從“稚化思維”走向“智化思維”
——以“一類(lèi)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題”為例

☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

☉浙 江 省 象 山 中 學(xué) 林薇薇

相對(duì)于學(xué)生而言，教師是“專(zhuān)家”，知識(shí)淵博，思維活躍，各種解題方法信手拈來(lái)，但是對(duì)教師而言，卻容易忽視學(xué)生作為“初學(xué)者”思維幼稚與不成熟的一面，往往喜歡把自己的思維理解方式強(qiáng)加給學(xué)生，把自己所認(rèn)為的正確觀點(diǎn)和好的解題方法直接告訴學(xué)生，從而導(dǎo)致教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”嚴(yán)重脫節(jié).這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中尤為突出，教師常常因?yàn)檫^(guò)于追求解題方法的“短、頻、快”，忽視問(wèn)題的探索過(guò)程，一味地“灌輸”解題技巧，從而無(wú)法使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到有效提升.于是，教師有效地“稚化”自己的思維，隱蔽自己的外在權(quán)威，懸置自己擁有的知識(shí)，不以“專(zhuān)家”自居，而是有意識(shí)地把自己的思維降格到與學(xué)生相仿的水平，退回到初學(xué)者的狀態(tài)，把熟悉當(dāng)成陌生、把再次授課當(dāng)成首次接觸，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的認(rèn)知狀況和思維特點(diǎn)，以平等身份和學(xué)生一起尋找攻克難關(guān)的對(duì)策就顯得尤為迫切.

一、理解通法，展現(xiàn)思維共性

在解題教學(xué)中，很多教師習(xí)慣于把“最好”的方法教給學(xué)生，而忽視了通解通法在發(fā)展學(xué)生思維能力時(shí)的重要價(jià)值；很多教師習(xí)慣于把各種解法“一股腦”地展現(xiàn)給學(xué)生，而忽視了一題多解容易導(dǎo)致思維過(guò)度分散的副作用.因此，通解通法是解題教學(xué)的切入口，它有助于理解發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維動(dòng)向，有助于教師從學(xué)生原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中找到向“最近發(fā)展區(qū)”發(fā)展的“支架”，把課堂變成師生共同提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的陣地，促進(jìn)學(xué)生積極參與課堂探究活動(dòng)，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷的活動(dòng)中了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.

問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是______.

分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式及利用線(xiàn)性規(guī)劃求范圍等知識(shí)點(diǎn)，意在滲透數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，提高運(yùn)算求解能力.

通法：由題意得：

圖1

其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖1所示.

易知3a+b∈（-5，0）.

利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，借助數(shù)形結(jié)合思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的通法，也是學(xué)生固有的思維方式，它是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的重要依據(jù)之一，教師能否把握好學(xué)生的思維心理和思維特點(diǎn)，能否對(duì)學(xué)生接受知識(shí)的心理作出切合實(shí)際的判斷，是教師解題教學(xué)成功的關(guān)鍵所在.

二、構(gòu)造變式，引發(fā)思維沖突

如果教師平鋪直敘地傳授新的解題方法，就很容易演變成教師個(gè)人的“絕活”表演，而學(xué)生只能成為置身事外的觀眾.在這樣的情境下，再好的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想也無(wú)法激起學(xué)生的興趣，教學(xué)效果就會(huì)大打折扣.如果教師通過(guò)構(gòu)造變式，故意給學(xué)生制造解題障礙，使得學(xué)生原有的解題方法變得不再“合適”，從而引發(fā)思維沖突，迫使學(xué)生去尋找新的方法.

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［0，1］上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a2-2b的取值范圍是______.

變式2：已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足0＜a-b≤1，且函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是______.

分析：變式題的基本解答套路雖然與原題類(lèi)似，但比較麻煩的是變式1對(duì)于“a2-2b”的幾何意義的理解令很多學(xué)生一籌莫展，而變式2涉及了分類(lèi)討論思想，要把“有零點(diǎn)”情況分為兩類(lèi)：“1個(gè)零點(diǎn)或者兩個(gè)零點(diǎn)”，這樣解題的過(guò)程相對(duì)就比較煩瑣了.于是，就引發(fā)了學(xué)生對(duì)于“其他”簡(jiǎn)便解法的思考.

“稚化思維”要求教師把思維的觸角深入到學(xué)生的思維領(lǐng)地，進(jìn)行發(fā)掘和研究，想學(xué)生所想，惑學(xué)生所惑.因此，根據(jù)教學(xué)需要，教師蓄意制造可引起迷惑的思維環(huán)節(jié)，并且在教學(xué)難點(diǎn)處，教師裝作一籌莫展的樣子，通過(guò)“設(shè)疑——析疑——釋疑”的方式來(lái)激發(fā)學(xué)生的求知欲.

三、回歸本質(zhì)，促進(jìn)思維共鳴

通常情況下，數(shù)學(xué)題目存在著多種解題思路，從表面上看這些解題方法形式繁多，讓人眼花繚亂，但無(wú)論哪種解題方法其都根植于數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).先搞清楚問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，然后通過(guò)不同角度的分析，就會(huì)產(chǎn)生不同的解題方法，從而引發(fā)師生思維的共鳴.

回歸原題，它的本質(zhì)是函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的延伸，而零點(diǎn)既可以看成是方程的“根”，也可以理解為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的“交點(diǎn)”，從思想方法層面上看，“根”、“零點(diǎn)”、“交點(diǎn)”之間的轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)上就是數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化.通常情況下，解決此類(lèi)問(wèn)題是把“根”轉(zhuǎn)化為“零點(diǎn)”或者“交點(diǎn)”，把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，那我們能不能反其道而行呢？

巧法1：把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為根

令方程f（x）=0的兩個(gè)根為x1，x2，則f（x）=x2-（x1+x2）x+x1x2，所以a=-（x1+x2），b=x1x2，則3a+b=-3x1-3x2+x1x2=（x1-3）（x2-3）-9，因?yàn)閤1，x2∈（0，1），所以3a+b∈（-5，0）.

此法對(duì)于變式1也適用，能夠迅速得到a2-2b=x12+x22∈［0，2］.

巧法2：把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)

因?yàn)閒（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令g（x）=-x2，h（x）=ax+b，即g（x）=h（x），則h（3）=3a+b.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)g（x）與h（x）有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求h（3）的取值范圍.如圖2所示，可知當(dāng)直線(xiàn)h（x）=ax+b與g（x）=-x2相切于原點(diǎn)與點(diǎn)（1，-1）是兩個(gè)臨界位置.當(dāng)相切于點(diǎn)（1，-1）時(shí)，容易求得a=-2，b=1，則h（x）=-2x+1，此時(shí)h（3）=-5，所以3a+b∈（-5，0）.

此法對(duì)變式2也適用，只是與原題相比，變式2多了一組限制條件，反映到圖像上就是多了一條臨界線(xiàn)段.因?yàn)?＜a-b≤1，則-1≤h（-1）=-a+b＜0，如圖3所示，則P，Q兩點(diǎn)是h（x）=ax+b滿(mǎn)足題目條件的臨界位置，容易求得3a+b∈（-2，3）.

圖2

圖3

基于“稚化思維”的解題教學(xué)一般遵循“舊知識(shí)固定點(diǎn)——新知識(shí)聯(lián)結(jié)點(diǎn)—新知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)”的思維方式進(jìn)行有序展開(kāi)，這樣就容易讓學(xué)生將學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程轉(zhuǎn)化成為自己意義建構(gòu)的過(guò)程.

四、辨析訓(xùn)練，達(dá)成思維共振

解題教學(xué)最終目的就是在教師組織下，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“專(zhuān)家”思維活動(dòng)成果，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)向“專(zhuān)家”思維結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化.為了順利實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，例題分析后的“辨析應(yīng)用”是必不可少的，它可以在“專(zhuān)家”與學(xué)生思維活動(dòng)之間架設(shè)認(rèn)知的橋梁，使師生之間在認(rèn)識(shí)程序上達(dá)到“同頻”，引起教與學(xué)的思維“共振”.

經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了這類(lèi)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解題方法，具體如圖4所示，但在實(shí)際解題過(guò)程中究竟如何靈活選擇合適的解題方法還需進(jìn)一步明確，因此，結(jié)合例題進(jìn)行針對(duì)性的辨析訓(xùn)練是必不可少的.

圖4

例1已知函數(shù)（fx）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，且滿(mǎn)足0≤b-2a≤1，則b的取值范圍是______.

例2已知函數(shù)（fx）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［0，1］上有零點(diǎn)，則ab的最大值是______.

例3已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函數(shù)（fx）=x2+ax+b在］上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則a-2b的取值范圍為_(kāi)_____.

分析上述三道例題的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，例1與例2適用于“巧法2”，因?yàn)樗鼈兡軌驑?gòu)造出對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，b-2a可以轉(zhuǎn)化為h（-2），而而例3適用于“巧法1”，a-2b可以表示為x1，x2的函數(shù).

教師“稚化”自己的思維，以學(xué)生的思維方式為教學(xué)的起點(diǎn)，惑學(xué)生之所惑、難學(xué)生之所難、錯(cuò)學(xué)生之所錯(cuò)、思學(xué)生之所思，從而降低數(shù)學(xué)理解的門(mén)檻，促進(jìn)知識(shí)的自然生成，最終達(dá)到“智化”學(xué)生思維的目的.