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    洛必達(dá)法則教學(xué)方式研究

    2018-09-25 10:40:54劉美玲
    關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則微積分

    劉美玲

    【摘要】探討一元函數(shù)微積分中洛必達(dá)法則的教學(xué)方式.針對洛必達(dá)法則適用題型多,但計(jì)算煩瑣、易出錯(cuò)的特點(diǎn),舉例并歸類說明不同類型題目如何正確使用法則.

    【關(guān)鍵詞】微積分;洛必達(dá)法則;未定式極限

    【基金項(xiàng)目】上海電機(jī)學(xué)院學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目資助(16JCXK02).

    一元函數(shù)微積分中求極限是很重要的一部分內(nèi)容.求極限的幾類方法中,洛必達(dá)法則是其中很有效、適用范圍較廣的一類方法.該法則內(nèi)容簡單,但數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),學(xué)生在應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限中依然存在很多問題.

    一、洛必達(dá)法則介紹

    定理(洛必達(dá)法則)設(shè):(1)當(dāng)x→0時(shí),函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;

    (2)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)a本身可以除外),f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0;

    (3) limx→af(x)F(x)存在(或?yàn)闊o窮大).

    那么 limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x).

    當(dāng)x→∞時(shí),以及x→a時(shí),該法則仍然成立.

    洛必達(dá)法則本身表達(dá)簡潔,使用方便,適用的題型較多.然而依據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題過程中依然有很多問題,比如,不知道和其他方法結(jié)合使用,導(dǎo)致解題困難;不知道恰當(dāng)整理每次的結(jié)果,再次使用洛必達(dá)法則而導(dǎo)致解題失敗等原因.舉例如下:

    例1求 limx→0arcsinxx1x2.

    解limx→0arcsinxx1x2=limx→0elnarcsinx-lnxx2=elimx→0lnarcsinx-lnxx2

    =elimx→011-x2arcsinx-1x2x=elimx→0x-arcsinx1-x2x2arcsinxlimx→0121-x2

    =e12limx→0x-arcsinx1-x2x3=e12limx→0xarcsinx1-x23x2

    =e16limx→0xarcsinxx2limx→011-x2=e16.

    以上是這道題目使用洛必達(dá)法則的一般解法,步驟比較多,學(xué)生前三步基本沒問題,但到了第四步,很多學(xué)生不知道分開求極限,把 limx→0121-x2這個(gè)極限及時(shí)丟掉,以致后續(xù)步驟進(jìn)行困難.但這樣的解法步驟多,解題煩瑣,不妨結(jié)合等價(jià)無窮小或者其他求極限方法,解法會(huì)簡潔很多.下面給出另外一種解法.

    解法2limx→0arcsinxx1x2=limx→0e1x2lnarcsinxx=elimx→0arcsinxx-1x2

    =elimx→011-x2-13x2=elimx→01-1-x23x21-x2

    =elimx→012x23x21-x2=e16.

    解法2先用等價(jià)無窮小代換,再用洛必達(dá)法則,相比解法1,步驟明確簡潔.因此,洛必達(dá)法則需合理結(jié)合其他求極限方法使用.

    例2求limx→∞1-1xx-2.

    解法1limx→∞1-1xx-2=limx→∞e(x-2)ln1-1x

    =elimx→∞(x-2)ln1-1x=elimx→∞ln1-1x1x-2=elimx→∞-1x1x-2

    =elimx→∞-x-2x=e-1.

    解法2limx→∞1-1xx-2=limx→∞1+-1x-xx-2-x

    =elimx→∞-x-2x=e-1.

    以上用兩種基本方法求解了例2,解法1是洛必達(dá)法則結(jié)合等價(jià)無窮小代換,解法略煩瑣;解法2是用兩個(gè)重要極限公式求解,非常簡潔明了,步驟很少,易于看懂.因此,例2就不適合用洛必達(dá)法則求解,兩個(gè)重要極限才是合適的選擇.

    例3求limx→∞x+cosxx.

    解limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞1-sinx,用洛必達(dá)法則求解后,得出結(jié)果是極限不存在,但實(shí)際上

    limx→∞x+cosxx=limx→∞1+cosxx=1.洛必達(dá)法則對本題失效.

    通過上面的分析,學(xué)生要會(huì)熟練靈活地運(yùn)用洛必達(dá)法則求解函數(shù)的極限,必須對其條件、結(jié)論全面地了解、掌握,在學(xué)習(xí)過程中多加練習(xí).學(xué)會(huì)結(jié)合其他求極限方法,學(xué)會(huì)整理每一次求解結(jié)果,知道有些題目即使?jié)M足洛必達(dá)法則的條件,洛必達(dá)法則也不適用,甚至無法求解.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):第7版[M].北京:高等教育出版社,2014.

    [2]袁建軍,歐增奇.高等數(shù)學(xué)中用洛必達(dá)法則求極限需注意的問題[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012(6):241-244.

    [3]雒志江.應(yīng)用洛必達(dá)法則中常見問題分析[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(5):11-13.

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