尋求并創(chuàng)造基本圖形的解題思路

湖北省襄陽市田家炳中學(xué)(441004) 康士瑞

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系,利用直觀來進(jìn)行思考”.“幾何教學(xué)從某種意義上講,就是教會學(xué)生認(rèn)識基本圖形的性質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生用基本圖形去分析問題和解決問題,提高學(xué)生邏輯思維和邏輯推理能力”.這明確地要求數(shù)學(xué)教師在平時的教學(xué)中注重對基本圖形的教學(xué),建立基本圖形的知識體系,有意識地引導(dǎo)學(xué)生用基本圖形來解題,形成尋求并創(chuàng)造基本圖形的解題思路,促進(jìn)學(xué)生幾何思維能力和解題經(jīng)驗的發(fā)展.下面談?wù)勎业淖鞣?/p>

一、建立基本圖形知識體系,提高識圖能力

圖1

我們知道,每一個幾何概念、定理都對應(yīng)著一個基本圖形,它是概念、定理的載體,于是就建立了幾何概念、定理與基本圖形的一個對應(yīng)關(guān)系:由概念、定理聯(lián)想基本圖形,也可以由基本圖形聯(lián)想概念、定理.如三角形外角的基本圖形如圖1,看到基本圖形1就想到∠1是△ABC的外角及∠1=∠A+∠B;由三角形外角就聯(lián)想到基本圖形1和它的性質(zhì)∠1=∠A+∠B,如此基本圖形的圖形語言與概念、定理的文字語言以及符號語言三向關(guān)聯(lián),養(yǎng)成三種語言同步思維的習(xí)慣,實現(xiàn)直觀與抽象的有機(jī)轉(zhuǎn)換.在平時教學(xué)中單獨(dú)講一個概念或定理及它對應(yīng)的基本圖形,學(xué)生很容易理解,對稍復(fù)雜的圖形有些學(xué)生就看不出基本圖形,更別想用它的性質(zhì)來解題了,所以教學(xué)時通過變式,訓(xùn)練學(xué)生在千變?nèi)f狀的圖形中尋找基本圖形,將主陣地遷移到基本圖形中,尋求問題的本質(zhì),通過觀察、思考、操作等數(shù)學(xué)活動練就一雙慧眼,提高識圖能力.如教學(xué)內(nèi)錯角定義時,先讓學(xué)生讀書中描述性的定義,看圖形進(jìn)行理解,再與同學(xué)交流;教師根據(jù)學(xué)生理解的程度在黑板上畫出基本圖形(如圖2),指出內(nèi)錯角的位置是在兩直線內(nèi)部第三條直線兩側(cè),然后變式:指出圖3中的∠1、∠2是否為內(nèi)錯角,

圖2

圖3

再提煉內(nèi)錯角基本圖形的結(jié)構(gòu)特征:呈“Z”字形(如圖4),最后在圖5中找出內(nèi)錯角.

圖4

圖5

運(yùn)用“基本”、“變式”、“復(fù)合”三種圖形相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué),揭示了概念的本質(zhì)屬性,提高了學(xué)生感知基本圖形和分析基本圖形的能力,發(fā)展了學(xué)生直覺思維能力,有利于學(xué)生在解題中去發(fā)現(xiàn)真正起決定作用的圖形,從而提高解題效率.

在單元知識教學(xué)中用基本圖形及相應(yīng)的符號語言,將零散的知識以“串”的形式組織起來,形成基本圖形體系,便于學(xué)生直觀形象地理解知識的內(nèi)涵與聯(lián)系,可以說“一張基本圖形圖,勝似千言萬語”.

在中考復(fù)習(xí)尤其是第一輪復(fù)習(xí)階段,利用基本圖形(如等腰三角形、有特殊角的直角三角形、平行四邊形等),通過圖形變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等)進(jìn)行動態(tài)的圖形組合,建立各基本圖形之間的必然聯(lián)系,在形成模塊思想的同時,體會數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一.如在復(fù)習(xí)相似三角形時對斜交型基本圖形作如下變換:

圖6

圖7

通過平移、旋轉(zhuǎn)變換,將知識、方法、數(shù)學(xué)思想形成一個體系,讓學(xué)生不僅感到基本圖形將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容“舊貌換新顏”,而且以全新的視角發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系,把書本讀 ,真正認(rèn)識形變質(zhì)不變.設(shè)置習(xí)題應(yīng)“量不在多,典型就行;題不在難,有思想就靈”

二、尋找基本圖形,破解解題思路,形成解題能力

“類型是模式的骨架,范例是模式的血肉①”.如果將尋找并構(gòu)造基本圖形作為一種解題模式,將要呈現(xiàn)的就是范例,通過對范例的分析,使學(xué)生從中領(lǐng)悟到運(yùn)用基本圖形解決問題的一些方法和技巧,并將范例的解決過程化歸為將所給的圖形分解為或補(bǔ)充為基本圖形的過程,給學(xué)生找到一種解決問題的思路.

圖8

(1)以書中的概念、定理及其性質(zhì)的基本圖形為線索,構(gòu)建習(xí)題,使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用基本圖形解決一類問題的方法.如在學(xué)習(xí)“直角三角形中線性質(zhì)”后,出示例題:如圖8,已知△ABC中,BE、CF是高,M、N分別為BC、EF的中點(diǎn),求證:MN⊥EF.

當(dāng)學(xué)生思考出現(xiàn)停滯時,可提示:由已知BE是高,圖中有什么基本圖形?它有什么性質(zhì)?點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)又想到什么基本圖形?它的性質(zhì)又是什么?經(jīng)提醒學(xué)生馬上想到BE是高,有Rt△BEC和Rt△ABE,點(diǎn)M是中點(diǎn),BC是斜邊,聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線這一知識點(diǎn),于是,連接ME,有同理,連接MF,則所以FM=EM,得到等腰△EFM,在等腰三角形這個基本圖形中,聯(lián)想三線合一的性質(zhì):N是EF的中點(diǎn),所以MN是高線,即MN⊥EF.象這樣由題目的已知條件想相應(yīng)的基本圖形和它的性質(zhì),然后用基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理或計算,當(dāng)圖中的基本圖形殘缺時應(yīng)補(bǔ)全圖形,構(gòu)造完整的基本圖形進(jìn)行推理或計算,引領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)行有序地思考,減少過程中的旁逸,使解題思路產(chǎn)生在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),為尋找解題的突破口提供線索.這種解題方法,學(xué)生容易接受,也愿意參與到課堂教學(xué)中來,只有被學(xué)生理解的方法,使用時才會得心應(yīng)手.

圖9

圖10

(2)以例習(xí)題常見的圖形為基本圖形,利用它的性質(zhì)去解決其它題目,能抓住問題的本質(zhì),提高解題效率.書中有一些例習(xí)題中的圖形,雖不是概念、定理及推論的基本圖形,而是由基本圖形組合得到的,由于它們在解題中用的較多是研究復(fù)雜問題的基礎(chǔ),也相當(dāng)于基本圖形.如學(xué)完“三角形外角”后的例題:如圖11,線段AD、BC相交于點(diǎn)P,連接BC、AD,問:∠A+∠B與∠C+∠D相等?為什么?

圖11

圖12

圖13

一些同學(xué)發(fā)現(xiàn)這個圖形是由兩個三角形的基本圖形疊加而成,如圖12,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知:∠A+∠B+∠APB=180°;∠C+ ∠D+∠CPD=180°,由題目條件:線段AD、BC相交于點(diǎn)P,聯(lián)想它的基本圖形及性質(zhì):有兩對對頂角相等:∠APB= ∠CPD,∠APC= ∠BPD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.

另一些同學(xué)注意到這個圖形是由兩個三角形外角的基本圖形疊加而成,如圖13,∠BPD是△APB的一個外角,有∠BPD=∠A+∠B,∠BPD也是△CPD的一個外角,有 ∠BPD= ∠C+∠D,因為∠BPD= ∠BPD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.

像這種有一對對頂角的兩個三角形,我們稱它為”8字形”或”對頂三角形”,也可以作為基本圖形.直接用它的結(jié)論:如果兩個三角形有一個角是對頂角,那么其它兩個角的和相等.在今后解幾何題時,若能從復(fù)雜的圖形中找出對頂三角形并用它的結(jié)論求解,往往事半功倍.請同學(xué)們試一試下面兩組題

1、如圖 14,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠1= ∠2,求:∠AFC的度數(shù)

圖14

圖15

2、已知:如圖16,AD與BC相交于P,AF為∠BAD的平分線,CF為∠BCD的平分線.探求:∠F與∠B、∠D之間的關(guān)系?

圖16

圖17

圖18

練習(xí)1是我們經(jīng)常會遇到的求兩條線段所在直線的夾角,這類問題對相當(dāng)一部分學(xué)生有難度,但當(dāng)有些同學(xué)說出∠1、∠2、∠ABC和∠AFC,都在8字形圖(如圖15)中時他們認(rèn)識到尋找基本圖形是解題的首選,獲得的解題經(jīng)驗是:找出“隱”在復(fù)雜圖形中的基本圖形就架起了已知條件和結(jié)論之間聯(lián)系的橋梁,快速凸顯解題突破口,促進(jìn)有效地解題.練習(xí)2要找的∠F、∠B、∠D三個角好象沒有關(guān)聯(lián),又沒有代換的條件,兩條角平分線也發(fā)揮不了作用,所以對初學(xué)者來說難度較大.基本圖形又如草里珠令人視而不見,經(jīng)過一番腦風(fēng)暴后學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中有三個8字形,篩選出與∠F有關(guān)的如圖17、如圖18,問題得解:∠BAF+∠B=∠F+∠BCF,∠D+∠FCD=∠F+∠FAD,兩式相加:∠B+∠D=2∠F.

這種設(shè)計是強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用基本圖形的意識,促使并提醒學(xué)生在解題過程中要不斷控制和調(diào)整自己的思路,堅定地沿著尋找基本圖形的方向展開和延伸.最后給出思考練習(xí)

3、如圖19,求:∠A+∠B+∠C+∠D,+∠E的度數(shù).

4、如圖20,求:∠A+∠B+∠C+∠D,+∠E的度數(shù).

圖19

圖20

本組練習(xí)省略了8字形基本圖形的關(guān)鍵部分,模糊了基本圖形的輪廓.但是學(xué)生只要能抓住該基本圖形的特征,通過添加輔助線CD,讓基本圖形顯現(xiàn)出來,再利用三角形內(nèi)角和定理,順利解決問題.

設(shè)計這兩組題是讓學(xué)生在新的情境中不斷體驗用基本圖形解題的明快,明確解題流程,形成自己的解題經(jīng)驗,使學(xué)生的思維能力在不知不覺中得到提升、發(fā)展與鞏固.

典型基本圖形廣泛存在于各種不同的背景之下,根據(jù)不同的背景,以基本圖形為線索構(gòu)建習(xí)題鏈接,展示和體現(xiàn)“運(yùn)用已積累的知識和經(jīng)驗解決問題”這一策略.僅以全等三角形中的一例來說明8字形基本圖的運(yùn)用.

5、如圖21,點(diǎn)A在DE上,點(diǎn)F在AB上,AC=CE,∠1=∠2=∠3.找出圖中與DE相等的線段.

圖21

圖22

此題很容易將∠2= ∠3轉(zhuǎn)化為∠ACB= ∠DCE,但∠1= ∠2如何應(yīng)用是一個難點(diǎn),有部分學(xué)生會放棄,如能發(fā)現(xiàn)8字形圖,如圖22,則有∠B= ∠D.從而△ABC△CDE(AAS),所以DE=BC.

在平時課堂教學(xué)中通過“滾雪球”的方式對每一個基本圖形進(jìn)行“學(xué)習(xí)基本圖形-初步運(yùn)用基本圖形-反復(fù)運(yùn)用基本圖形”來解題,使基本圖形和它的運(yùn)用反復(fù)在學(xué)生頭腦中呈現(xiàn),形成用基本圖形解題的策略與意識,實現(xiàn)知識的生成和模塊的突破.可將復(fù)雜問題簡單化、方向化,提高思維的深刻性、靈活性.

(3)由實際生活中產(chǎn)生,經(jīng)常在習(xí)題、考題中出現(xiàn)的圖形,提煉為基本圖形,如“將軍飲馬問題”,實質(zhì)是利用軸對稱將“線段和最短”問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短,因此只要符合一條直線同側(cè)有兩個點(diǎn)求線段和最小,都可以用這個知識點(diǎn)來思考,實際也是一種模型化的思考方式.如2010年淮安中考試題:(1)觀察發(fā)現(xiàn):如圖23,點(diǎn)A、B在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P使AP+BP的值最小.再如圖24,在等邊△ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P使AP+PE的值最小.(2)實踐運(yùn)用:如圖25,已知⊙O直徑CD為4,弧AD的度數(shù)是60°,點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn),在直徑CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小并求這個最小值.(3)拓展延伸:如圖26,在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P,使∠APB=∠APD.

圖23

圖24

圖25

圖26

本考題先再現(xiàn)了課本的原形,又拓展到等邊三角形、圓、四邊形,旨在考察學(xué)生提取基本圖形,建立基本圖形解決實際問題的能力.同時也指出在平時教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷基本圖形的觀察、構(gòu)造、變形,在不同的環(huán)境里不斷地讓學(xué)生體味方法的重要,體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想方法和思維方式,有助于積累、綜合運(yùn)用基本圖形解決問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,發(fā)展思維能力和創(chuàng)新意思.

三、運(yùn)用基本圖形破解中考壓軸題,體會用基本圖形解題的優(yōu)越性

圖27

基本圖形具有廣闊的拓展空間,在歷年的中考試題中根植于基本圖形的試題屢見不鮮,題型囊括了選擇、填空和解答題,它們像將軍一樣靜靜地守衛(wèi)在把關(guān)題的崗位上,肩負(fù)著為高一級學(xué)校選拔優(yōu)秀人才的使命.如2014年廣州中考第25題:如圖 27,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,點(diǎn)E為線段CD上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),△BCE關(guān)于BE的軸對稱圖形為△BEF,連接CF,設(shè)CE=x,△BCF的面積為S1,△CEF的面積為S2.

(1)當(dāng)點(diǎn)F落在梯形ABCD的中位線上時,求x的值;

(2)試用x表示S2:S1,并寫出x的取值范圍;

(3)當(dāng)△BEF的外接圓與AD相切時,求S2:S1的值.

本題題設(shè)有兩個基本圖形一是直角梯形可由已知求面積,另一個是軸對稱圖形:有兩個全等的直角三角形,Rt△EBCRt△EFB;在這兩個基本圖形中又隱含了多個其它基本圖形,一旦發(fā)現(xiàn)就可以實現(xiàn)基本圖形間的整合和轉(zhuǎn)化.有等腰三角形△EFC與△BFC:EF=EC=x,BF=BC=4,有角平分線:BE是∠FEC和∠FBC的平分線,也有線段的垂直平分線:BE是FC的中垂線,MN是BC的中垂線.設(shè)FC與BE相交于G,有S△EFG=S△EGC,S△FGB=S△GBC這兩個基本圖形疊加整合出母子三角形的基本圖形,Rt△EGC∽Rt△GBC∽Rt△ECB,審題至此第二問S2:S1=x2;16,已經(jīng)完成.

第1和3兩問則要另行畫圖,通過折紙操作畫出圖28、29.

圖28

圖29

第1問,方法1:因MN是直角梯形中位線得到MN是BC的中垂線,有FC=FB,所以BF=FC=BC=4,得到△FBC是等邊三角形這一基本圖形,由BE是∠FBC的平分線知∠EBC=30°,在Rt△EBC中求出x的值,從這種行云流水般的分析可知找出MN是BC的中垂線是解題的關(guān)鍵,也是思維的切入點(diǎn).

方法2:由折疊知EB平分∠CEF,由MN是梯形ABCD的中位線知AB//MN//CD,聯(lián)想“角平分線+平行線必有等腰三角形”這一基本圖形,有CE=EF=FH=x,進(jìn)而HN是△ECB的中位線,再由直角梯形ABCD中,MN是中位線,MN⊥BC,在Rt△FBN中,由勾股定理得一元二次方程,解方程求出x的值.

圖30

第 3問,因△BEF是直角三角形,斜邊BE的中點(diǎn)O就是外切圓的圓心,BE是直徑,點(diǎn)C在 圓 上,在 Rt△BEC中,點(diǎn)O也在梯形的中位線MN上,得ON是△BEC的中位線,AD是⊙O的切線,OF⊥AD,因為MN//CD,所以∠D= ∠OMF,過A作AP⊥CD,得到相似三角形基本圖形的變式圖形所以AP:AD=OF:OM,由于OF=OE,得到關(guān)于x的一元二次方程,求出x,問題得解.

上述分析完全是學(xué)生庖丁解牛般的思維發(fā)散,重現(xiàn)平時學(xué)習(xí)熟悉的一個個核心基本圖形,在較短時間內(nèi)抓住問題的本質(zhì),既防止無關(guān)信息的負(fù)面干擾,又以“塊到塊”的思維模式代替“點(diǎn)到點(diǎn)”的思維模式,從方法論的高度提高思維的敏捷性,開闊了解壓軸題的思維,豐富了學(xué)生解壓軸題的創(chuàng)造力,做到“胸有成圖”其樂無窮.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》、中考試題都引領(lǐng)我們平時的教學(xué),一方面重視基本圖形的教學(xué),讓基本圖形的尋找與運(yùn)用成為發(fā)展學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識的沃土;另一方面體現(xiàn)教育新理念,通過教師精心設(shè)計和組織以基本圖形為鏈接的習(xí)題,激發(fā)學(xué)生的思考,挖掘?qū)W生的潛能,讓學(xué)生充分認(rèn)識到積累、運(yùn)用基本圖形蘊(yùn)藏著無盡的寶藏,從而重視基本圖形,向基本圖形“問道”,從基本圖形“借力”,探尋解題規(guī)律、創(chuàng)新解題方法、優(yōu)化解題策略,建立知識體系,體驗數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一等好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,使學(xué)生具有良好的思維品質(zhì)與素養(yǎng).如此,創(chuàng)造性思維品質(zhì)的形成就成為水到渠成的自然之勢和瓜熟蒂落的必然之果.