定積分計算策略選擇思路

吳文前

【摘 要】積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)里面一個重要的知識內(nèi)容，關(guān)于積分的計算方法，主要有換元法、分部積分法等常規(guī)方法。拿到任何一道積分題，學(xué)生應(yīng)該如何分析？應(yīng)該如何選擇方法？在長期的教學(xué)過程中，我總結(jié)出以下的三個必要環(huán)節(jié)：第一步心中先要明確解決積分問題的入門簡單方法；第二步是觀察結(jié)構(gòu)，善用技巧，簡單快捷解決問題；第三步抓題目明顯特征，選擇常規(guī)方法。只有這三個環(huán)節(jié)依次考慮到了，問題才比較容易解決。但是學(xué)生的思維常常是一來就考慮常規(guī)解法，所以在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，從最容易切入的門檻進入，才能通過最簡單的方法快速解決問題。所以在平時的教學(xué)中要有意識對學(xué)生進行這方面的訓(xùn)練，以便達到清晰思路，解決問題的目的。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；定積分；圖像法；換元法；分部積分法

【中圖分類號】G633 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0008-02

關(guān)于定積分的計算，書上的常規(guī)方法是：換元法，分部積分法[1]。但是在實際計算中我們可以走這樣一條路徑來選擇解決定積分問題的方法，目的就是找到最簡單快捷的解決方法：

第一步：看可不可以利用圖像法來解決問題：也就是利用定積分的幾何意義——曲邊梯形的面積來解決問題。

第二步：看可不可以利用上“偶倍奇零”的化簡公式來解決對稱區(qū)間上的積分。

第三步：看可不可以利用“瓦里斯公式”來快速簡便解決區(qū)間上三角函數(shù)的定積分。

第四步：在前面三步都無法使用的情況下，再來考慮使用換元法或者分部積分法。

下面舉例說明上述四個程序走向在解題過程中的實際應(yīng)用。

例1：計算：

分析：此題目明顯符合采用三角換元的特征，當(dāng)然令x=asint完全可以解決此題。但是如果我們考慮到被積函數(shù)的圖像特征，而采用定積分的幾何意義來做，就非常簡單了[2]。

解：被積函數(shù)是以原點為圓心，半徑為a的四分之一圓，圖像在第一象限。

∴

例2：計算：

分析：此題目的被積函數(shù)明顯不好找原函數(shù)，屬于不太好積分的一類，因此我們考慮能否利用“偶倍奇零”的化簡公式。

解：原式=+3

=0+3= =

例3：計算：

分析：此題目的被積函數(shù)明顯不好找原函數(shù)，屬于不太好積分的一類。但是題目特征符合使用三角換元的要求，故而可以先嘗試使用換元法，進一步考慮能否利用“瓦里斯公式”來化簡。

解：

例4：計算：

分析：此題目的被積函數(shù)是三角函數(shù)，但是積分區(qū)間卻不符合使用“瓦里斯公式”的要求。因此先嘗試使用換元法因為“換元必?fù)Q限”，通過先換元看可不可以進一步使用上“瓦里斯公式”公式。

解：

例5：計算：

分析：此題目前面三步都無法使用，而被積函數(shù)又符合分部積分的特征：兩種不同函數(shù)的乘積，因此考慮使用分部積分法積分。

解：∵1+cos2x=2cos2x，再利用反對冪指三，來確定 u和ν'

綜上，選擇方法決定著求解問題的難易程度，教學(xué)中要多引導(dǎo)學(xué)生實踐，練習(xí)。

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]韓天勇，施達，楊洪主編.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.