例談不同數(shù)學情境的素養(yǎng)探索

☉江蘇省宜興第一中學 范雄庚

數(shù)學情境是數(shù)學學習的一種外在輔助，以往對數(shù)學情境的認識都是利用其物理屬性幫助學生認識數(shù)學概念的本質(zhì)，可以說傳統(tǒng)的情境使用更多地依賴感官認知.隨著數(shù)學知識理解的深入，抽象情境也隨之而來，本文以案例的形態(tài)跟讀者一起探索數(shù)學情境教學的層次性，從淺顯的生活情境層層深入，到抽象情境的研究，步步為營地思考情境對于數(shù)學教學的重要性.

一、生活情境與數(shù)學抽象

生活情境是數(shù)學教學中運用頻率最高的一種情境，其將數(shù)學知識孕育到具體的生活案例之中，從中分析數(shù)學知識如何體現(xiàn)，這種情境教學往往與核心素養(yǎng)的數(shù)學抽象緊密結合，體現(xiàn)了數(shù)學之用.

案例1 雙變量雙函數(shù)中的恒成立與存在性問題.

師：如何理解以下兩個結論？

①任意x1∈D，任意x2∈E，均有f（x1）＞g（x2）恒成立，則f（x）min＞g（x）max.

②任意x1∈D，存在x2∈E，使得f（x1）＞g（x2）成立，則f（x）min＞g（x）min.

分析：單變量單函數(shù)的恒成立與存在性問題并不難理解，然而當遞進到雙變量與雙函數(shù)問題時，學生會因其抽象性無所適從.

對結論①，我們加入生活化的情境便能迎刃而解：假若甲乙兩人各拿著兩副不同撲克牌，每人隨意抽出一張來比較大小，然而無論怎么比較，甲手上的牌總是大于乙手上的牌，那意味著什么？

學生異口同聲“甲手上的最小的牌比乙手上最大的牌都要大”！

師：很好！那我們把甲手上的牌抽象成f（x），乙手上的牌看成g（x），不就得到上述結論啦.現(xiàn)在我們能否利用同樣的情境，來解釋一下結論②？

生：甲乙兩人手里各有兩副不同的撲克牌，無論甲任選哪張牌，乙總能拿出一張牌比甲小，所以說明乙最小的牌比甲最小的牌還要小.

評析：現(xiàn)實情境數(shù)學抽象是指舍去具體情境中的事物的一般物理屬性，從而得到抽象的數(shù)學模型或結論.而學生在學習“抽象的”數(shù)學知識時，通常需要降低抽象層次的思維過程.于是教師對抽象的、符號化的純數(shù)學情境加上具體的、可感知的現(xiàn)實情境后，學生便能真正理解其背后的“數(shù)學化”本質(zhì).

二、物理情境與數(shù)學建模

物理情境是指利用物理知識與實際生活問題的聯(lián)系創(chuàng)設的一種具體情境，其往往對于數(shù)學知識本質(zhì)的反映具備很好的實驗性作用.從物理情境出發(fā)，建立數(shù)學模型可以更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

案例2物理實驗“滑動變阻器控制燈泡明暗”與不等式本質(zhì).

師：同學們，我們利用桌上的滑動變阻器、燈泡、電源等物理工具，搭載一個能控制燈泡明暗的并聯(lián)電路.（學生四人一小組，很快都完成了，如圖1）

師：下面同學們緩慢拉動滑動變阻器的滑塊，觀察燈泡亮度與滑塊位置的關系.

生1：變阻器滑塊從上到下滑動，燈泡亮度由最亮到最暗，然后又到最亮.

師：為什么會有如此的變化？

生2：因為滑塊從上到下滑動后，電阻從小到大又到小.電阻越小，燈泡越亮！

師：我們已經(jīng)看出，滑塊在變阻器兩端，電阻最小，在中間電阻最大.請大家數(shù)學建模，從數(shù)學上解釋這個物理現(xiàn)象.

師：真棒！同學們通過數(shù)學建模，找到了這個物理現(xiàn)象的數(shù)學本質(zhì)，說明了數(shù)學的實用價值！

評析：數(shù)學建模是使用數(shù)學的概念、原理及思想方法來描述現(xiàn)實情境下的具有數(shù)學規(guī)律性的事物.因為客觀世界的復雜性與多樣性，大學數(shù)學建模比賽就要用到MATLAB等工具去仿真.而由于高中生掌握的數(shù)學知識與數(shù)學認知能力有限，無法解決復雜現(xiàn)實情境下的問題，教師可提供簡單的、理想化的現(xiàn)實情境或實驗，引導學生選擇適當?shù)姆匠袒蚝瘮?shù)等建立簡單的數(shù)學模型.學生在此過程中體會的真實建模經(jīng)驗，與伙伴間的團隊合作經(jīng)驗或許才是最重要的.這不僅能體會到數(shù)學的優(yōu)美與實用性，也為今后更復雜情境下的數(shù)學建模打下堅實基礎.

三、信息技術情境與直觀想象

隨著數(shù)學知識抽象程度的提高，要解決更為抽象的問題，我們需要借助一些信息技術.在信息技術情境下解決以往更為抽象的數(shù)學問題，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀想象素養(yǎng).

案例3空間幾何圖形翻折問題探討.

師：△ABD繞BD所在直線旋轉一周，點A的運動軌跡是什么？A在平面ABD上投影的軌跡又是什么？

教師通過幾何畫板演示其運動軌跡（如圖2）.

生：A的運動軌跡是一個圓，它在平面ABD上的投影是垂直于BD的直徑長的線段.

著名數(shù)學家和數(shù)學教育家M·克萊因認為：“數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上.”史寧中教授也曾說：“數(shù)學的結果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的.”同時指出“直觀不是‘教’出來的，而是自己‘悟’出來的，這就需要經(jīng)驗積累.這些見解，對我們培養(yǎng)學生的直觀想象這一核心素養(yǎng)有重要的指導意義.我們需要選擇典型的數(shù)學內(nèi)容，創(chuàng)設探討情境，精心設計問題，引導學生觀察和思考，在豐富的數(shù)學活動經(jīng)歷中積累自己的“直觀想象”經(jīng)驗，“悟”出門道.

四、兩點反思

1.情境教學中現(xiàn)存的問題

數(shù)學情境教學作為常談常新的話題，隨著時代的發(fā)展，理論的創(chuàng)新，賦予了新的內(nèi)涵.一線教師一直在教學過程中積極探索創(chuàng)設情境教學，然而現(xiàn)階段仍有許多不足：為了設置情境而設置情境，缺乏目的性，呈現(xiàn)幼稚化和缺乏數(shù)學味道；過于形式化而游離于數(shù)學本質(zhì)之外；過于關注生活化情境而忽視數(shù)學化情境；忽略情感的融入性而使情境創(chuàng)設呆板、僵化；情境創(chuàng)設的任務不明確，對核心素養(yǎng)的融入度與關注度不夠.

教師必須克服“情境稚化”，抓住學生的最近發(fā)展區(qū)，設計恰如其分的數(shù)學情境，感悟數(shù)學的思想，積累數(shù)學思維的經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

2.情境應貫穿學習始終

學者李亦菲曾敘述“作為學習條件，情境是連接‘文本’與‘生活’的紐帶；作為學習過程，情境是‘情感’與‘認知’的對象；而作為學習結果，情境是‘知識’與‘精神’的載體.”情境可以動態(tài)地貫穿于學習活動始終，能夠帶給學生心靈感染和內(nèi)心情緒體驗，具有“人情味”.

所以教師對情境化教學的理解不應只停留在“情境—問題”的新知引入的刻板形式上.正所謂“實踐出真知”，如前文案例2便呈現(xiàn)了“情境—問題—結果—情境”的完整學習鏈.這亦完全契合PISA“實踐中的數(shù)學素養(yǎng)模型”（如圖3）.圖4體現(xiàn)了從“情境”中來，到“情境”中去的情況.

其中第一個框架模型將數(shù)學問題分割成“現(xiàn)實世界”和“數(shù)學世界”左右兩區(qū)域，而第二個框架模型體現(xiàn)“數(shù)學世界”內(nèi)部的運轉狀況，從集合角度來看是一個包含從屬關系.但無論是外在的延伸還是內(nèi)部的轉換，情境均動態(tài)地貫穿學習過程始終.

既然數(shù)學核心素養(yǎng)是學生在具有情境的數(shù)學活動中切實感悟、綜合理解、反復強化逐漸形成的，那教師的教學設計需要著重思考具體教學情境與具體數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)之間的相關性.讓我們從數(shù)學情境出發(fā)，將教學生活、現(xiàn)實生活、理想生活融為一體，回歸到數(shù)學教學本真上來，讓學生在一種自然而又真切的環(huán)境中不知不覺地獲取數(shù)學智慧，體會數(shù)學之優(yōu)美！