基本圖形在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

☉江蘇省如東縣茗海中學(xué) 繆曉菊

幾何部分是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是后期學(xué)習(xí)立體幾何知識的必要前提，因此，學(xué)好初中平面幾何部分知識，不僅有助于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提高，更是后期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要保障.由于初次接觸幾何問題，并且在七年級接觸的幾何問題難度增加，使得初中幾何是很多初中生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn).在眾多復(fù)雜的幾何圖形中，我們都可以找出它們所包含的基本圖形，借助基本圖形，能夠?qū)缀尾糠值闹R銜接到一起，幫助學(xué)生尋找解題的突破口，攻克教學(xué)的難點(diǎn).

一、基本圖形概述

基本圖形就是在初中數(shù)學(xué)課本中，描述圖形定義、公理、定理的圖形，如：平行四邊形、圓形、直角三角形，以及具有一定代表性的例題或習(xí)題所對應(yīng)的圖形，例如，圖1～4.

圖1

圖2

圖3

圖4

如圖1，已知AB=AC，BD=CD，求證：∠B=∠C.

如圖2，已知DB⊥AB，DC⊥AC，∠1=∠2，求證：BD=CD.

如圖3，求證：角的內(nèi)部的點(diǎn)到兩條邊相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.

如圖4，CD是AB的垂直平分線，E在線段CD上，連接AE、BE，求證∠CAE=∠CBE.

這些習(xí)題中所涉及到的圖形，也可以稱之為基本圖形，如果對這些基本圖形加以利用，將會對數(shù)學(xué)教學(xué)的效果具有積極的作用.

二、基本圖形的應(yīng)用過程分析

基本圖形在學(xué)生數(shù)學(xué)信息加工過程中具有重要的意義，它能夠幫助學(xué)生快速地進(jìn)行圖形分析，尋找問題的突破口.在平時的解題過程中，我們可以將利用這種拆解復(fù)雜圖形的方式，幫助學(xué)生快速完成問題的解答.

例1 如圖5，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點(diǎn)M時BC上的中點(diǎn)，MN⊥DE，垂足為N，求證：NE=ND.

圖5

問題分析：借助基本圖形理念，將圖中的復(fù)雜圖形進(jìn)行拆分，得到兩個基本圖形，通過第一個基本圖形我們就可以明顯地看出ME=MD，第二基本圖形中“等腰三角形三線合一”得出NE=ND，為學(xué)生問題的解答提供了更多的有力信息.

例2 如圖6，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥DE于點(diǎn)G.求證：∠DFG=∠EFG

圖6

問題分析：該題目的分析思路如下，根據(jù)AD⊥BC，BE⊥AC就可以得出△ABD和△ABE是直角三角形，由于F是AB的中點(diǎn)，就可以得出DF=AB，EF=AB，那么DE=EF.又因?yàn)镕G⊥DE，最終得出∠DFG=∠EFG.為了能夠幫助學(xué)生快速尋找解題信息，本題依然可以采用基本圖形分解的方式，將原圖轉(zhuǎn)化為三個更為直觀的基本圖形，通過三個基本圖形就可以直觀地發(fā)現(xiàn)解題信息，求出答案.

三、基本圖形在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.承擔(dān)著語言轉(zhuǎn)化橋梁的作用

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要部分就是數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換，來表述自己的觀點(diǎn)，尋找解題的突破口.在初中數(shù)學(xué)“平行線”部分的教學(xué)中，對學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化的能力的培養(yǎng)提出了明確的要求，能夠靈活完成數(shù)學(xué)語言之間的互譯.例如，平行線分線段成比例定理.文字語言為：平行于三角形一邊的直線，與它的兩條邊所截得的線段成比例.符號語言為：已知BD//CE，求證=，=，圖形語言為：如圖7，借助基本圖形，能夠使學(xué)生更加直觀地理解不同數(shù)學(xué)語言之間的不同，使學(xué)生能夠靈活掌握數(shù)學(xué)語言之間的靈活轉(zhuǎn)化.

圖7

2.是數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理的載體

在七年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等角的知識點(diǎn)非常重要，是后面研究平行問題的必要前提，也是后面數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).借助基本圖形的動態(tài)演示，能夠幫助學(xué)生理解“三線八角”的定義和性質(zhì)，攻克在教學(xué)中的難點(diǎn).

例3 如圖8，8個角的位置與數(shù)量的關(guān)系，決定了角的定義和性質(zhì)，也決定著直線CD與EF之間的關(guān)系.

同位角：在直線CD、EF、AB的同側(cè)，兩角所在直線之間構(gòu)成“F”狀，如圖8中的∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7.

同旁內(nèi)角：在兩條直線的內(nèi)部，在第三條直線的同一邊，兩角所在直線之間構(gòu)成“U”狀，如圖7中∠4和∠5.

內(nèi)錯角：在兩條直線的內(nèi)部，在第三條直線的兩側(cè)，兩角所在直線構(gòu)成“Z”狀，如圖8中∠3和∠5.

在解題中，學(xué)生如果正確使用基本圖形關(guān)于定義、定理的特點(diǎn)，就可以快速完成解答.

例4 找出圖9中的內(nèi)錯角.

問題分析：學(xué)生只需要結(jié)合上邊所說的基本圖形的載體功能，尋找“Z”狀圖形包含的兩個角就可以快速完成求解.

3.規(guī)范學(xué)生幾何解題步驟

幾何證明題是初中數(shù)學(xué)必考題型，它對學(xué)生的思維能力和書寫表達(dá)能力具有較高的要求，很多學(xué)生在做題中因?yàn)槌霈F(xiàn)書寫不規(guī)范的問題，導(dǎo)致出現(xiàn)解題錯誤.例如，因?yàn)轭}目較為簡單，經(jīng)常出現(xiàn)“易得”“易證”，和一些“跳躍性”的結(jié)論.對于初中幾何證明題來說，都有固定的書寫格式，它們都對應(yīng)著一個或者多個推論，但是基本的格式都是一致的，因此做好基本圖形邏輯推理的書寫格式，是解決綜合問題的必要前提.

例5 如圖10，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，其中BE=CD，∠1=∠2，證明△ABC是等腰三角形.

圖8

圖9

圖10

問題分析：將原有圖形拆分為基本圖形，要證明原題只需要證明兩個基本圖形就可以，將兩個基本圖形的邏輯證明推理組合起來就成為了這道題整個的證明過程.需要注意的是，在兩個圖形分析中，有的邏輯推理就是下一個圖形推理的結(jié)論，這樣這樣的情況只需要書寫一次即可.在△ECB和△DBC中，BE=CD，∠1=∠2，BC=CB，所以△ECB≌△DBC，所以∠ECB=∠DBC，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.

4.構(gòu)造基本圖形，解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題

在解決數(shù)學(xué)幾何問題的時候，通過構(gòu)造基本圖形的方法來尋找解決綜合問題的突破口，是我們常用的解題方法，我們通過添加輔助線、割補(bǔ)圖形等方法來完成基本圖形的構(gòu)造，然后借助基本圖形的性質(zhì)來完成求解.

四、基本圖形在教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

本文以等腰三角形的判定部分的教學(xué)內(nèi)容為例，對基本圖形在教學(xué)中的應(yīng)用方法做簡要闡述.該章節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)在于探索和掌握等腰三角形的判定方法.

1.引導(dǎo)思維階段

在該部分的教學(xué)設(shè)計(jì)中，引入折紙實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考欲望.首先，教師在多媒體上展示兩組折紙圖片，如圖11，學(xué)生根據(jù)視頻所示進(jìn)行來動手折紙.認(rèn)真觀察紙張折合部分三角形的特征，它們是否是等腰三角形？它們的角之間有什么樣的特殊數(shù)量關(guān)系？

圖11

2.定理論證階段

如圖12，在△ABC中，∠B=∠C，說明△ABC是等腰三角形.我們?nèi)绾文軌驑?gòu)造出一個以AB和AC為對應(yīng)邊的全等三角形呢？

圖12

學(xué)生思考：通過作∠A的平分線，根據(jù)AAS定理就可以證明出AB和AC為對應(yīng)邊的三角形全等，通過A作BC的垂線，利用ASA定理也可以證明AB和AC為對應(yīng)邊的三角形全等.

教師提出問題：如果作BC的中線，是否能夠證明AB和AC為對應(yīng)邊的三角形全等？

3.定理強(qiáng)化階段

在這一階段，主要是運(yùn)用基本圖形，幫助學(xué)生梳理語言、強(qiáng)化書寫，提高學(xué)生文字語言、圖形語言、符號語言之間的靈活轉(zhuǎn)化能力.

首先，借助簡單的問題，幫助學(xué)生熟悉“等角對等邊”，認(rèn)識常見的基本圖形.

例6 說明圖中共有幾個等腰三角形.如圖13所示在△ABC中，已知∠A=36°，∠ABC=72°，BE是∠ABC的角平分線.

（1）如圖14，DE∥BC；

（2）如圖15，CD平分∠ACB，連接DE；

（3）如圖16，EF為∠BEC的角平分線，F(xiàn)G為∠EFC的角平分線.

圖13

圖14

圖15

圖16

其次，讓學(xué)生體會從復(fù)雜圖形中分離基本圖形，體會基本圖形的應(yīng)用思路，鼓勵學(xué)生在解題事件中應(yīng)用基本圖形.

圖17

圖18

例7 如圖17，在△ABC中，BP和CP為∠ABC和∠ACB的角平分線，MN∥BC，證明：MN=BM+CN.

例8 如圖18，BD是∠ABC的角平分線，CD平分△ABC的外角，DE∥BC，證明：EF=BE-CF.

五、小結(jié)

幾何部分是初中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，很多學(xué)生對幾何問題的求解是望而卻步.其實(shí)，任何幾何都是由基本圖形構(gòu)成，只要抓住了基本圖形，在復(fù)雜的幾何問題都可以迎刃而解.另外，通過基本圖形的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)的幾何知識，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.J