把握數(shù)量關(guān)系，凝練比例思想

王焱烽

摘 要：在“解決問題”的教學中，教師應做到在分析數(shù)量關(guān)系的同時，注重解決問題策略的運用與概括，幫助學生找到解決問題的思路，獲得關(guān)于問題解決的一般方法，取得數(shù)量關(guān)系運用與解決問題策略相得益彰的教學效果。本文以一道“用比例解決問題”錯題的教學改進實證活動為例，闡明教師應借助問題解決過程，充分給予學生感知、運用數(shù)量關(guān)系的機會，讓學生借助數(shù)量關(guān)系這一已有經(jīng)驗，體驗比例思想在解決問題中的優(yōu)越性，從而順利接納比例思想方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系；解決問題；有效教學；比例思想；實證

當前，“解決問題”教學中有關(guān)“轉(zhuǎn)化”“列表”等“策略與方法”的研究不勝枚舉，但對其中蘊含的“數(shù)量關(guān)系”的實踐活動關(guān)注不多，存在著思想上忽視、教學上弱化的現(xiàn)象。在具體教學中，數(shù)量關(guān)系教學缺乏與數(shù)學思想方法的緊密結(jié)合，導致學生解決問題的表現(xiàn)不如人意。作為曾經(jīng)是“應用題”教學核心的“數(shù)量關(guān)系”，我們在“解決問題”的教學中，應該發(fā)揮其應有的功能，做到在分析數(shù)量關(guān)系的同時，注重解決問題策略的運用與概括，幫助學生找到解決問題的思路，獲得關(guān)于問題解決的一般方法，達成數(shù)量關(guān)系與解決問題策略相得益彰的教學效果。

下面，筆者以六年級“用比例解決問題”中一道應用比例思想解決問題的錯題為例，談談對這方面的思考。

一、錯題再現(xiàn)

錯題：在10千米賽跑中，假設甲、乙、丙三人的速度保持不變，當甲到達終點時，乙還距終點2千米，丙還距終點4千米。當乙到達終點時，丙還距終點多少千米？

該題從難易程度來看屬于較難題，錯誤人數(shù)占班級總?cè)藬?shù)的40%左右。有學生認為：當乙到達終點時，丙還距終點2km（圖1）。也有學生通過畫圖，認為“2km”是正確的（圖2）。

僅有的個別學生的正確解答則以算術(shù)方法、假設法居多。（圖3、圖4）

二、訪談分析

學生剛學過的比例方法為何沒能為學生帶來解決問題的啟發(fā)呢？筆者對此進行了訪談。

師：為什么是2千米呢？

生1：因為甲、乙、丙三人的速度保持不變，所以當甲到達終點時，乙還差甲2km，丙就應該差乙2km，所以丙還距終點2千米。

師：你用了假設的方法，你是怎么想的？

生2：假設它們都跑了1小時，這樣就可以算出它們的速度分別是多少了。用路程=速度×時間，就可以算出他們分別跑了多少千米。也就能算出丙還距終點多少千米了。

師：你覺得能用比例的方法嗎？

生2：應該可以吧。速度一定，時間和路程成反比例。

師：為什么沒試試用比例的想法去做呢？

生2：我覺得算式往往比解比例要簡便。

生3：比例雖然也能解答，但是還要寫“解、設”什么的，麻煩了些。

師：你覺得能用比例方法來解答嗎？

生4：我感覺好像找不到成比例的量。成什么比例?。窟@道題有點難。

……

從學生訪談來看，面對“用比例解決問題”這個學習內(nèi)容時，學生的學習態(tài)度與接受該知識的學習表現(xiàn)、錯誤原因不盡相同。其中，無法準確判斷成什么比例關(guān)系、認為運用比例方法不方便且無法正確運用其他方法解決問題，是導致錯誤的主要原因。

1. 教學的角度，課堂教學沒有讓學生體驗到用比例解決問題的優(yōu)越性。

用正、反比例關(guān)系解決問題，對于學生來說并不陌生。如：

這批書如果每包20本，要捆18包。如果每包30本，要捆多少包？

學生在面對這道題時，很自然地提取原有知識經(jīng)驗：“先求一共有多少本書，再求可捆多少包”。對學生來說，利用歸一、歸總方法解決這類問題，方便又正確?！皩W生的計算通常是在保證結(jié)果正確的基礎上更傾向于使用自己熟悉的方法”，這在一定程度上也反映了學生在“解決問題”中的真實心理。

于是，在利用比例知識解決問題時，自然也就產(chǎn)生了“為什么就不能用原來的方法解答”的想法。若教師在課堂上一味否定舊方法，沒有讓學生充分感受用比例解決問題的優(yōu)越性，往往會加劇學生排斥新方法的心理，使教學陷入尷尬。

2. 學習的角度，學生不能順利分析數(shù)量關(guān)系，不能用比例思想解決問題。

經(jīng)教學實踐觀察，學生單獨用正比例或反比例關(guān)系解題困難不大。但隨著學習的深入，兩種關(guān)系的問題會同時出現(xiàn)，此時因無法正確區(qū)分題中數(shù)量關(guān)系究竟是正比例還是反比例關(guān)系而導致錯誤頻發(fā)。用比例關(guān)系解題，學生容易產(chǎn)生“用不好”“用不對”的心理。于是，轉(zhuǎn)而利用原先的算術(shù)方法解答。

學生用比例知識解決問題時，首先要能夠正確找出兩種相關(guān)聯(lián)的量，判斷它們成什么比例。如果不能順利提煉兩個相關(guān)的量，并分析數(shù)量關(guān)系，也就意味著他很難再繼續(xù)利用比例的思想來解決問題。

3. 知識本身的角度，知識綜合性較強，用比例解決問題的思想較難感悟與建立。

比例、正比例、反比例是本單元學習的基本概念。比例的相關(guān)知識以及比例的應用，都有賴于對這些概念的理解和掌握。解答含正反比例關(guān)系的實際問題，學生需要用到多種知識，需要調(diào)用的思維經(jīng)驗也比較豐富。如比例的概念與比、除法、分數(shù)等相關(guān)知識，解比例及用比例方法解決問題，要用到方程的相關(guān)知識。學習中，既要聯(lián)系新舊知識，又要綜合運用知識，體驗用比例解決問題這一新思想、新策略帶給解決問題的長處。但由于思想的抽象，學生較難感悟與建立。

三、改進過程

一種思想的建立，既需要教師的有效教學作為，也需要學生的積極自我體驗。如何讓學生運用已有的數(shù)量關(guān)系認識，突破認知桎梏，體驗全新思想，感悟比例思想呢？

第一層次：把握數(shù)量關(guān)系，體驗比例方法的優(yōu)越性。

練習1：張大媽家上個月用了8噸水，水費是12.8元。李奶奶家則用了10噸水。李奶奶家上個月的水費是多少元？

小結(jié)：用比例方法解決問題時，先要找出是哪些數(shù)量，這些數(shù)量有什么關(guān)系，再根據(jù)同一種數(shù)量關(guān)系來列式。

練習2：一個曬鹽場用100g海水可以曬出9g鹽。照這樣計算，如果一塊鹽田一次放入585000噸海水，可以曬出多少噸鹽？多少噸海水可以曬出9噸鹽？

總結(jié)：運用舊方法，需要轉(zhuǎn)化單位名稱，“噸”和“g”之間的換算并不容易。運用新方法：不受單位名稱的影響，只要運用相同的數(shù)量關(guān)系列出比例式，就能使計算變得方便、簡潔。

第二層次：感悟比例思想，豐富解決問題策略。

1. 填空：

甲、乙兩人完成同一項工作，甲、乙的工作時間比是3∶4，工作效率比是（ ）∶（ ）。

甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度比是3∶2，甲、乙兩人所行的路程比是（ ）∶（ ）。

2. 小結(jié)：有些題目中雖然沒有具體的數(shù)量，但可以通過尋找數(shù)量間的比例關(guān)系解決問題。

3. 思考：服裝廠計劃每天加工100套服裝，20天完成。由于改進了技術(shù)，計劃每天做的是實際的4/5，實際需要幾天完成？

生1：解：設實際需要x天完成。

總結(jié)：根據(jù)題中條件可知，數(shù)量關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時間。工作總量一定，工作時間與工作效率成反比，20×4/5的算法中蘊含了比例的思想方法。

第三層次：糾正錯誤認識，總結(jié)問題解決經(jīng)驗。

出示：在10千米賽跑中，假設甲、乙、丙三人的速度保持不變，當甲到達終點時，乙還距終點2千米，丙還距終點4千米。當乙到達終點時，丙還距終點多少千米？

1. 反饋：

生1：4-2=2千米。

生2：假設甲花了2小時到達終點。

乙：（10-2）÷2=4千米/時，

10÷4=2.5小時。

丙：（10-4）÷2=3千米/時，

10-3×2.5=2.5千米。

生3：解：設乙到終點后丙跑了x千米，

6∶8=x∶10

x=7.5

10-7.5=2.5千米。

生4：10∶8∶6=5∶4∶3，

2÷4×3=1.5千米，

4-1.5=2.5千米。

2. 引導：

師：除了用假設法，嘗試用比例的想法解答。從題中可以知道，三人的速度保持不變，還有什么也是不變的？也就是說，時間一定，什么和什么成什么比例關(guān)系？

3. 總結(jié)：

（1）有些習題用比例方法解答比較方便。

（2）解決問題的方法，可以是算術(shù)方法、方程方法，也可以用比例解答，更可以在解題過程中運用比例的思想來解答。

（3）在解決問題時，要懂得靈活選用合適的方法。

四、 實踐反思

首先，在數(shù)學學習中，學生對一種新知識、新思想的理解、內(nèi)化，直至自如應用，具有過程性。本次干預過程，并不是一次完成的，分階段、緩坡度，體現(xiàn)了錯題干預的過程性特點。面對糾錯，教師需要有通盤的教學設計。既要懂得承前：分析學情，立足舊知，打下扎實的前期學習基礎；又要懂得啟后，為后續(xù)運用知識提供學習、思考的能力保證。

其次，方程、比例等問題解決方法，其實都蘊含了豐富的數(shù)量關(guān)系。在教學中，教師應該通過實例，借助問題解決過程，充分給予學生體驗數(shù)量間關(guān)系的機會。以本文所舉為例，學生在解決過程中體驗比例思想解決問題的優(yōu)越性，有助于學生完善解決問題的策略。數(shù)量關(guān)系，因有比例的思想方法引領而得以進一步被學生把握、理解；比例思想方法，則因有數(shù)量關(guān)系這一已有經(jīng)驗的根基，使學生得以順利接納，成為其新的認知結(jié)構(gòu)與問題解決策略。顯然，這為學生日后“善于在任何情況下選擇適當?shù)姆椒?，從中找出解決問題最便捷、可靠的途徑”提供了豐富而深刻的活動經(jīng)驗，學生也由此經(jīng)歷有意義的學習生長過程。