高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的方程思想

☉江蘇省海門中學(xué) 張 婕

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的目的并不僅僅只是要掌握知識(shí)，更要學(xué)會(huì)使用知識(shí).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要讓學(xué)生逐步體會(huì)隱含在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)方法和思想，這些內(nèi)容是數(shù)學(xué)課堂的精髓與核心，是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究的關(guān)鍵所在.而在眾多數(shù)學(xué)思想中，方程思想對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維有著非常重要的作用.

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中方程思想的作用

所謂“方程思想”，就是將方程作為刻畫世界的一種有效模型，即從相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系著手，用等式將有關(guān)內(nèi)容銜接起來(lái)，最終在方程研究中完成對(duì)問(wèn)題的分析和解決.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一系列活動(dòng)中，方程思想有以下幾個(gè)方面的作用.

1.形成解題思路，促成問(wèn)題的解決

方程思想在高中數(shù)學(xué)的習(xí)題處理過(guò)程中有著非常廣泛的應(yīng)用，一些問(wèn)題本身就是圍繞方程展開，或是討論方程實(shí)數(shù)根的存在情形，或是討論方程參數(shù)的取值特點(diǎn)，或是直接對(duì)方程進(jìn)行求解.除此之外，方程也是學(xué)生分析問(wèn)題的主要途徑，很多問(wèn)題只有寫出對(duì)應(yīng)的方程，我們才能實(shí)現(xiàn)求解，有些問(wèn)題也存在其他的處理方法或思路，但是方程的應(yīng)用可以簡(jiǎn)化處理的過(guò)程，或是讓整個(gè)解決過(guò)程更顯靈活.

2.發(fā)展學(xué)生思維，提升邏輯推理能力

面對(duì)很多以生活中的真實(shí)場(chǎng)景為素材來(lái)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，學(xué)生在處理時(shí)往往對(duì)相關(guān)素材進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)并提煉出有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，然后由此來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，并以方程的形式展示出來(lái)，這樣的處理很難發(fā)展學(xué)生的思維.面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的情境，學(xué)生首先要對(duì)其中的諸多隱含條件進(jìn)行分析，對(duì)很多原生態(tài)的問(wèn)題要進(jìn)行數(shù)學(xué)化的分析和處理，這是建立模型和方程最為基礎(chǔ)的要求，同時(shí)這也是方程思想的核心，這一過(guò)程對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展以及邏輯推理能力的提升大有幫助.

3.串聯(lián)知識(shí)體系，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)是非常松散的，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，我們要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化建構(gòu).當(dāng)我們要對(duì)知識(shí)體系進(jìn)行建構(gòu)時(shí)，我們要明白：黏合這些知識(shí)的是數(shù)學(xué)方法和有關(guān)思想，方程思想在其中就占據(jù)著非常重要的地位，無(wú)論是最開始集合概念的學(xué)習(xí)，還是不等式的研究，抑或解析幾何問(wèn)題的處理，每一塊內(nèi)容都隱含著方程的身影，因此我們結(jié)合方程來(lái)指導(dǎo)學(xué)生知識(shí)體系的建構(gòu)，并且能夠促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的系統(tǒng)化.

4.激活學(xué)生興趣，充實(shí)他們的解題方法

在解題過(guò)程中，我們通過(guò)方程來(lái)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行處理，可以讓問(wèn)題的表征和分析更加簡(jiǎn)潔，學(xué)生也將從中感受到數(shù)學(xué)研究的奇妙所在，這也將讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)別樣的樂(lè)趣.因此將方程思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)也是學(xué)生興趣激發(fā)的需要，學(xué)生當(dāng)然也會(huì)由此而充實(shí)他們的解題方法，這樣的教學(xué)顯然有助于學(xué)生思路的拓展，有助于他們綜合素質(zhì)的提升.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中方程思想的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，方程思想在以下兩個(gè)方面有著非常顯著的體現(xiàn).

其一，在某些等量關(guān)系復(fù)雜的問(wèn)題中，往往涉及很多的量.在這種情形下，我們要引導(dǎo)學(xué)生去把握相等關(guān)系，并結(jié)合問(wèn)題的需要來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的未知數(shù)，最終圍繞著未知量和已知量來(lái)建構(gòu)方程，或者是方程組，并且在方程或方程組的分析過(guò)程中形成認(rèn)識(shí)，這樣的處理比一般化的數(shù)學(xué)方法要好上很多.

其二，在一些代數(shù)、幾何綜合性的問(wèn)題中，方程思想也有著其獨(dú)特的優(yōu)越性.我們以方程為橋梁，可以讓學(xué)生能夠更快地明晰解題思路，并最終完成問(wèn)題的解決.

三、方程思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用實(shí)踐

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，方程思想有著非常廣泛的應(yīng)用，下面我們就從一些具體的實(shí)例著手，在應(yīng)用中進(jìn)一步對(duì)相關(guān)思想和方法進(jìn)行感悟和體會(huì).

1.函數(shù)問(wèn)題處理過(guò)程中的方程思想

函數(shù)歷來(lái)與方程有著非常緊密的關(guān)聯(lián)性，有方程的求解、根的存在情形、參數(shù)的取值范圍等，這些都可以采用函數(shù)的方法來(lái)處理，甚至有時(shí)還要畫出圖像，如此即可讓問(wèn)題的處理更加快捷而高效.反之，有的時(shí)候函數(shù)問(wèn)題也需要用到方程，方程思想的引入拓展了問(wèn)題分析和解決的思路，可以讓學(xué)生破解困局，得到新的問(wèn)題解決靈感.

例1已知R并且x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.

思路分析：如果按照一般化的思路，本題可以從三角函數(shù)求值的角度著手分析，即“角的拼湊”或是對(duì)兩角和余弦公式進(jìn)行變形處理，但是這樣的分析過(guò)程將遇到相當(dāng)大的困難，為此我們轉(zhuǎn)換思路，以方程思想進(jìn)行嘗試與探索.

解析：由已知條件可得x與-2y是關(guān)于m的方程m3+sinm-2a=0的實(shí)數(shù)解.設(shè)（fm）=m3+sinm-2a，使用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)理論可得該函數(shù)在上是單調(diào)遞增的函數(shù)，因此當(dāng)方程（fm）=0在上至多存在單一的實(shí)數(shù)解，因此可以知道x，-2y∈所以只能是x=-2y，于是有co（sx+2y）=1.

反思：本題對(duì)條件進(jìn)行了抽象處理，得出了同一個(gè)方程的兩個(gè)根，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可以推導(dǎo)出兩個(gè)根相等，且整體上可以得到x+2y=0，進(jìn)而順利完成問(wèn)題求解.這樣的處理巧妙避開三角函數(shù)煩瑣的變形，是方程思想提升問(wèn)題解決效率的一個(gè)典型案例.

2.三角函數(shù)問(wèn)題處理中的方程思想

提及三角函數(shù)，很多高中生都大皺眉頭，原因無(wú)他，公式太過(guò)煩瑣多變，而且很多公式大同小異，以致于學(xué)生很容易發(fā)生混淆.因此，在處理三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們不能讓學(xué)生將思維定格在公式應(yīng)用上，我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生將方程思想運(yùn)用于其中，指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用相關(guān)的思想和方法來(lái)完成問(wèn)題的分析和處理.

例2求sin18°的值.

解析：設(shè)18°=α，則2α=90°-3α，所以sin2α=cos3α，因此有2sinαcosα=cos（2α+α）=4cos3α-3cosα.因?yàn)閏osα≠0，所以2sinα=4cos2α-3，即4sin2α+2sinα-1=0.解之可得sinα=結(jié)合上述范圍最后可得到

反思：本題所涉及的角度并不是一個(gè)特殊角，所以如果希望通過(guò)兩角和與兩角差的公式進(jìn)行求解，這是很難得到最后結(jié)果的.但是我們?nèi)绻眠@個(gè)角度與90°之間的數(shù)量關(guān)系，并且構(gòu)造出有關(guān)18°正弦值的一元二次方程，這樣既可讓學(xué)生在方程求解的過(guò)程中獲得最后的結(jié)論，也可以收獲化難為易的學(xué)習(xí)效果.

3.立體幾何問(wèn)題處理中的方程思想

方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，在很多問(wèn)題處理過(guò)程中，我們通過(guò)方程可以溝通已知量與未知量之間的關(guān)系.這一點(diǎn)在立體幾何的問(wèn)題處理過(guò)程中也多有體現(xiàn)，但是有很多學(xué)生卻出現(xiàn)著這樣一些理解層面的偏差，他們認(rèn)為，方程是代數(shù)，立體幾何屬于幾何，這是兩個(gè)涇渭分明的范疇，不能混為一談，這種想法是片面而膚淺的，舉例說(shuō)明如下.

例3如圖1所示的三棱錐P-ABC中，AB=1，AC=2，角平分線AD=1，各側(cè)面積與底面所構(gòu)成的二面角都等于60°，求解這個(gè)三棱錐的側(cè)面積.

解析：假如BD=x，由內(nèi)角平分線定理可得得CD=2x.因?yàn)椤螧DA+∠CDA=180°，所以cos∠BDA+cos∠CDA=0.由余弦定理得，解出可得因此可以得到從而使得可得結(jié)論S=側(cè)

反思：本題立足于角平分線這個(gè)條件，將變量BD引入問(wèn)題分析，并兩次使用余弦定理建立關(guān)于BD的方程，由此將立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎺缀蔚膯?wèn)題，這樣的處理有助于學(xué)生避免煩瑣的符號(hào)表示以及一系列的推理.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師要關(guān)注問(wèn)題的分析和思考，要讓每一個(gè)學(xué)生都能在學(xué)習(xí)過(guò)程中有所收獲，這樣的教學(xué)有助于學(xué)生更加全面地發(fā)現(xiàn)并認(rèn)識(shí)問(wèn)題，同時(shí)也有助于他們領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真諦.