高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透職業(yè)生涯規(guī)劃教育的實(shí)踐研究

張程艷

摘要：以“數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用”為例，開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透職業(yè)生涯規(guī)劃教育的實(shí)踐研究，通過創(chuàng)設(shè)情境、小組合作、交流分享、構(gòu)建模型等方式，將數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識與職業(yè)規(guī)劃能力的培養(yǎng)有機(jī)融合。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué)；職業(yè)生涯規(guī)劃；數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

一、教材及背景分析

數(shù)列是一個古老的數(shù)學(xué)內(nèi)容，也是近代數(shù)學(xué)研究的重要對象。同時，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是學(xué)生將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的基礎(chǔ)性和發(fā)展性都是不言而喻的。

數(shù)列的研究源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要，它可以看成定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)，是刻畫離散過程的重要數(shù)學(xué)模型。數(shù)列在經(jīng)濟(jì)生活和資源計(jì)算等領(lǐng)域，有著廣泛的應(yīng)用，在解決投資分配、匯率計(jì)算、資源利用分配等方面的問題中有著無可比擬的優(yōu)勢，是解決物理、化學(xué)、生物、地理等學(xué)科中相關(guān)問題的有利工具。

因此，對于數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用的研究，有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力、發(fā)展應(yīng)用意識。通過本節(jié)課，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識和思維能力對解決實(shí)際問題的重要性，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識、思維能力、數(shù)學(xué)思想方法對人們生產(chǎn)、生活的重要影響。通過思維與能力的提升，學(xué)生對自己的能力、興趣有一個再認(rèn)識，拓展專業(yè)選擇與職業(yè)選擇的視野。數(shù)學(xué)學(xué)科的課堂滲透，助力學(xué)生客觀地做好人生規(guī)劃。

本節(jié)課前學(xué)生通過小組收集資料，充分感受到數(shù)學(xué)和生產(chǎn)、生活的各個方面息息相關(guān)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的實(shí)際價值，體會數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要地位，拓寬其專業(yè)選擇與職業(yè)選擇的視野；學(xué)生在解決實(shí)際題目的過程中，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，養(yǎng)成“數(shù)學(xué)使人周密”的性格，終身受益；教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生通過自主探究、合作交流解決問題，一方面提高自身的數(shù)學(xué)建模能力，提高應(yīng)用意識和實(shí)踐能力，一方面使學(xué)生對自身的觀察能力、表達(dá)能力、邏輯思維能力等有再認(rèn)知及評估，為其日后的發(fā)展指明方向。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

1援能構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型解決實(shí)際問題；

2援提高觀察、分析、概括、運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模及應(yīng)用能力，能通過類比、轉(zhuǎn)化等方法解決有關(guān)數(shù)列的一些問題。

（二）過程與方法目標(biāo)

學(xué)生通過課前收集有關(guān)資料，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型的過程，體會它們的廣泛應(yīng)用。

（三）情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)

1援使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活實(shí)踐，學(xué)會從生活實(shí)際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，體會數(shù)學(xué)美；

2援使學(xué)生了解我國數(shù)學(xué)家對數(shù)列的貢獻(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的愛國熱情；

3援通過了解數(shù)學(xué)家對數(shù)列問題的鍥而不舍的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

4援養(yǎng)成收集資料、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)建模能力，提高應(yīng)用意識和實(shí)踐能力；

5援通過數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)是其職業(yè)發(fā)展的基石，對其未來進(jìn)行職業(yè)選擇起到了基礎(chǔ)性決定作用。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過數(shù)列知識的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力。

難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題，建立相應(yīng)的數(shù)列模型。

四、前期準(zhǔn)備

（一）將學(xué)生分成五個小組，分別從以下幾個領(lǐng)域收集“數(shù)列的應(yīng)用”的相關(guān)資料：

天文學(xué)；

物理、化學(xué)等學(xué)科的滲透；

生物保護(hù)：例如利用斐波那契數(shù)列研究植物葉序深層組織結(jié)構(gòu)關(guān)系等；

經(jīng)濟(jì)生活：例如存款、貸款問題、政府房屋改善問題、國民生產(chǎn)總值問題；

資源分配：例如可再生資源年使用量與年開采量之間的數(shù)量關(guān)系。

（二）學(xué)生根據(jù)所收集的資料，制作幻燈片。

五、教學(xué)過程

既然說到古代數(shù)學(xué)家的卓越成就，就讓我們一起來欣賞兩道古代的數(shù)列問題：

例1：今有女善織，日益功疾。初日織五尺，今一月，日織九匹三丈，問日益幾何？

例2：今有垣厚5尺，兩鼠相對。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？

請分析以上兩個問題，我們可以用學(xué)過的哪些數(shù)列知識來解決呢？

設(shè)計(jì)意圖：以數(shù)列的發(fā)展簡史開篇，讓學(xué)生從整體上了解數(shù)列研究的重要性，以及體會古代數(shù)學(xué)家在數(shù)列方面的成就之大，增強(qiáng)民族自豪感；引入兩道古代數(shù)列問題，在體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的同時，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識。

（二）小組展示，分享交流

我們欣賞并分析完這兩道古代數(shù)列問題，接著讓我們一起來看一下近現(xiàn)代數(shù)列在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用吧。在課前我們分成五個小組，每個小組分別從五個方面進(jìn)行了資料的收集與整理，下面請各小組的代表上臺分享他們的收獲：

第一組：天文學(xué)（徐婷同學(xué)）（節(jié)選）

天文學(xué)是一門古老的科學(xué)，自有人類文明史以來，天文學(xué)就有重要的地位。天文學(xué)研究主要通過觀測天體發(fā)射到地球的輻射，測定它們的位置，探索它們的運(yùn)動規(guī)律以及組成結(jié)構(gòu)。

（幻燈片展示數(shù)列）這個數(shù)列是由提丟斯提出，在推導(dǎo)出這個關(guān)系的時候，人們只發(fā)現(xiàn)了水星、金星、火星、木星及土星，這就留下了2.8、19.6及38.8這三個空余的D值。不久后，赫歇耳發(fā)現(xiàn)了天王星，它與太陽的距離剛好近似19.6，與提丟斯數(shù)列恰恰吻合。

其實(shí)，天文學(xué)家們陸續(xù)在其中發(fā)現(xiàn)了“谷神星”“智神星”“婚神星”“灶神星”等星體。這些圍繞太陽公轉(zhuǎn)的天體又恰好都在“提丟斯定則”的2援8區(qū)域內(nèi)。顯然，火星、木星之間存在的不只是一個小行星，而是一批小行星，即小行星帶。

茫茫太陽系之中，為什么火星和木星之間的這個空缺處不是一顆大行星，而是一個小行星帶呢？這眾多的小行星是一顆大行星破裂的產(chǎn)物，還是在太陽系形成初期，沒來得及積聚成一顆大行星的“半成品”呢？這仍舊是個謎，正需要我們中有志于天文的同學(xué)繼續(xù)研究學(xué)習(xí)，在未來給予解答了。

教師總結(jié)：徐婷小組在天文學(xué)方面闡述了數(shù)列的應(yīng)用，天文學(xué)家通過等差數(shù)列預(yù)測出了行星的位置。其實(shí)天文學(xué)是最早運(yùn)用數(shù)學(xué)的科學(xué)領(lǐng)域，這可以追溯到2000多年前的古希臘時代。17世紀(jì)，牛頓創(chuàng)建的天體力學(xué)，其本質(zhì)上也是數(shù)學(xué)的而不是物理學(xué)的。借助數(shù)學(xué)方法和計(jì)算技術(shù)，天體力學(xué)在當(dāng)代獲得了引人注目的成就。據(jù)我所知，北京大學(xué)和南京大學(xué)的天文系非常有名，有想從事天文工作的同學(xué)可以把這兩所學(xué)校設(shè)定為自己的奮斗目標(biāo)。

第二組：物理、化學(xué)（顧雪瑩同學(xué)）（節(jié)選）

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要部分，其在物理中的應(yīng)用具有一定的代表性。同時，在一定條件下，運(yùn)用數(shù)列解決物理問題，可以顯現(xiàn)物理現(xiàn)象的全過程，反映物理現(xiàn)象的變化趨勢，揭示物理現(xiàn)象的變化規(guī)律，使我們從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變。

在熱學(xué)中，例如：機(jī)械抽氣機(jī)的抽氣是利用體積膨脹來降低氣壓的。如果被抽容器的容積是抽氣機(jī)活塞筒活動容積的2倍，那么在抽氣動作20次后被抽容器內(nèi)的壓強(qiáng)可以通過構(gòu)造等比數(shù)列模型計(jì)算。

在化學(xué)中，除了定性應(yīng)用實(shí)驗(yàn)觀察一些現(xiàn)象，分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象得出相應(yīng)的化學(xué)學(xué)科理論外，也可通過實(shí)驗(yàn)對一些化學(xué)理論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。如果從理論上來分析化學(xué)，除了實(shí)驗(yàn)對化學(xué)的研究很重要外，進(jìn)行定量的計(jì)算和分析也是化學(xué)學(xué)科向前發(fā)展的必要手段。我們可以將化學(xué)中的量的問題應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來解決，這是思維的一次飛躍，能夠增強(qiáng)我們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和化學(xué)知識的能力。

例如，有機(jī)化學(xué)中的計(jì)算，雖然并不多見，但是有機(jī)化合物都是指含碳的化合物，而碳元素形成化學(xué)鍵是有規(guī)律的，也就是碳元素在化合物中總是要形成4根共價鍵。根據(jù)這個原理，我們就可以把有機(jī)化合物中分子式的推斷抽象成數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)列的方法來進(jìn)行分析和綜合。

教師總結(jié)：物理化學(xué)要創(chuàng)新，不僅僅光靠實(shí)驗(yàn)，還要有數(shù)學(xué)作為理論基礎(chǔ)，例如萬有引力定律，質(zhì)能方程的推導(dǎo)，化學(xué)中嚴(yán)格的定量計(jì)算，沒有深厚的數(shù)學(xué)功底是不可能實(shí)現(xiàn)的。

第三組：生物學(xué)（張捷同學(xué)）（節(jié)選）

眾所周知，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)發(fā)展史上起著非常重要的作用。生物科學(xué)中的眾多理論、定律等的提出也是建立在數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上的。

先舉個例子，“能量傳遞率”。生物學(xué)中指出：生態(tài)系統(tǒng)中，在輸入一個營養(yǎng)級的能量中，只有一部分能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級。比如，草被食草動物吃掉，草中10%耀20%的能量被食草動物傳遞下去，食草動物身體中10%耀20%的能量又被食肉動物傳遞……在生物鏈中，我們可以構(gòu)建等比數(shù)列模型來求得所需的最少能量。再比如，某類細(xì)胞30分鐘分裂一次，我們可以通過構(gòu)造等比數(shù)列模型研究這種細(xì)胞在某一時刻可以分裂成多少個細(xì)胞。

又如：我國遺傳學(xué)家在研究異色瓢蟲的鞘翅色斑遺傳時，發(fā)現(xiàn)了19個基因，但控制瓢蟲色斑的基因只有其中的兩種，那么可以構(gòu)建出多少種基因型呢？我們可以采取以下方法：以A到S19個字母代表19個基因，A可與全部19個基因中的任意一個組成一種基因型，共有19種組合；B可與剩余18個基因中的任意一個組成一種雜合基因型，共有18種；依次類推，共有19+18+17+ 16+15+…+2+1種基因型，這構(gòu)成了公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和即可得到結(jié)果。

教師總結(jié)：張捷小組在生物科學(xué)方面闡述了數(shù)列的應(yīng)用，其實(shí)在生物學(xué)的發(fā)展過程中無處不是數(shù)學(xué)的烙印，沒有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)支持，生物學(xué)很難取得更高、更廣、更有益于人類生活的發(fā)展。數(shù)學(xué)在生物領(lǐng)域的應(yīng)用主要分為生物統(tǒng)計(jì)、數(shù)量遺傳、數(shù)學(xué)生態(tài)和數(shù)量分類學(xué)四個方面，衍生出了生物數(shù)學(xué)等分支。我知道班級中有同學(xué)對生物非常感興趣，為了以后在這方面能有所建樹，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是必不可少的。

第四組：經(jīng)濟(jì)生活（張逸嵐同學(xué)）（節(jié)選）

在以經(jīng)濟(jì)建設(shè)為中心的今天，人們對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象日益關(guān)注。經(jīng)濟(jì)中，不管是投資理財(cái)，還是風(fēng)險(xiǎn)把控，或是統(tǒng)計(jì)與概率等方面，都會用到數(shù)學(xué)中數(shù)列的知識。

單利的計(jì)算。單利就是指本金在一個階段內(nèi)所產(chǎn)生的利息。如果設(shè)本金為P，每期利率為I，期數(shù)為N，那么利息就可以表示為PxIN，本利和就可以表示為Px（1+I）N。我們不難發(fā)現(xiàn)，不管是利息數(shù)列還是本利和數(shù)列都是我們所學(xué)過的等差數(shù)列的模型。

復(fù)利的計(jì)算。復(fù)利與單利相比，融入了上一階段所收獲的利息的盈利。也就是說利滾利。如果設(shè)本金為P，期數(shù)為N，利率為I，則本利和就可以表示為Px（1+I）N。這就是我們所學(xué)過的等比數(shù)列的模型。

教師總結(jié)：數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)研究的基礎(chǔ)，可以說沒有數(shù)學(xué)就沒有現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)研究。張逸嵐小組舉了幾個數(shù)列在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用案例，實(shí)際上，數(shù)學(xué)知識在物價、投資、經(jīng)營中都起著重要的作用，它滲透在經(jīng)濟(jì)生活中的各個部分。伴隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)所參與和運(yùn)用的領(lǐng)域越來越廣泛，例如國民經(jīng)濟(jì)、旅游經(jīng)濟(jì)、消費(fèi)經(jīng)濟(jì)等都需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和解決問題。

第五組：資源利用（張馥鑠同學(xué)）（節(jié)選）

在土地資源、森林資源等某些再生資源的利用方面，我們可以利用所學(xué)的數(shù)列知識，通過建立合適的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)對資源的合理分配和有效利用。

在不可再生資源的利用方面，通常會遇到年使用量與年開采量之間的數(shù)量關(guān)系問題等，通過數(shù)列中的建模，可形成相應(yīng)的等比數(shù)列和等差數(shù)列關(guān)系，從而進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)列計(jì)算得到需要的答案。

例如：

可再生能源方面

自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響。用x表示某魚群在第n年初的總量，n沂N*且x1>0不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c，則可利用數(shù)列的知識計(jì)算捕撈強(qiáng)度b的最大允許值。

生態(tài)問題

在我國，沙漠化主要集中在西部地區(qū)，帶來了大面積的沙塵暴天氣。所以，人們要進(jìn)行土地荒漠化的治理。在有土地退化的同時，人們開始進(jìn)行植被的恢復(fù)和造林工作。那何時我們能夠解決某一地區(qū)的荒漠化問題？需要花費(fèi)多長時間？花費(fèi)多少人力和物力？這是我們提前所需要進(jìn)行預(yù)估的。在這里，我們就可以將這個實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

假定某地原有一定面積的沙漠，每年在自然環(huán)境的影響下，會有一定面積的沙漠增長，這時，每年的沙漠面積就構(gòu)成了一個等差數(shù)列，我們可運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求得每年沙漠面積的總量。另一方面，人們在進(jìn)行植樹造林的工作，假定每年新改善的土地都與前一年的沙漠面積有一定的數(shù)量關(guān)系，所以每年人們改善的土地面積也會構(gòu)成一個數(shù)列，通過數(shù)列求和的方法可求得該年及之前所有年份改善土地總量。在運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算即可預(yù)估出改善環(huán)境所需年份。

設(shè)計(jì)意圖：前期大量資料的查找以及在資料基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)的數(shù)列應(yīng)用問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生收集資料、自主探索、合作交流的能力，以及用數(shù)學(xué)眼光看世界的意識，拓寬學(xué)生的專業(yè)選擇及職業(yè)選擇的視野。

（三）建立模型，實(shí)際應(yīng)用

第五小組提出問題：

問題：某地區(qū)2010年底沙漠面積為9伊105hm2。地質(zhì)工作者為了了解這個地區(qū)沙漠面積的變化情況，從2011年開始進(jìn)行了連續(xù)五年的觀測，并在每年底將觀測結(jié)果記錄如下表：

請根據(jù)上表所給的信息進(jìn)行預(yù)測：

（1）如果不采取任何措施，到2020年底，這個地區(qū)的沙漠面積將大約變成多少？

（2）如果從2016年初開始，采取植樹造林等措施，每年改造8000hm2沙漠，但沙漠面積仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，這個地區(qū)的沙漠面積將小于8伊105hm2？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型———解決數(shù)學(xué)問題———得到數(shù)學(xué)結(jié)論———回歸實(shí)際問題的全過程，體會數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用。

（四）總結(jié)提升，布置作業(yè)

同學(xué)們，由于時間的關(guān)系，對于數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用我們不能盡情地分享交流。數(shù)列作為數(shù)學(xué)中離散數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不僅僅是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是我們未來學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。而數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性與應(yīng)用的廣泛性也決定了數(shù)學(xué)是未來我們從事各行各業(yè)的基礎(chǔ)工具。今天我們的課雖然接近了尾聲，但是我們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究才剛剛開始，老師希望同學(xué)們能夠以今天作為新的起點(diǎn)，認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，為你今后在各自的崗位上有所建樹打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

作業(yè)：寫一篇《數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用》的體會與感受。

四、課后反思

1援高效的課堂，離不開教師的高效設(shè)計(jì)、指導(dǎo)和課堂的高效管理。本節(jié)課緊緊圍繞“學(xué)生發(fā)展指導(dǎo)”展開教學(xué)，與學(xué)生互動對話，立足學(xué)科特點(diǎn)、學(xué)生發(fā)展，注重探究、應(yīng)用和創(chuàng)新，注重學(xué)生職業(yè)規(guī)劃，在課堂中優(yōu)化思維，培養(yǎng)能力，增長智慧。

2.課前學(xué)生通過小組收集資料，充分感受到數(shù)學(xué)和生產(chǎn)、生活的各個方面息息相關(guān)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的實(shí)際價值，體會到數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要地位，拓寬其專業(yè)選擇與職業(yè)選擇的視野。

3援教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生通過自主探索、合作交流解決問題，一方面提高自身的數(shù)學(xué)建模能力，提高應(yīng)用意識和實(shí)踐能力，一方面使學(xué)生對自身的觀察能力、表達(dá)能力、邏輯思維能力等有再認(rèn)知及評估，為其日后的發(fā)展指明方向。

4援由于課堂時間有限，數(shù)列所涉及的領(lǐng)域研究不夠深入，學(xué)生有些意猶未盡的感覺。