數(shù)學(xué)回歸與數(shù)學(xué)解題

☉廣東省深圳市沙灣中學(xué) 劉長壽

數(shù)學(xué)源于自然，源于社會(huì)與生活，無論數(shù)學(xué)怎樣發(fā)展都要回歸本原.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)過程：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理解；數(shù)學(xué)能力提高；數(shù)學(xué)方法積累；創(chuàng)新思維發(fā)展；數(shù)學(xué)思想形成；分析解決問題.而所有這一切都體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中.“古希臘著名學(xué)者阿基米德說‘只要給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球’.在理論體系的建立中，這個(gè)支點(diǎn)就是不定義的概念（原詞）與不證明的命題（公理）.”

中學(xué)數(shù)學(xué)作為一個(gè)完備的知識(shí)體系，所有題目的解答也存在一個(gè)支點(diǎn)，所有題目的解答都離不開這個(gè)支點(diǎn)，這就是中學(xué)數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理、公式.無論多么難的題目只要回歸到這個(gè)支點(diǎn)，都可以迎刃而解.

中學(xué)生作為數(shù)學(xué)的初學(xué)者，在解題過程中，往往會(huì)出現(xiàn)各種各樣的問題，要么面對(duì)題目一籌莫展，要么在解題過程中顧此失彼.特別是那些能力、技巧要求較高的題目，既需要學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又需要學(xué)生懂得“萬丈高樓平地起”的道理，無論多難的題目都離不開數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及其變形與發(fā)散，即“回歸支點(diǎn)”.因此，數(shù)學(xué)回歸思想在數(shù)學(xué)解題中起著舉足輕重的作用.

一、數(shù)學(xué)回歸的意義

數(shù)學(xué)回歸包含著兩層含義：一是面對(duì)題目的條件與要解決的問題無法找到突破口時(shí)，將思維回歸到與題目?相關(guān)的數(shù)學(xué)定義、定理、公式、公理上去，從基礎(chǔ)知識(shí)切入，尋找破題的方法，然后順藤摸瓜發(fā)散思維，從而解決問題.二是當(dāng)順著題意解出結(jié)果時(shí)，不要輕易下結(jié)論，要把解出的結(jié)果回歸到題目的條件中去，看結(jié)果是否符合題意，或者把結(jié)果回歸到知識(shí)點(diǎn)及實(shí)際生活中去，看是否符合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及實(shí)際生活.

二、“數(shù)學(xué)回歸”對(duì)數(shù)學(xué)解題結(jié)果的選擇性作用

學(xué)生解出題目的結(jié)果后往往疏于驗(yàn)證結(jié)果的正確性.基于一些數(shù)學(xué)知識(shí)的條件性選擇，解題中得出的結(jié)果可能不符合題意或不滿足相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本條件，這時(shí)數(shù)學(xué)回歸思想就解決了解題結(jié)果的條件性選擇，從而得出正確結(jié)論.分式方程和無理方程要驗(yàn)根就是典型的例子.

例1 若（m-2）xm2-2+3x+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（ ）.

A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠2

對(duì)于本題的選擇，學(xué)生最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只從一元二次方程的最高次數(shù)為2考慮，得出m=±2，忽視一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的基本條件a≠0，而錯(cuò)誤地選擇A.當(dāng)計(jì)算出結(jié)果m=±2后，必須把m=±2這一結(jié)果回歸到一元二次方程應(yīng)滿足的基本條件a≠0中去，從而得出m≠2，結(jié)論m=±2中的m=2必須舍去，即本題的正確選項(xiàng)是C.

三、“數(shù)學(xué)回歸”讓難題變得不難

數(shù)學(xué)回歸啟發(fā)數(shù)學(xué)解題思路.當(dāng)面對(duì)一道題目找不到解題突破口時(shí)，就從與題目相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)入手，尋求解題方法.

此題初看起來很難入手，如果把思維回歸到“二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)”這一基礎(chǔ)知識(shí)上來，問題就很好解決了.

a-2014≥0，即a≥2014，

所以，2013-a＜0，即|2013-a|=a-2013，則

所以，a-20132=2014.

通過基礎(chǔ)知識(shí)找到基本方法，經(jīng)過基礎(chǔ)知識(shí)的變形以及題目所給的條件“順藤摸瓜”，就能解決問題了.

回歸基礎(chǔ)知識(shí)：圖像上的點(diǎn)滿足解析式，即y1=kx1，

圖1

這里就出現(xiàn)了題目所求結(jié)論2x1y2-7x2y1中除了系數(shù)以外的兩項(xiàng)：x1y2與x2y1.將題目的結(jié)論與條件有機(jī)結(jié)合，也是解決問題的關(guān)鍵，我們要通過多練習(xí)提高解題的綜合能力.

因?yàn)閤1y1x2y2=16，

（注意：x1＞0，y1＞0，x2＜0，y2＜0這個(gè)隱含條件）

所以，x1y2=x2y1=-4.所以，2x1y2-7x2y1=20.

四、“數(shù)學(xué)回歸”啟發(fā)幾何解題思路

“代數(shù)代數(shù)，錯(cuò)了再做；幾何幾何，想破腦殼.”讓學(xué)生“想破腦殼”的是幾何證明和計(jì)算中找不到解題突破口.還是那句話，根據(jù)題目的條件“回歸支點(diǎn)”，向題目有關(guān)的基本定義、定理要方法.

例4 如圖2，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC，EF的中點(diǎn)，求AD：BE的值.

本題是求兩條線段的比值，而圖形中這兩條線段似乎沒有什么聯(lián)系，但當(dāng)我們根據(jù)O是兩個(gè)等邊三角形一條邊的中點(diǎn)時(shí)，把思維回歸到等腰三角形“三線合一”性質(zhì)這一基礎(chǔ)知識(shí)上，就順理成章地想到連接AO，DO，如此，問題就迎刃而解了.

圖2

連接AO，DO.

因?yàn)镺是BC，EF的中點(diǎn)，且△ABC與△DEF為等邊三角形，由

而∠AOD=90°+∠AOE=∠BOE，

例5 如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD為等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于點(diǎn)F.

（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形.

（2）將四邊形ACBD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，GH為折痕，求sin∠ACH的值.

本題第（1）小題屬于基礎(chǔ)證明，沒有難度，關(guān)鍵是第（2）小題.

圖3

結(jié)合折疊的性質(zhì)得到CH=DH，

然后利用Rt△ABC中∠CAB=30°，

而由⑴可知∠CAH=90°.

在Rt△ACH中，由勾股定理得

CH2=AH2+AC2.

（這些都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)）

進(jìn)行等量代換，得出AD=8AH，

總之，數(shù)學(xué)解題離不開扎實(shí)的基本功和學(xué)習(xí)者自身的感悟能力，更重要的是在做題中積累解題方法，形成數(shù)學(xué)思想，反過來用這些方法和思想啟發(fā)解題思路，最終達(dá)到增強(qiáng)創(chuàng)新思維，提高分析能力和實(shí)踐水平.J