由一道習(xí)題的講評(píng)引發(fā)的思考

☉浙江省溫州市甌海區(qū)外國語學(xué)校 陳乘風(fēng)

習(xí)題課教學(xué)是初中數(shù)學(xué)最常見的一種課型，如何優(yōu)化習(xí)題講評(píng)，借助于習(xí)題講評(píng)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？本文借助于具體的實(shí)踐談一談筆者的思考，望能有助于初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐.

一、習(xí)題呈現(xiàn)與解析

習(xí)題：一矩形紙片OABC如圖1所示，若OA=7，OC=5，在BC邊上取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D（圖中未標(biāo)出），現(xiàn)將△OCD沿直線OD折疊，若頂點(diǎn)C折疊后落于直線l：y=x+7上時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作E、F點(diǎn)，若頂點(diǎn)C折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落于OA邊上，將其記作G點(diǎn).

（1）求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求經(jīng)過G、E、F三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式.

（3）若點(diǎn)C折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落于直線l上，求CD的長度？

（4）在問題（2）中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP成直角三角形？如果你認(rèn)為存在，則請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)？如果你認(rèn)為不存在，請(qǐng)給出你分析的理由.

解析：（1）過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M.如圖2所示，則OE=OC=5.設(shè)點(diǎn)E（x，-x+7），可得EM=-x+7，OM=x.在Rt△OME中，OM2+EM2=OE2.則x2+（-x+7）2=52，解得x=3或x=4.當(dāng)x=3時(shí)，y=-x+7=4；當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+7=3.

則E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)為E（3，4）、F（4，3）.

（2）設(shè)經(jīng)過G、E、F三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.將E（3，4）、F（4，3）、G（5，0）代入，可得：

（3）若點(diǎn)C折疊后落在點(diǎn)E上，如圖3，設(shè)點(diǎn)C與動(dòng)點(diǎn)的距離CD=m.過E作ME⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.

由E（3，4），可知CN=3，EM=4，EN=5-4=1，DN=3-m，DE=CD=m.

在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，即m2=（3-m）2+12，解得

（4）設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使△EFP成直角三角形，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其坐標(biāo)為（x，-x2+6x-5）.

若PF是斜邊，作FH⊥EM于點(diǎn)H，作PK⊥EM于點(diǎn)K，如圖4所示.

同理，若PE是斜邊，可求得點(diǎn)P（1，0）.

若EF是斜邊，以EF為直徑作一個(gè)圓，則點(diǎn)P在圓上，但該圓與拋物線的交點(diǎn)只有E、F，因此也就不存在能夠使△EPF為直角三角形的點(diǎn)P.

二、該習(xí)題的講評(píng)策略

這道題如何講評(píng)才能起到良好的教學(xué)效果呢？筆者認(rèn)為可以從如下幾個(gè)方面入手.

1.在實(shí)踐中建模

這道題在學(xué)生審題的過程中，如果缺乏空間想象能力，往往會(huì)有諸多困惑，但基本上都集中在點(diǎn)C折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′上.

困惑1：△OCD沿OD折疊時(shí)，點(diǎn)C折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（可以將其記為點(diǎn)C′）是否一定落在直線l：y=-x+7上？分析影響其落在直線上的因素有哪些.

困惑2：點(diǎn)C′的位置存在幾個(gè)？

如何解惑呢？最好的辦法就是讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)，動(dòng)手實(shí)踐自主定位點(diǎn)C′.

實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)每組學(xué)生提供一張矩形白紙，要求學(xué)生經(jīng)過O點(diǎn)自主折疊矩形一角，如圖5所示，然后在學(xué)生實(shí)踐的基礎(chǔ)上，采用提問的方式進(jìn)行建模.

問題1：你在折疊白紙時(shí)遇到了什么問題？（筆者在巡視中發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)一部分學(xué)生遲遲不敢下手折疊白紙，詢問后發(fā)現(xiàn)，他們不敢下手的原因是事先沒有約定好沿什么方向折疊.這的確是一個(gè)問題，因?yàn)槿笔Я嗽摋l件，折出來的折痕就會(huì)不同.）

問題2：折疊好后，相互之間比較一下，看一看大家折的有什么異同.（所有學(xué)生折出來的結(jié)果有一點(diǎn)是相同的，即折痕均經(jīng)過點(diǎn)O，其他就不一樣了，正因?yàn)橛羞@樣的差異，可以及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種折疊方法的探究與比較.）

問題3：（巡視中尋找目標(biāo)學(xué)生）請(qǐng)你談一談在過點(diǎn)O折疊矩形一角這一實(shí)驗(yàn)過程中有怎樣的感悟.

生：我們嘗試了很多種折疊，我們發(fā)現(xiàn)折疊的過程相當(dāng)于將線段OC繞點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以C點(diǎn)肯定落在以O(shè)為圓心的一個(gè)圓周上，圓的半徑為OC（如圖6）.

在學(xué)生有了上述實(shí)踐與感悟后，再一次引導(dǎo)學(xué)生回到最初兩個(gè)困惑的討論中來，并在討論中有新的發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)C和直線l的位置關(guān)系的即為直線和圓O的位置關(guān)系，同時(shí)圓心與直線的距離d和（rOC）之間的大小關(guān)系又對(duì)直線和圓的位置關(guān)系有影響，這是解決此題的突破口所在.根據(jù)題意我們可以求得，繼而判斷直線和圓存在兩個(gè)交點(diǎn)，如圖7所示，設(shè)交點(diǎn)為E、F.

找到了定點(diǎn)E、F，AE、AF就必然為定值.如此一來，我們探究的問題又可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)E、F到矩形OABC的頂點(diǎn)、邊界、靜態(tài)線段距離的問題探究.由此作圖，如圖8所示，在矩形OABC中，現(xiàn)經(jīng)過頂點(diǎn)O的某一直線折一個(gè)“拐”并使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊MN上.

引導(dǎo)學(xué)生在圖8中找到相關(guān)已知線段，然后對(duì)圖形進(jìn)一步提煉得到圖9所示模型，完成問題的轉(zhuǎn)化：如圖9所示，在矩形OMNC中，過點(diǎn)O沿直線OD折疊一個(gè)角，D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰巧落在直線MN上的E點(diǎn)，且已知EN=1，求CD的長.如此轉(zhuǎn)化后，熟悉的翻折模型自然浮現(xiàn)在學(xué)生大腦，原有認(rèn)知被有效喚醒：這是折疊圖形使其一個(gè)角的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于某條邊所在直線上的問題，該問題學(xué)生是熟悉的，運(yùn)用勾股定理即可完成求解.

2.在直觀想象中建模

數(shù)學(xué)問題的解決需要學(xué)生建模，除了上述在實(shí)踐過程中完成建模和問題的轉(zhuǎn)化，我們還應(yīng)該更多地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀想象和科學(xué)思維，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法完成問題的簡化.

例如，第（4）個(gè)問題我們除了采用上文解析中的方法，借助直觀想象通過數(shù)學(xué)建模的方式也可以解決，而且問題的解決會(huì)變得更簡單、直觀.

從△EFP為直角三角形的可能性出發(fā)，根據(jù)直角頂點(diǎn)的差異可以分成三種類型討論：

情形1：點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，作FH⊥EM于點(diǎn)H，并延長FH與拋物線交于點(diǎn)P，如圖10所示，從已知條件出發(fā)，再觀察圖形，可得△FHE為等腰直角三角形，得∠FEH=45°.

再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可得∠FEH=∠PEH=45°.則∠FEP=90°，所以點(diǎn)P滿足條件，點(diǎn)P和點(diǎn)F軸對(duì)稱，則F（4，3），所以P（2，3）.

情形2：點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，我們可以過點(diǎn)F作FP⊥EF，并與拋物線相交于點(diǎn)P′，再借助想象，借助勾股定理模型、勾股定理的逆定理最終推出△P′EF是直角三角形，得到P（1，0）.

情形3：將P作為直角頂點(diǎn)（解法與前文解析相同）.

總之，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，我們要盡可能調(diào)動(dòng)學(xué)生多個(gè)感官的參與，在習(xí)題講評(píng)的過程中，應(yīng)該注重思維可視化引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生直觀想象、猜想和推理的能力，在解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)的形態(tài)美、邏輯美，發(fā)展學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治鰡栴}、解決問題的態(tài)度，在不斷探索問題解決方法的過程中完成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.