建立數(shù)學(xué)模型思想，提升問題解決能力
——以初中數(shù)學(xué)線段和的最值問題為例

☉江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué) 周麗芳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”列為課程總目標(biāo)之首，并從“從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度”四個方面闡述了具體的內(nèi)涵.由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)過程不僅是知識與技能的學(xué)習(xí)過程，而且是問題解決策略與數(shù)學(xué)思想方法形成的過程，還是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、體驗成功樂趣、養(yǎng)成學(xué)習(xí)習(xí)慣、形成科學(xué)態(tài)度的過程.下面結(jié)合初中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)實踐案例，以線段和的最值問題為例，僅就建立數(shù)學(xué)模型思想，提升問題解決能力的問題作初步的探討.

一、初中數(shù)學(xué)模型思想的內(nèi)涵

初中數(shù)學(xué)模型思想是指運用數(shù)學(xué)模型方法處理和解決實際問題的一種思想，它是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系的橋梁.建立和求解模型的基本過程包括“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.”數(shù)學(xué)模型思想的學(xué)習(xí)能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，強化應(yīng)用意識，初步形成建模學(xué)習(xí)策略.

二、模型思想在解決線段和最值問題中的應(yīng)用

最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是中考的熱點問題.它是一類綜合性較強的問題，主要考查學(xué)生綜合遷移所學(xué)知識來解決實際問題的能力.無論是代數(shù)還是平面幾何，在學(xué)習(xí)中都會遇到最值問題，其中常見的就是線段和的最值問題.此類問題常可歸于兩類基本模型：一是幾何模型，多為在存在動點或者不確定的位置關(guān)系的情況下求最值，一般有兩種解題思路，一個是通過幾何圖形的性質(zhì)實現(xiàn)對位置的確定；另一個是通過數(shù)量關(guān)系實現(xiàn)最值問題的解答.二是函數(shù)模型，?？筛鶕?jù)已知條件，將問題轉(zhuǎn)化成兩個變量之間的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造二次函數(shù)解析式，通過配方利用二次函數(shù)的對稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值.

1.幾何模型中的線段和最值問題

圖1

圖2

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，M在邊DC上，且DM=1，N是對角線AC上一動點，則DN+NM的最小值是________.

分析：此題為單動點求兩條線段和的最值問題.D、M是兩個定點，N是AC上一動點.由正方形本身具備的軸對稱性可知，點B、D關(guān)于AC對稱，BN=DN，DN+NM=BN+NM，由“兩點之間線段最短”（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）可知BN+NM≥BM.所以只要連接BM交AC于N，此時DN+MN的值最小為BM的長（如圖2）.再由已知條件可知BC=4，CM=3，由勾股定理可知，BM=5，所以DN+NM的最小值是5.

本題在“將軍飲馬”模型中植入了正方形的背景，利用軸對稱性質(zhì)，將直線同側(cè)的兩條線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩條線段，簡化問題，求得答案.

圖3

圖4

變式：如圖3，AB是⊙O的直徑，C為半圓AB上的一個四等分點，D為弧BC上的三等分點，已知⊙O半徑為1，則PC+PD的最小值為________.

分析：本題由案例1變式而來，在模型中植入了圓的背景，學(xué)生只要熟悉“將軍飲馬”模型，就很容易作出如圖4中的輔助線，得出PC+PD的最小值為線段CD′的長.根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)及軸對稱性可求得∠COD′=60°，△COD′為等邊三角形，CD′=OC=1，所以PC+PD的最小值為1.

拓展：在幾何模型中植入坐標(biāo)背景.

如圖5，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（6，8），B（-2，y），C（x，0），且BC⊥AC.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；

（2）如圖6，當(dāng)y取最大值時，一條線段EF在x軸上運動，EF=2，連接AF、AB、BE，求在運動過程中四邊形ABEF周長的最小值.

分析：本題（1）可過點B、A分別作BD⊥x軸，AM⊥x軸垂足為D、M，由“K”字型可知△BDC∽△CMA，由相似三角形對應(yīng)邊成比例易得y=-x2+x+，經(jīng)配方得y=-（x-2）2+2，所以當(dāng)x=2時=2.

第（2）題中已知A（6，8），當(dāng)y取最大值時可得到B（-2，2），易求得AB=10，在AB、EF長度均為定值下，要求四邊形ABEF的周長最小值，就可轉(zhuǎn)化成求BE+AF的最小值.與案例1相比，本題不再是兩定點一動點，而是E、F兩動點同時移動，這是困擾學(xué)生的難點.這時可啟發(fā)學(xué)生在EF的長是定值時，能否考慮將E、F兩個動點轉(zhuǎn)化為一個動點，從而將問題轉(zhuǎn)化到“將軍飲馬”模型中去解決.通過討論，引導(dǎo)學(xué)生得出問題解決的關(guān)鍵，就是將線段AF向左平移EF的長度至A′E的位置，使得A′E=AF，將求BE+AF的最小值轉(zhuǎn)化成求BE+A′E的最小值（如圖7）.通過兩點之間的距離公式求得BE+AF=BE+A′E=A′B′=2，AB=10，EF=2，所以四邊形ABEF周長的最小值為12+2.

圖5

圖6

圖7

反思：以上求兩線段和最值問題均可利用“將軍飲馬”模型來解決.一般都是利用軸對稱性將所求線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“兩點之間線段最短”來求得兩條線段和的最值問題.在這種模型中植入不同的背景可以延伸出不同的題型.但萬變不離其宗，其數(shù)學(xué)思考都是利用圖形本身的軸對稱性將同側(cè)線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和，即化“折”為“直”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生能清晰地抓住求兩條線段和最短問題的本質(zhì)：依據(jù)“兩點之間線段最短”，利用共線點最小值解決最值問題.

2.函數(shù)模型中的線段和最值問題

分析：因為點P不在直線上運動，點E也是一個動點，在無法套用“將軍飲馬”模型來解決問題時，我們可以利用兩點之間的距離公式，將兩條線段的長用函數(shù)解析式表示出來，再利用函數(shù)的性質(zhì)來求線段和的最小值.具體解答如下：

圖8

綜上所述，PD+PE的最小值為2.

圖9

分析：本題P、D、Q三點隨點M的運動而運動，同樣無法套用“將軍飲馬”模型來解決.這時可引導(dǎo)學(xué)生將線段PD、DQ的長度用含x的代數(shù)式來表示，通過構(gòu)造函數(shù)解析式來解決問題.具體解答如下：

所以A（4，0），C（0，-3），

所以O(shè)A=4，OC=3，AC=5.

因為∠AOC=90°，DQ⊥AC，

反思：利用函數(shù)模型解決線段和的問題，在初中數(shù)學(xué)中，一般都是將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)解析式，通過配方求得線段和的最大或最小值.方法雖比較簡單，但計算一般都較繁雜.且這類問題一般都出現(xiàn)在綜合題中，將線段長用解析式表示出來是一個難點，但只要學(xué)生有扎實的基礎(chǔ)理論知識，理解并熟知簡單數(shù)學(xué)模型的特性，把握數(shù)學(xué)思想（如化歸思想、轉(zhuǎn)化思想等）的本質(zhì)，化繁為簡，化動為定，結(jié)合特定圖形的性質(zhì)就能夠順利解決問題.

總之，初中數(shù)學(xué)最值問題看似復(fù)雜多變，但其中都蘊含著基礎(chǔ)的模型思想.解這類題目的關(guān)鍵是要結(jié)合題意，借助相關(guān)的概念、圖形的性質(zhì)，通過一定的方法和手段，把幾何和函數(shù)中的最值問題轉(zhuǎn)化為基本的模型來解決.教師要從學(xué)生的數(shù)學(xué)實際出發(fā)，聯(lián)系學(xué)生的外部世界精心創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在建立和求解數(shù)學(xué)模型中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，建立數(shù)學(xué)模型思想，提升問題解決能力.