一題四解，妙求范圍

☉江蘇省宜興中學 楊志剛

二次函數(shù)銜接起初中與高中數(shù)學，是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，也是各類考題中比較熱衷的問題背景之一，已經(jīng)成為高考命題的高頻考點之一.特別是二次函數(shù)與方程的交匯，二次函數(shù)與絕對值的交匯等問題，往往整合初中與高中知識，加以有機融合與拓展，這就更需要我們多加研究，以便了解和掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，總結(jié)相應(yīng)的解題規(guī)律，拓展思維.同一數(shù)學問題，可以從多方位、多角度、多層次入手，就會得到多種解題思路和方法，從而提高對數(shù)學知識的理解和掌握，同時也提升數(shù)學解題能力，培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學素養(yǎng).

例題（江蘇省某市4月聯(lián)考·14）若方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是______.

分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，絕對值及其應(yīng)用，函數(shù)與方程，函數(shù)的零點，函數(shù)的圖像與性質(zhì)，導數(shù)及其應(yīng)用等眾多的知識.通過導數(shù)、三角函數(shù)、線性規(guī)劃及柯西不等式等相關(guān)知識的融合，采用不同的切入點，處理方法各異，均可達到目的.

思路1：結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得到x1+x4=x2+x3=2，通過引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2），進而得到通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合求導，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定相應(yīng)最值問題，進而確定代數(shù)式的取值范圍.

解法1：因為方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x·2x3=-1+（t0＜t＜2）.

所以2（x4-x）1+（x3-x2）的取值范圍是

思路2：結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得到x1+x4=x2+x3=2，通過引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2），進而得到通過三角換元結(jié)合三角關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定代數(shù)式的取值范圍.

解法2：因為方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2）.

所以2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是

思路3：結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得到x1+x4=x2+x3=2，通過引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2），進而得到通過引入?yún)?shù)建立對應(yīng)的約束條件，利用線性規(guī)劃，結(jié)合目標函數(shù)z=4m+2n在確定平面區(qū)域內(nèi)的取值情況來確定代數(shù)式的取值范圍.

解法3：因為方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x·2x3=-1+（t0＜t＜2）.

對于目標函數(shù)z=4m+2n，結(jié)合圖像，過點A（2，0）時，zmin=8；當直線z=4m+2n與圓m2+n2=4在第一象限相切時，此時有可得

所以2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是

思路4：結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得到x1+x4=x2+x3=2，通過引入?yún)?shù)t使得x1·x4=-1-t，x·2x3=-1+（t0＜t＜2），進而得到2（x4-結(jié)合柯西不等式確定該關(guān)系式的上限，再利用0＜t＜2在兩極端情況時的取值，通過連續(xù)函數(shù)的取值情況來確定代數(shù)式的取值范圍.

解法4：因為方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，所以x1+x4=x2+x3=2，x1·x4=-1-t，x2·x3=-1+（t0＜t＜2）.

所以2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是

其實，解題的思維一定不能單一，具體解題時應(yīng)該以常規(guī)方法優(yōu)先，然后逐步優(yōu)化，當面臨較為特殊的結(jié)構(gòu)時，往往多思考就有更為巧妙的方法.因而，當我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學習的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.