動靜變換法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉江蘇省南京市秦淮中學(xué) 朱 佳

動與靜是對事物狀態(tài)的一種定性描述，從哲學(xué)角度來看，動與靜是一個統(tǒng)一體，可以相互轉(zhuǎn)化.因此數(shù)學(xué)上的問題條件也可以進行動靜劃分，基于動靜原則進行變換.對于一些復(fù)雜問題，合理采用動靜變換策略可以有效破除思維屏障，獲得解題的思路，下面將具體闡釋動靜變換策略在解題中的應(yīng)用.

一、以動求靜，化不等式

物體的靜止是相對的，同樣地，在數(shù)學(xué)中靜態(tài)下的問題也是相對存在的，如代數(shù)等式、不等式、分子式等，有時從靜態(tài)的角度對其直接變形求解較為繁雜，難以獲得較好的解題效果，此時可以嘗試考慮運用一定的策略將其轉(zhuǎn)化為動態(tài)問題，可能會收到意想不到的結(jié)果.一般對于代數(shù)問題可以將其等效轉(zhuǎn)化為幾何上的距離問題，通過距離的取值來構(gòu)建代數(shù)關(guān)系.

例1已知不等式試求不等式的解.

分析：上述不等式由于具有根號，直接求解相對較為復(fù)雜，可以采用以動求靜的解題策略，將靜態(tài)的不等式化為動態(tài)的平面幾何區(qū)域問題，通過求區(qū)域的取值范圍來解不等式.

解：對原不等式進行變形，得6，對應(yīng)的可以構(gòu)建一個平面區(qū)域：6，表示a=3，c=2的橢圓及其內(nèi)部的區(qū)域，即如圖1所示，令y=2，解得即不等式的解就為

在對直角坐標中的區(qū)域劃分、求解析幾何中的曲線運動軌跡時可以引入不等式，這就為代數(shù)不等式的求解提供了一個思路，即通過對不等式變形，將其等效為一個動態(tài)變化的幾何區(qū)域，通過對幾何區(qū)域的取值來完成求解，這樣的方式省去了代數(shù)移項、合并、變形的過程，使求解過程更為直觀，是對以動求靜優(yōu)勢的充分體現(xiàn).

二、以靜制動，解析軌跡

數(shù)學(xué)上存在眾多的動點問題，往往由于點的動態(tài)軌跡難以捕捉而造成求解的困難，此時可以考慮對條件進行設(shè)定，使動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為相對靜止的狀態(tài)來研究，如解析幾何中的動點問題可以考慮研究某特殊點的位置，或直接建立動點與靜態(tài)條件之間的關(guān)系，也可以設(shè)定某一運動參數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為相對意義上的靜態(tài)問題.

例2已知雙曲線過定點A（2，1）的直線l與雙曲線C的圖像相交于點P1，P2，設(shè)線段P1P2的中點為點P，試求點P的運動軌跡方程.

分析：由于直線l的斜率不確定，則直線與雙曲線圖像的交點也不確定，因此隨著直線l的斜率變化，中點P也會變化，因此，從嚴格意義上來說，求軌跡方程是動態(tài)問題.由于其軌跡較為抽象，可以采用以靜制動的方式.

設(shè)P（x0，y0）是一個相對靜止的點，可構(gòu)建一條確定的直線l的參數(shù)方程，然后利用參數(shù)的幾何意義，建立關(guān)于x0，y0的函數(shù)關(guān)系，進而研究中點P的軌跡.

解：設(shè)點P的坐標為（x0，y0），可得直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），聯(lián)立直線方程和雙曲線解析式，可得（2cos2θ-sin2θ）t2+2（2x0cosθ-y0sinθ）t+2x02-y02-2=0.由于點P為直線與雙曲線相交弦P1P2的中點，則有t1+t2=0，即2x0cosθ-y0sinθ=0，聯(lián)立直線的參數(shù)方程，結(jié)合定點A的坐標，消去未知角θ，可得2x02-y02-4x0+y0=0，用x，y代換其中的x0和y0，可得中點P的軌跡方程為2x2-y2-4x+y=0.

以靜制動在數(shù)學(xué)解題中有兩種應(yīng)用方式，一是研究動態(tài)問題的特殊狀態(tài)，然后推演整個問題，如特值法；二是將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為相對意義上的靜態(tài)問題，如參數(shù)法.本題目中采用的就是解析幾何上常用的參數(shù)法，用自變量參數(shù)來靜態(tài)描述點的運動軌跡，從而實現(xiàn)問題的求解，其解題策略具有一定的推廣價值.

三、動靜互換，簡求最值

物體的運動和靜止是相對的，因此可以互換，同樣地，數(shù)學(xué)的研究對象也可以進行互換，即在某些問題中對條件進行設(shè)定，使動態(tài)條件和靜態(tài)條件進行互換，然后通過研究新的問題條件來求解.由于這種互換是一種整體互換，因此在特定情形下的求解是合理的，最為常見的是動點到定直線或動點到定點的距離問題，條件互換后的距離依然不變.

例3如圖2所示，△ABC為等邊三角形，且三角形的邊長為2，其頂點A在坐標的x軸上運動，頂點B在y軸上運動，設(shè)點C到坐標原點O的距離為d，試求距離d的最值.

分析：因為點A和B分別為x軸和y軸上的動點，則導(dǎo)致三角形的另一頂點C也必然會相應(yīng)的運動，距離d的取值會隨之變化.原始坐標軸靜止，幾何三角運動，直接求解的方式難以獲得距離d的最值，可以采用動靜互換的策略，假設(shè)△ABC為靜止不動，則根據(jù)運動的相對性，可視坐標軸運動，原點O的運動軌跡規(guī)則可循，可對其進行幾何等效，通過分析幾何距離求解.

解：假設(shè)△ABC為靜止，坐標軸運動，已知∠AOB=90°，則點O可以視為是在以AB為直徑的圓上運動，問題就可以轉(zhuǎn)化為求點C到以AB為直徑的圓上點的距離最值，因此當(dāng)直線CO經(jīng)過AB的中點時可以分別取得最大和最小值.分析可知只有當(dāng)△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形時d可以取得最值.當(dāng)O運動到AB的左下側(cè)位于點O的最遠端，此時d取得最大值；運動到AB的右上側(cè)位于點O的近端，此時d取得最小值

數(shù)學(xué)上的條件動靜互換是相對意義上的互換，用以研究問題的核心要素，而忽略了某些細枝末節(jié)問題，因此在互換時需對其進行評估，確保條件互換不會對問題本質(zhì)造成影響.另外這種互換是一種整體互換，因此解題時需要對問題中的條件進行動靜歸類，然后進行全盤互換，確保求解準確.

四、動靜結(jié)合，釋解幾何

物體的動與靜之間存在著相互制約的關(guān)系，這種關(guān)系可以合理用于數(shù)學(xué)解題，利用動靜條件之間的互為補充、相互完善的特性來全方位的研究問題對象.在解題時要靈活處理條件“動”與“靜”的關(guān)系，充分降低問題的思維難度，高效解題.

例4圖3所示的為一棱長等于2的正方體ABCD-A1B1C1D1，已知E為棱長BC的中點，點P在線段D1E之上，設(shè)點P到棱CC1的距離為d，試求d的最小值及此時點P的坐標.

分析：求解立體幾何的最值問題，可以采用動靜結(jié)合的方法，即首先需要建立空間坐標，確定相關(guān)點和向量的坐標值，實現(xiàn)條件的靜態(tài)化.求距離d的最值，可以先將點P看成定點，然后在棱長CC1上取一動點Q，從而建立線段|PQ|的參數(shù)方程，求出其最小值的函數(shù)，然后將點P看作是動點，進一步研究函數(shù)的最值，最終確定|PQ|的最小值.

解：以點D為坐標原點建立空間坐標系，如圖4所示，因為點P在線段D1E之上，則一定存在λ（λ∈［0，1］），使得向量=λ（1，2，-2），進而可得點P的空間坐標為（1-λ，2-2λ，2λ）.在棱CC1上取一點Q，設(shè)其坐標為（0，2，z），則d的最小值就為點P和Q之間距離的最小值，將λ視為常數(shù)，則點P為定點，而Q為動點，P和Q之間距離的平方|PQ|2=（1-λ）2+4λ2+（2λ-z）2，z∈R，當(dāng)z=2λ時，|PQ|2取得最小值，則然后使點P運動，即λ變化，設(shè)可知當(dāng)時，y取得最小值，將λ代入點P和Q的坐標，得因此距離d的最小值為此時點P的坐標為

動靜結(jié)合是數(shù)學(xué)解題較為常用的方式，可以利用條件的互補性來分析問題，立體幾何上的動靜結(jié)合則可以將動態(tài)的問題局部靜態(tài)化，通過逐步分析來求解，是降低思維難度的有效方式.需要注意的是在進行局部靜態(tài)化時要設(shè)定靜態(tài)參數(shù)，但后續(xù)還需要對靜態(tài)參數(shù)進行動態(tài)研究，確保結(jié)果的全面性和準確性.

從嚴格意義上說，動靜變換策略是解題的一種思想方法，是思維層面的解題思想，可以降低思維的難度，指導(dǎo)問題的分析過程，是解題的輔助方法，因此在實際解題中要結(jié)合基礎(chǔ)方法綜合使用.另外在使用動靜變換法時要掌握一定的策略，首先對問題進行動靜分析、評估，然后基于動靜原則對條件進行變換，完成求解.