (3)若點(diǎn)P是點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn),且點(diǎn)P位于直線AB的右下方,當(dāng)∠APB=60°時(shí),求b的取值范圍(直接寫出結(jié)果).

    二、參考答案

    (1)C.

    (2)如圖3,因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A、B關(guān)于直線l(直線x=m)的等角點(diǎn),由定義可知A、A′關(guān)于直線x=m對(duì)稱,所以PA=PA′,∠APG=∠BPH.

    所以∠A=∠A′.又∠APB=∠A+∠A′=α,所以∠A=

    作BH⊥直線x=m,垂足為H.

    可得∠AGP=∠BHP=90°,所以△AGP △BHP,則

    三、優(yōu)秀解法

    本題第(2)問,敘述簡約,呈現(xiàn)簡潔,解法靈活多樣,現(xiàn)給出不同于參考答案的一些解法,供參考.

    解法1:如圖4,延長A′A交y軸于點(diǎn)G.設(shè)A′B交y軸于點(diǎn)H,連接GH.

    因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A、B關(guān)于直線(l直線x=m)的等角點(diǎn),由定義可知A、A′關(guān)于直線x=m對(duì)稱,可求得A(′2m-2,),PA=PA′,所以∠PAA′=∠A′.又∠APB=∠PAA′+∠A′=α,所以∠A

    設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b(k≠0).把A(′2m-2,)、B(-2,-)代入,得:

    解法2:如圖6,作PG⊥y軸于點(diǎn)G.設(shè)直線A′B交y軸于點(diǎn)H,則∠GPH=∠A′.

    分析:解法1和解法2中,學(xué)生利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出了帶參數(shù)的直線解析式,再利用直線的解析式求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)表示出線段的長度(用含m或n的代數(shù)式表示),從而在直角三角形中,利用三角函數(shù)的定義求解.此方法學(xué)生易下手,貼近學(xué)生思維.

    解法3:如圖7,設(shè)A′B交x軸于點(diǎn)M,直線x=m交x軸于點(diǎn)N,連接MN.

    yA′+yB=0,所以A′、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

    由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得xM=m-2,所以MN=2.

    分析:學(xué)生緊靠定義實(shí)現(xiàn)條件的轉(zhuǎn)化,求出點(diǎn)A′的坐標(biāo),發(fā)現(xiàn)B、A′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,從而求出M點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出MN的長,根據(jù)要證結(jié)論,考慮包含的直角三角形,直接利用定義轉(zhuǎn)化成線段的比值,問題得證.解法獨(dú)特,頗具新意.

    解法4:如圖8,連接AB.

    yA′+yB=0,所以A′、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

    O、M分別是BA、BA′的中點(diǎn),所以O(shè)M是△BAA′的中位線.

    解法5:如圖9,過A′、B分別作x軸和y軸的垂線,交于點(diǎn)H,A′H交x軸于點(diǎn)N.

    yA′+yB=0,所以A′、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,M是BA′的中點(diǎn).又N為AH的中點(diǎn),所以MN是△A′BH的中位線.

    分析:解法4和解法5中,學(xué)生從定義出發(fā),求出點(diǎn)的坐標(biāo),再由點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)對(duì)稱,進(jìn)而構(gòu)造出三角形的中位線,利用中位線求出OM或MN的長,使問題得證.

    解法6:如圖10,因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A、B關(guān)于直線l(直線x=m)的等角點(diǎn),由定義可知A、A′關(guān)于直線x=m對(duì)稱,可求得點(diǎn)A(′2m-2,

    分析:解法6和解法7思路簡潔,但兩種解法中都應(yīng)用到直線的斜率k的計(jì)算公式解法7中還用到了直線的夾角公式和正切倍角公式.學(xué)生需要對(duì)公式有清晰的認(rèn)識(shí)和理解,并會(huì)運(yùn)用公式,解法7運(yùn)用了歸納推理和演繹推理相結(jié)合的探究方法,這可能得益于創(chuàng)新班學(xué)生之筆.

    在眾多考生中也有不少考生考慮作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn),構(gòu)造“等角點(diǎn)”(如圖11),其他解法同上文.

    四、試題評(píng)析

    本題以課本例題“最短路徑模型”構(gòu)造新定義.學(xué)生感覺模型熟悉,定義簡單,其實(shí)就是舊知的一個(gè)創(chuàng)新.這與近幾年南通中考最后一題相比有了很大的變化,本題不再是以拋物線或雙曲線為載體,而是根據(jù)學(xué)生熟知的模型,重新定義,考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)、知識(shí)遷移與探究的能力.

    第(1)問是第(2)問的具體情境.第(1)問的解法為第(2)問提供了解題的思路和方法,意在引導(dǎo)學(xué)生由淺入深向第(2)問和第(3)問過渡,安排合理,為學(xué)生探究鋪路.第(2)問難度不大,但方法靈活,主要是幫助學(xué)生克服畏難的心理障礙,為第(3)問探究和創(chuàng)新樹立信心.第(3)問緊扣定義,確定P點(diǎn)的軌跡,從而確定直線的位置.

    如圖12,因?yàn)锳B長為定值,且∠APB=60°也是定值,所以點(diǎn)P始終在以AB為邊的等邊三角形的外接圓上.故可在直線AB的右側(cè)以AB為邊作等邊△ABC,再作△ABC的外接圓⊙O′.根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義,P是點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn).故直線y=kx+b與直線PA、PB所成銳角相等,即∠BPM=∠APN.又∠APB=60°,所以∠BPM=∠CPN=60°.故可作∠APB的角平分線PG,過P點(diǎn)再作PG的垂線MN即為直線y=ax+b.在⊙O′中,∠APN=∠ABC=60°,所以MN必過點(diǎn)C,即直線y=ax+b必過點(diǎn)C.考慮點(diǎn)P在直線AB的右下方,且點(diǎn)P在⊙O′上,我們可以把直線MN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)尋找點(diǎn)P的可能位置,可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)A時(shí)(如圖13和圖14),即為第(3)問問題探究的極端情況.當(dāng)直線y=ax+b平行于x軸時(shí)(如圖15),a=0,與題意不符,故排除.

    當(dāng)點(diǎn)P、A重合時(shí),直線y=ax+b(a≠0)過點(diǎn)A、C,求得(如圖14).

    第(3)問要求學(xué)生結(jié)合圖形探究點(diǎn)和直線的運(yùn)動(dòng)變化,觀察、分析、歸納、推理,發(fā)現(xiàn)結(jié)論.優(yōu)秀學(xué)生能展示自己的數(shù)學(xué)智慧和創(chuàng)新能力,使該題起到了選拔的作用.

    五、教學(xué)啟示

    從考生卷面及得分看,對(duì)于第(1)問,多數(shù)考生可得全分,第(2)問和第(3)問問題較多,一些學(xué)生不能把定義的內(nèi)涵應(yīng)用于新的情境,如本題中“等角點(diǎn)”的定義,學(xué)生未能把等角的條件轉(zhuǎn)化利用,構(gòu)建相似,一些學(xué)生不能利用基本模型,如過B點(diǎn)作直線x=m的垂線,構(gòu)造“X型”等數(shù)學(xué)模型構(gòu)造相似,建立邊長關(guān)系,不會(huì)求解含字母系數(shù)的直線的解析式,不會(huì)計(jì)算與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及用含字母m或n的代數(shù)式表示線段的長.因此,對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有以下啟示.

    1.關(guān)注基礎(chǔ),理解定義的內(nèi)涵,實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

    本題第(1)問和第(2)問難度不大,但許多考生不能把新定義的知識(shí)遷移.我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中,必須加強(qiáng)定義的理解,掌握定義的內(nèi)涵,夯實(shí)基礎(chǔ).對(duì)于新定義的教學(xué),我們首先要深刻理解概念,然后提煉問題結(jié)構(gòu),再從數(shù)形結(jié)合的角度揭示問題結(jié)構(gòu).像上文中找出P點(diǎn)在以AB為邊的等邊三角形的外接圓上,借助圓研究.課堂教學(xué)中,積極引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、反思質(zhì)疑,加強(qiáng)互動(dòng).關(guān)注“知識(shí)與技能”的發(fā)生和發(fā)展過程,在應(yīng)用中不斷鞏固和深化“雙基”,從而讓學(xué)生真正理解定義的內(nèi)涵,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

    2.立足教材,重視基本模型,提升解題能力

    教材與教材中的一些數(shù)學(xué)模型,是中考命題的藍(lán)本,同時(shí)是天然的好素材.每年都有大量的新穎試題直接源于教材,或以教材中提供的一些數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ),經(jīng)過改造整編、移植借鑒.因此,在平時(shí)的教學(xué)中,立足教材,重視基本模型,要理解基本圖形的關(guān)鍵特征,找準(zhǔn)基本圖形的核心要素.試題中有的基本圖形處于潛伏狀態(tài),有時(shí)需要通過補(bǔ)充嘗試激活基本模型.如上文中作垂直構(gòu)造“類似K型或X型或A型”模型.我們要讓教材成為學(xué)生鞏固知識(shí)、觀察、分析、思考、探究問題、發(fā)展能力、掌握思想方法的重要渠道,真正實(shí)現(xiàn)從“教教材”到“用教材教”的飛躍,以提升解題能力.

    3.注重發(fā)散,加強(qiáng)思維拓展,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

    創(chuàng)新思維是時(shí)代發(fā)展的需要,沒有創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)就造就不了創(chuàng)新型人才.在平時(shí)教學(xué)中,鼓勵(lì)學(xué)生再次發(fā)現(xiàn),重新組合,讓學(xué)生在知識(shí)的自主建構(gòu)中,張開思維和想象的翅膀,尋找問題解決的策略,應(yīng)盡可能地發(fā)散學(xué)生的思維.發(fā)展學(xué)生的求異思維,使其學(xué)會(huì)從多角度、全方位考慮問題,培養(yǎng)其創(chuàng)新能力.在新定義考題解題教學(xué)中,遇到一些直接寫結(jié)果的設(shè)問時(shí),要充分展開思維過程,通過數(shù)形結(jié)合、動(dòng)畫展示的方式,讓學(xué)生對(duì)解題思路的理解有更直觀的認(rèn)識(shí).

    在試卷評(píng)閱中發(fā)現(xiàn),有部分考生解題不規(guī)范,格式不簡明,抓不住得分點(diǎn).如有學(xué)生用P(m,n)、B(-2,-)求直線的解析式,解析式中含兩個(gè)參數(shù)字母,為后續(xù)解題設(shè)置了障礙.還有考生把表示成,導(dǎo)致錯(cuò)誤.還有代數(shù)式的變形、化簡、計(jì)算錯(cuò)誤較多.所以平時(shí)教學(xué)中,一定要嚴(yán)格要求學(xué)生,規(guī)范解題格式和書寫格式,養(yǎng)成正確的解題習(xí)慣,提高學(xué)業(yè)水平,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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