《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中的美學(xué)教育

【摘要】本文介紹了數(shù)學(xué)美的基本特征，并結(jié)合《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課的教學(xué)實(shí)踐，論述了在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘數(shù)學(xué)美的特征進(jìn)行美學(xué)教育。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 美學(xué)教育

【中圖分類號(hào)】O17 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）39-0131-02

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，不但是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的主要課程，是學(xué)生培養(yǎng)理性思維的主要載體，而且是學(xué)生接受美感熏陶的一種途徑。如果教師在教學(xué)過(guò)程中能經(jīng)常自覺(jué)地滲透數(shù)學(xué)美的思想，這對(duì)于不斷增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果是大有裨益的。筆者在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課的教學(xué)實(shí)踐中曾經(jīng)進(jìn)行過(guò)一些有益的嘗試，收到了很好的教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)美的基本特征

數(shù)學(xué)美是一種科學(xué)美，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：“作為科學(xué)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)，具有一般語(yǔ)言文學(xué)和藝術(shù)所共有的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題和模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容”。這段話是對(duì)數(shù)學(xué)美內(nèi)容和形式的精辟論述，統(tǒng)一性、對(duì)稱性、簡(jiǎn)潔性和奇異性可以看成是數(shù)學(xué)美的基本特征。

1.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性，是指數(shù)學(xué)中部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數(shù)與形本是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)獨(dú)立的對(duì)象，對(duì)它們的研究，分別構(gòu)成了代數(shù)與幾何。然而通過(guò)坐標(biāo)系的建立，使點(diǎn)與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)，從而把代數(shù)研究的對(duì)象與幾何研究的對(duì)象——方程與曲線聯(lián)系了起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律來(lái)看，數(shù)學(xué)的發(fā)展將日益證明數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。為了使龐大的數(shù)學(xué)體系變得簡(jiǎn)單而精確，數(shù)學(xué)家們經(jīng)常依據(jù)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的共性，提出統(tǒng)一數(shù)學(xué)各部分的新觀點(diǎn)、新理論。公理化方法、結(jié)構(gòu)思想就是從統(tǒng)一性目標(biāo)出發(fā)而提出的建立數(shù)學(xué)體系的方法。

2.數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

大自然以對(duì)稱方式構(gòu)造了人，給人自身的美的啟迪。籍此，人們發(fā)現(xiàn)了一切生物界的對(duì)稱結(jié)構(gòu)及至天體和大自然中的種種對(duì)稱結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對(duì)稱概念上升為一個(gè)哲學(xué)范疇受到青睞，且促使人們藝術(shù)的潛心研究，創(chuàng)造了越來(lái)越多的對(duì)稱。

在數(shù)學(xué)中，對(duì)稱概念被嚴(yán)格化、形式化了，從而更加展示了它的美。具有對(duì)稱性的對(duì)象常常具有更多更美的性質(zhì)，從而更加吸引數(shù)學(xué)愛(ài)好者。特別值得一提的是：對(duì)稱性常常給我們帶來(lái)計(jì)算和證明數(shù)學(xué)問(wèn)題中的許多方便和簡(jiǎn)單。

3.數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美

所謂數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性，按其內(nèi)涵有些類似于一般藝術(shù)欣賞中所說(shuō)的淺易美。英國(guó)學(xué)者威廉·奧卡姆認(rèn)為在諸多理論中最簡(jiǎn)單的那個(gè)理論，即是最美的理論，而美的理論才能在競(jìng)爭(zhēng)中取勝。伽利略說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是上帝來(lái)描述大自然的音符。”的確，數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身就十分優(yōu)美，不可用別的語(yǔ)言來(lái)代替。哲學(xué)家也承認(rèn)，世界上沒(méi)有任何一種語(yǔ)言比數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)得更為簡(jiǎn)潔而確切。如牛頓的力學(xué)定律、電磁場(chǎng)的麥克思韋方程、愛(ài)因斯坦的相對(duì)論公式等等，就其描述的自然規(guī)律是何等的深刻、重要而復(fù)雜，但它的數(shù)學(xué)表達(dá)式又是何等的簡(jiǎn)潔！這正是數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔美的精彩表現(xiàn)。

4.數(shù)學(xué)的奇異美

數(shù)學(xué)美的奇異性特征，即在于“新”與“奇”。它正好迎合于人們?cè)谒囆g(shù)欣賞和科學(xué)探索中求新求異的心理意境。奇異有時(shí)也近乎荒誕，因而奇異性與通常藝術(shù)欣賞中所說(shuō)的荒誕美、滑稽美有些類似。因?yàn)槠娈愔帲菀资谷水a(chǎn)生崇高感，在數(shù)學(xué)中對(duì)于新奇的領(lǐng)域和新奇的問(wèn)題，也可以使數(shù)學(xué)家產(chǎn)生一種神秘莫測(cè)的美感。

奇異是一種美，奇異到極度更是一種美，在某種意義上，數(shù)學(xué)中的和諧性與奇異性是世界的統(tǒng)一性和多樣性在數(shù)學(xué)中的反映。客觀世界表現(xiàn)為統(tǒng)一性與多樣性的統(tǒng)一，而數(shù)學(xué)則是和諧性與奇異性的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力之一。就數(shù)學(xué)中的奇異性而言，其中頗有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活經(jīng)驗(yàn)也告訴我們，凡是新而不平常的東西，總能在人們的心靈深處感受到一種愉悅的驚奇。同時(shí)，人們的好奇心也得到了一定程度上的滿足。如果在學(xué)習(xí)中能引發(fā)起學(xué)生的這種好奇心，那么就能極大地提高學(xué)習(xí)的效率。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行美學(xué)教育

在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)美審美教學(xué)，應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)的理論教學(xué)及能力培養(yǎng)相結(jié)合，充分揭示數(shù)學(xué)美的特征，把數(shù)學(xué)美的教育滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中去，寓教于樂(lè)，使學(xué)生在潛移默化之中獲得美的修養(yǎng)。

1.揭示統(tǒng)一美，使學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維程序紊亂現(xiàn)象較為普遍。不少學(xué)生習(xí)慣于用單一的、孤立的方式思考問(wèn)題，不善于將已學(xué)過(guò)的知識(shí)歸納整理，形成知識(shí)系統(tǒng)，往往滿足于會(huì)解某些類型的題目，忽視進(jìn)一步的概括綜合和挖掘提煉，缺少?gòu)恼w上把握內(nèi)容的有效方法。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，有利于學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如在講解概率的定義時(shí)，概率定義的基礎(chǔ)是隨機(jī)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性，清楚頻率與概率的關(guān)系對(duì)理解概率論與客觀實(shí)踐的聯(lián)系十分重要。進(jìn)一步，又給出了概率論公理化定義，這個(gè)公理化結(jié)構(gòu)綜合了前人的成果，明確定義了基本概念，使概率論作為一門數(shù)學(xué)的分支理論更加嚴(yán)謹(jǐn)。

對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多問(wèn)題，教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一概括，這樣不僅可以濃縮內(nèi)容，而且易于解決相應(yīng)復(fù)雜的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)通過(guò)揭示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，使學(xué)生在頭腦中建立“知識(shí)鏈”，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生學(xué)會(huì)整理知識(shí)的方法；引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)并理解數(shù)學(xué)在各分支間的統(tǒng)一美，提高思維的概括性以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

2.展示對(duì)稱美，消除思維定勢(shì)的影響

例如事件的運(yùn)算滿足對(duì)偶律，它蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)因素，A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。任何事物的對(duì)稱本身就已有了美的神韻，從對(duì)偶律公式外表來(lái)看，它就給人一種美的享受。

教學(xué)中不僅要讓學(xué)生領(lǐng)略這種對(duì)稱美，更重要的是讓學(xué)生自覺(jué)地運(yùn)用對(duì)稱性質(zhì)解決某些具體問(wèn)題，以提高分析問(wèn)題的能力。再如，設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，4），則使P（X>a）=P（X

在教學(xué)中教師挖掘數(shù)學(xué)美的對(duì)稱性特征，對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法和訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，消除思維定勢(shì)的影響，會(huì)起到重要作用。目前，數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的不注意學(xué)生思維過(guò)程，不注意知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，而一味要學(xué)生背題型、套方法的“題型數(shù)學(xué)”，嚴(yán)重阻礙對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)。因此，讓學(xué)生樹(shù)立對(duì)稱美的意識(shí)，教會(huì)學(xué)生從對(duì)立的觀點(diǎn)去思考 問(wèn)題，在思維方向的選擇上，既會(huì)順向，又會(huì)逆向，靈活運(yùn)用，具有重要意義。

3.追求簡(jiǎn)潔美、培養(yǎng)思維靈活性

簡(jiǎn)潔性這一數(shù)學(xué)美的特征要求人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，把握事物的主要矛盾，把握事物內(nèi)部最簡(jiǎn)單最基本的聯(lián)系。而思維的靈活性是指在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不糾纏于事物的表面現(xiàn)象，能有意識(shí)地從本質(zhì)上和整體上看問(wèn)題，注意從事物之間的聯(lián)系和矛盾上來(lái)理解事物的本質(zhì)，克服和減少思維的片面性和絕對(duì)化。教師在教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美特征，能夠促進(jìn)學(xué)生思維靈活性與深刻性的發(fā)展。

例1：設(shè)的（X，Y）聯(lián)合概率密度為

f（x，y）=24（1-x）y，0

求E（X），D（X），E（Y），D（Y）。

如果先求出X與Y的邊緣密度，再求數(shù)學(xué)期望和方差就比較麻煩，如注意到對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，直接利用聯(lián)合概率密度計(jì)算各分量的數(shù)學(xué)期望和方差則較簡(jiǎn)便。

4.尋覓奇異美，培養(yǎng)創(chuàng)造能力

數(shù)學(xué)教學(xué)中教師挖掘奇異美應(yīng)與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性結(jié)合起來(lái)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，雖然不一定能提出新的科學(xué)概念或發(fā)現(xiàn)新的理論，但所學(xué)的知識(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是嶄新的、首次遇到的，從這個(gè)意義上說(shuō)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中是會(huì)有創(chuàng)造思維活動(dòng)的。

例2：一本500頁(yè)的書中，共有100個(gè)錯(cuò)誤，假設(shè)每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁(yè)上，試求：

（1）指定的頁(yè)上恰有3個(gè)錯(cuò)誤的概率；

（2）指定的頁(yè)上至少有1個(gè)錯(cuò)誤的概率。

本題直接用二項(xiàng)分布b（n，p）計(jì)算比較繁瑣，注意到當(dāng)n很大，p很小，而乘積λ=np大小適中時(shí)，可以用泊松分布π（λ）近似代替二項(xiàng)分布b（n，p），從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

新奇才有藝術(shù)，“未曾料到”才引人入勝，這也是數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵是豐富多彩的，但數(shù)學(xué)美的諸方面應(yīng)互相結(jié)合，只要在教學(xué)中努力挖掘數(shù)學(xué)美的特征，著意培養(yǎng)學(xué)生的美感，必能收到良好的審美教育效果。此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育，教師本人的審美能力與美學(xué)修養(yǎng)也很重要。教學(xué)中教師的精煉語(yǔ)言，精辟的分析，生動(dòng)的表達(dá)，巧妙的啟發(fā)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，講究的板書等等，都是學(xué)生學(xué)習(xí)審美的榜樣。

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作者簡(jiǎn)介：

丁巍（1961-），男，遼寧沈陽(yáng)人，沈陽(yáng)師范大學(xué)副教授，碩士，研究方向：矩陣計(jì)算及其應(yīng)用。