例談綜合問題解題方法之變式生成

湖北省武漢市華中科技大學同濟附中(430030) 高洪濤 王凱旋

一、問題提出

在教學中,有很多學生反映,上課能聽懂老師的講解,但是自己再遇到類似的題目還是不會解.如果是一道新類型的問題,更不知如何下手.當然,我們可以從老師和學生的角度進行分析.很多老師的論文已經多角度的分析了這個問題,在此,不做太多的重述.本文計劃從另一個角度即解題方法的習得展開探討.“解題是數學的心臟”,中學數學活動,離不開解題這個重要環(huán)節(jié).而解題,必然涉及到解題方法,解題方法從何而來?大概有這樣幾種途徑:來自于課堂從老師那里獲得的解題方法;來自于所訂閱的期刊雜志或者教輔資料;來自于和老師、同學交流以后所感悟出來的;還有一種,往往被我們所忽視,就是來自于我們所要解決的問題.在一些綜合問題中,往往有多個小問題,形成問題串的方式呈現(xiàn)出來,前面的小問題或者為后面的小問題提供了條件,結論(另文書寫),或者為后面的小問題提供了方法.但是,我們的學生在解題的過程中,割裂了各個問題之間的聯(lián)系,總是想另起爐灶,苦思冥想,而忽視了近在眼前的方法寶藏.下面,通過典型案例,來說明如何在解答綜合問題時得到解題方法的變式生成.

在我們需要解答的綜合問題中,很多時候,就是一個變式的問題串.后面的問題中的圖形結構和第一個問題的圖形結構相比,或者進行了變式構造,或者只保留了部分結構.那么,在解答后面問題的時候,我們需要補全圖形,采用相似的方法,完成綜合問題的解答.這種解題方法的獲得,來自于我們需要解決的問題.

二、案例分析

案例 1已知:CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,M,N,F分別是AE,BD,DE的中點,連接FM,FN.

(1)如圖1,當A,D,C在一條直線上時,求證:①FM=FN;②FM⊥FN;

圖1

圖2

分析問題已知條件中已經出現(xiàn)多個中點和中位線,可以考慮利用中位線定理完成解答.

解①因為CA=CB,CD=CE,所以AD=BE.因為M,N,F分別是AE,BD,DE的中點,所以且FM//AD,FN//BE,所以FM=FN.

②如圖2,延長FM交BC于G,由①得:FM//AD,FN//BE,因為 ∠ACB=90°,所以 ∠MGB=∠ACB=90°,所以FM⊥BC,所以FM⊥FN.

(2)如圖3,當B,D,C在一條直線上時,上述①②是否成立?

圖3

圖4

分析第二問實質是第一問的簡單變式,根據變式生成的方法生成模式,保持第一問的相似結構和方法.

解①如圖4,連接AD,BE,延長AD交BE于G點,因為CA=CB,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=90°所以△ACD△BCE,所以AD=BE,∠CAD=∠CBE.因為M,N,F分別是AE,BD,DE的中點,所以且FM//AD,FN//BE,所以FM=FN.

②由①得∠CAD=∠CBE,又因為∠ADC=∠BDG,所以∠BDG= ∠ACB=90°,所以AD⊥BE,又因為FM//AD,FN//BE,所以FM⊥FN.

案例2已知△ABC,以為AC邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.

(1) 如圖 5,若AB=AE,∠DAC= ∠EAB=60°,求∠BFC的度數.

圖5

解因為∠DAC=∠EAB=60°,所以 ∠CAE= ∠BAD.因為AC=AD,AB=AE,所以△ABD,所以 ∠AEC= ∠ABD,所以∠BFE= ∠EAB=60°,所以 ∠BFC=180°?∠BFE=60°.

(2) 如圖 6,若 ∠ABC=30°,∠ACD=60°,BC=4,BD=6,求AB的長.

圖6

圖7

分析從第一問到第二問,好似從完整到殘缺,第一問的兩邊都有等邊三角形,而第二問只有一邊有等邊三角形,根據變式生成方法的模式,保持第一問的相似結構和方法,我們在三角形的另一邊補充一個等邊三角形試一試.

解如圖7,以AB為邊,在△ABC外作等邊三角形△ABE,連接CE,則 ∠ABE= ∠BAE=60°,BE=AB=AE,所以∠DAB= ∠EAC,又因為AC=AD,所以△ABD△ACE,所以BD=CE=6.因為BC=4,因為 ∠ABC=30°,所以 ∠EBC=90°.在 Rt△BCE中,所以

(3)如圖 8,AB=2,BC=5,∠ABC= ∠ACD=∠ADC=45°,則BD的長.

圖8

圖9

分析從第一問,第二問到第三問,從完整到殘缺,從等邊三角形到等腰直角三角形.第一問的兩邊都有等邊三角形,第二問也需要兩邊有等邊三角形,但是,第三問和第一問相比也是殘缺的,和第二問相比三角形從等邊三角形,變?yōu)榈妊苯侨切?根據變式生程方法的模式,保持第一問的相似結構和方法我們在三角形的另一邊補充一個等腰直角三角形試一試.

解如圖9,以AB為邊,在△ABC外作等腰直角三角形△ABE,使,AB=AE,∠EAB=90°,連接CE.因為 ∠ACD= ∠ADC=45°,所以AD=AC,∠CAD=90°. 因為AB=AE,∠EAB=90°,所以 ∠CAE=∠BAD,所以△ABD△ACE,所以BD=CE.因為 ∠ABC= ∠ABE=45°所以 ∠EBC=90°. 因為AB=2,BC=5,所以因為在 Rt△BCE中,所以

案例3(1)如圖10,若點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,DC的延長線上,且 ∠MAN=45°,請?zhí)角骃△AMN,S△ABM,S△ADN之間的等量關系,并證明;

(2)如圖,在△ABC中,∠MAN=45°,且AD⊥BC于D,若BD=3,CD=10,求S△ABC.

圖10

圖11

解如圖11,在DC上截取DQ=BM,連接AQ,因為四邊形ABCD正方形所以AB=AD,∠ABM=∠ADQ,所以△ABM△ADQ,所以S△ABM=S△ADQ,AM=AQ.設∠BAM= ∠DAQ=x,∠BAN=y,則x+y=45°,所以∠QAN=90°?(∠BAN+∠DAQ)=90°?(x+y)=45°,所以 ∠MAN= ∠QAN. 又因為AN=AN,所以△AMN△AQN,所以S△ANM=S△ANQ,所以S△AMN+S△ABM=S△ADN.

圖12

圖13

分析從第一問到第二問,從完整到殘缺,第一問存在一個正方形,而第二問只有一個三角形,根據變式生成方法的模式,保持第一問的相似結構和方法,以AD為邊,構造一個正方形試一試.