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    活用數(shù)形結(jié)合思想求解含參問題

    2018-09-25 10:40段福彪
    關(guān)鍵詞:不等式值域數(shù)形結(jié)合思想

    段福彪

    【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是高中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一,它能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美妙及數(shù)形結(jié)合的直觀形象,激發(fā)起學(xué)生探索的意識和創(chuàng)新欲望,突破思維的常規(guī),使思路更簡捷、明快.采用數(shù)形結(jié)合的思想來解決二次方程根的分布、求值域等問題更是如此,能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,拓寬學(xué)生的知識面.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;根的分布;值域;不等式

    一些數(shù)學(xué)問題,所給的是方程的根或者是函數(shù)的極值點(diǎn)等,若按常規(guī)思維來解,有難度,且運(yùn)算過程繁雜,這時巧用數(shù)形結(jié)合,就能起到事半功倍之功效.下面就數(shù)形結(jié)合在二次方程根的分布、求值域、證明不等式中的應(yīng)用舉例如下.

    一、在二次方程根的分布中的應(yīng)用

    例1設(shè)一元二次方程ax2-(3a+1)x+3=0的兩根為x1,x2,且1

    分析本題如果按常規(guī)解法,利用一元二次方程根的分布來解,需要考慮判別式、兩根之和、兩根之積的范圍等問題,運(yùn)算繁雜,而且要分類討論.巧用數(shù)形結(jié)合,將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,觀察函數(shù)圖形問題便可輕松解得.

    解設(shè)f(x)=ax2-(3a+1)x+3,因?yàn)?0,af(2)<0-a2+a>0,-2a2+a<0, 解得:a12

    因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍a12

    解后反思:對于一元二次方程根的分布問題,當(dāng)兩根分布在兩個區(qū)間上時只考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系,而不考慮判別式和對稱軸;當(dāng)兩根分布在一個區(qū)間上時應(yīng)該從三方面考慮(1)考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系;(2)考慮判別式;(3)考慮對稱軸:可根據(jù)對稱軸所在區(qū)間的位置寫出等價式.另外當(dāng)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時,改為二次項(xiàng)系數(shù)乘根所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系問題,觀察圖像便可得出結(jié)論.

    二、在求函數(shù)最值中的應(yīng)用

    例2已知函數(shù)f(x)=-x2+2x-3,對于任意實(shí)數(shù)t,探究f(x)在閉區(qū)間[t,t+1]上的最大(?。┲?

    分析本題屬于二次函數(shù)中“軸定區(qū)間動”的問題.根據(jù)t的不同取值范圍,數(shù)形結(jié)合,使區(qū)間[t,t+1]“處”在f(x)的不同區(qū)間上問題即可解決.

    解法略.

    三、在證明不等式中的應(yīng)用

    例3(2009年全國高考數(shù)學(xué)試卷理(Ⅰ)第22題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].

    (Ⅰ)求b,c滿足的約束條件,并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi),畫出滿足這些條件的點(diǎn)(b,c)的區(qū)域;

    (Ⅱ)證明:-10≤f(x2)≤-12.

    分析對于問題(Ⅰ),仍發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢,便可知道導(dǎo)函數(shù)的兩個根在區(qū)間上分布時滿足的條件,b,c滿足的線性約束條件輕松可得,問題便迎刃而解.

    對于問題(Ⅱ),我們似乎無從下手.但仔細(xì)分析題目的條件就可知道,x2是原函數(shù)的極值點(diǎn),就是導(dǎo)函數(shù)等于零的一個根,利用這個根滿足的條件x2∈[1,2],結(jié)合問題(Ⅰ)中數(shù)形結(jié)合得到c的范圍就有柳暗花明的感覺,證明的問題也一蹴而就了.

    解(Ⅰ)略.

    (Ⅱ)由題設(shè)知f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0,

    故bx2=-12x22-12c,

    于是f(x2)=x32+3bx22+3cx2=-12x32-3c2x2.

    由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,

    故-4+3c≤f(x2)≤-12+32c.

    又由(Ⅰ)知-2≤c≤0,

    所以-10≤f(x2)≤-12,問題得證.

    總之在解決函數(shù)中的問題時,采用數(shù)形結(jié)合的思想來思考會給我們帶來意想不到的效果.尤其是可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題,用數(shù)形結(jié)合更有居高臨下“一覽眾山小”的感覺.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]甘肅省教育科學(xué)研究所.學(xué)業(yè)質(zhì)量模塊測評·數(shù)學(xué)(必修1)[M].蘭州:甘肅教育出版社,2011.

    [2]薛金星.2009年全國及各省市高考試題全解[M].西安:陜西人民教育出版社,2009.

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