概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)習(xí)方法研究

宮雷

摘要：本文根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)，提出學(xué)好“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的方法。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 課程特點(diǎn) 學(xué)習(xí)方法

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是理工科大學(xué)生的一門必修課程，由于該學(xué)科與生活實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)有著緊密的聯(lián)系，是許多新發(fā)展的前沿學(xué)科（如控制論、信息論、可靠性理論、人工智能等）的基礎(chǔ)，因此學(xué)好這一學(xué)科是十分重要的。

經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)雖然高等數(shù)學(xué)與概率統(tǒng)計(jì)同屬數(shù)學(xué)學(xué)科，但各有自己的特點(diǎn).高等數(shù)學(xué)主要是通過(guò)學(xué)習(xí)極限、導(dǎo)數(shù)和積分等知識(shí)解決有關(guān)（一維或多維）函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和圖象的問(wèn)題，它與中學(xué)的數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系而且有著相同的思想方法和解題思路.因而在概念上理解比較容易接受（當(dāng)然也有比較抽象的內(nèi)容如中值定理等）.另一方面由于涉及許多具體初等函數(shù)，在求導(dǎo)數(shù)和積分時(shí)有許多計(jì)算上的技巧，需要大量練習(xí)以熟練掌握這些技巧，因而部分學(xué)生即使概念不十分清楚，但仍能正確解答相當(dāng)多的試題，在考研中得到一定的成績(jī)。

而在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)中更注重的是概念的理解，而這正是廣大學(xué)生所疏忽的，在考研復(fù)習(xí)時(shí)幾乎有近一半以上學(xué)生對(duì)“什么是隨機(jī)變量”、“為什么要引進(jìn)隨機(jī)變量”仍說(shuō)不清楚。對(duì)于涉及隨機(jī)變量的獨(dú)立，不相關(guān)等概念更是無(wú)從著手，這一方面是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)處理的是“確定”的事件。

根據(jù)上面分析，啟示我們不能把高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法照搬到“概率統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)上來(lái)，而應(yīng)按照概率統(tǒng)計(jì)自身的特點(diǎn)提出學(xué)習(xí)方法，才能取得“事半功倍”的效果.下面我們分別對(duì)“概率論”和“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)方法提出一些建議。

一、

學(xué)習(xí)“概率論”要注意以下幾個(gè)要點(diǎn)

1.在學(xué)習(xí)“概率論”的過(guò)程中要抓住對(duì)概念的引入和背景的理解，例如為什么要引進(jìn)“隨機(jī)變量”這一概念。這實(shí)際上是一個(gè)抽象過(guò)程。正如小學(xué)生最初學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)總是一個(gè)蘋果加2個(gè)蘋果等于3個(gè)蘋果，然后抽象為1+2=3.對(duì)于具體的隨機(jī)試驗(yàn)中的具體隨機(jī)事件，可以計(jì)算其概率，但這畢竟是局部的，孤立的，能否將不同隨機(jī)試驗(yàn)的不同樣本空間予以統(tǒng)一，并對(duì)整個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行刻畫。隨機(jī)變量X（即從樣本空間到實(shí)軸的單值實(shí)函數(shù)）的引進(jìn)使原先不同隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件的概率都可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量落在某一實(shí)數(shù)集合B的概率，不同的隨機(jī)試驗(yàn)可由不同的隨機(jī)變量來(lái)刻畫.此外若對(duì)一切實(shí)數(shù)集合B，知道P（X∈B）.那么隨機(jī)試驗(yàn)的任一隨機(jī)事件的概率也就完全確定了.所以我們只須求出隨機(jī)變量X的分布P（X∈B）.就對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行了全面的刻畫.它的研究成了概率論的研究中心課題.故而隨機(jī)變量的引入是概率論發(fā)展歷史中的一個(gè)重要里程碑。類似地，概率公理化定義的引進(jìn)，分布函數(shù)、離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分類，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征等概念的引進(jìn)都有明確的背景，在學(xué)習(xí)中要深入理解體會(huì)。

2.在學(xué)習(xí)“概率論”過(guò)程中對(duì)于引入概念的內(nèi)涵和相互間的聯(lián)系和差異要仔細(xì)推敲，例如隨機(jī)變量概念的內(nèi)涵有哪些意義：它是一個(gè)從樣本空間到實(shí)軸的單值實(shí)函數(shù)X（w），但它不同于一般的函數(shù)，首先它的定義域是樣本空間，不同隨機(jī)試驗(yàn)有不同的樣本空間.而它的取值是不確定的，

隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同可取不同值，但是它取某一區(qū)間的概率又能根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)予以確定的，而我們關(guān)心的通常只是它的取值范圍，即對(duì)于實(shí)軸上任—B，計(jì)算概率P（X∈B），即隨機(jī)變量X的分布。只有理解了隨機(jī)變量的內(nèi)涵，下面的概念如分布函數(shù)等等才能真正理解.又如隨機(jī)事件的互不相容和相互獨(dú)立兩個(gè)概念通常會(huì)混淆，前者是事件的運(yùn)算性質(zhì)，后者是事件的概率性質(zhì)，但它們又有一定聯(lián)系，如果P（A）-P（B）>0，則A，B獨(dú)立則一定相容。類似地，如隨機(jī)變量的獨(dú)立和不相關(guān)等概念的聯(lián)系與差異一定要真正搞懂。

3.搞懂了概率論中的各個(gè)概念，一般具體的計(jì)算都是不難的，如F（x）=P（X≤x），EX，DX等按定義都易求得。計(jì)算中的難點(diǎn)有古典概型和幾何概型的概率計(jì)算，二維隨機(jī)變量的邊緣分布fx（x）=∫-∞∞ f（x，y）d y，事件B的概率P（（X，Y）∈B）=∫∫Bf（x，y）dxdy，卷積公式等的計(jì)算，它們形式上很簡(jiǎn)單，但是由于f（x，y）通常是分段函數(shù)，真正的積分限并不再是（-∞，∞）或B，這時(shí)如何正確確定事實(shí)上的積分限就成了正確解題的關(guān)鍵，要切實(shí)掌握。

4.概率論中也有許多習(xí)題，在解題過(guò)程中不要為解題而解題，而應(yīng)理解題目所涉及的概念及解題的目的，至于具體計(jì)算中的某些技巧基本上在高等數(shù)學(xué)中都已學(xué)過(guò).因此概率論學(xué)習(xí)的關(guān)鍵不在于做許多習(xí)題，而要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去，這樣往往能“事半功倍”。

二、

學(xué)習(xí)“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”要注意以下幾個(gè)要點(diǎn)

1.由于數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門實(shí)用性極強(qiáng)的學(xué)科，在學(xué)習(xí)中要緊扣它的實(shí)際背景，理解統(tǒng)計(jì)方法的直觀含義.了解數(shù)理統(tǒng)計(jì)能解決那些實(shí)際問(wèn)題.對(duì)如何處理抽樣數(shù)據(jù)，并根據(jù)處理的結(jié)果作出合理的統(tǒng)計(jì)推斷，該結(jié)論的可靠性有多少要有一個(gè)總體的思維框架，這樣，學(xué)起來(lái)就不會(huì)枯燥而且容易記憶.例如估計(jì)未知分布的數(shù)學(xué)期望，就要考慮到①如何尋求合適的估計(jì)量的途徑，②如何比較多個(gè)估計(jì)量的優(yōu)劣？這樣，針對(duì)①按不同的統(tǒng)計(jì)思想可推出矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，而針對(duì)②又可分為無(wú)偏估計(jì)、有效估計(jì)、相合估計(jì)，因?yàn)椴煌墓烙?jì)名稱有著不同的含義，一個(gè)具體估計(jì)量可以滿足上面的每一個(gè)，也可能不滿足.掌握了尋求估計(jì)的統(tǒng)計(jì)思想，具體尋求估計(jì)的步驟往往是“套路子”的，并不困難，然而如果沒(méi)有從根本上理解，僅死背套路子往往會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。

2.許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)過(guò)程中往往抱怨公式太多，置信區(qū)間，假設(shè)檢驗(yàn)表格多而且記不住.事實(shí)上概括起來(lái)只有八個(gè)公式需要記憶，而且它們之間有著緊密聯(lián)系，并不難記，而區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中只是這八個(gè)公式的不同運(yùn)用而已，關(guān)鍵在于理解區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)意義，在理解基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用這八個(gè)公式，完全沒(méi)有必要死記硬背。