一個教材習題的背景探究

廣東省廣州市南海中學(510160) 陳煥文

廣東省順德區(qū)杏壇中學(528325) 陳美茹

《課程標準》指出:不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數(shù)量關系,是數(shù)學研究的重要內容.建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的.

作為代數(shù)主干知識的不等式,在歷年的新課標高考題中都對其進行重點考察,內容涉及線性規(guī)劃、解不等式和證明不等式等.

下面,我們以必修5《3.1不等關系與不等式》的習題A組題3為例,研究不等式的相關問題.

一、原題展示

已知x＞0,求證:

二、解題方法

必修5《3.1不等關系與不等式》中首先介紹了比較實數(shù)大小的基本事實:a?b＞0?a＞b;a?b=0?a=b;a?b＜0?a＜b.很容易想到用作差比較法來證明.

解法1(作差比較法)因為x＞0,所以所以所以

此外,不難得到以下解法:

解法2(分析法:選修2-2 2.2)要證:只要證:只要證:因為x＞0,所以顯然成立.所以成立.

解法3(基本不等式:必修5 3.4)因為x＞0,所以即原不等式得證.

圖1

解法4不等式的幾何意義(也可看成是幾何證明):如圖1,在直角△ABC中,AD,AE分別是斜邊BC上的高和中線,設DC=1,BD=1+x(x＞0),則由AD＜AE即可得到.

三、拓展與背景

略證設f(x)=(1+x)α?(1+αx),x＞?1,則f′(x)=α[(1+x)α?1?1],易得f′(0)=0,因為 0＜α＜1,所以當x＞0時,f′(x)＜0;當x＜0時,f′(x)＞0.所以當x＞?1時,f(x)≤f(x)max=f(0)=0,即(1+x)α≤1+αx對于x＞?1成立.

那么當α＞1時,不等式(1+x)α≤1+αx仍成立嗎?我們采用從特殊到一般的思路來進行研究,比如α=2,α=3不難發(fā)現(xiàn):(1+x)2=1+2x+x2≥1+2x;(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)≥1+3x.于是猜想:當α＞1時,(1+x)α≥1+αx對于x＞?1成立.其證明可以完全類似上述證明過程:

設f(x)=(1+x)α?(1+αx),x＞?1,則f′(x)=α[(1+x)α?1?1],易得f′(0)=0,因為α＞1,所以當x＞0時,f′(x)＞0;當x＜0時,f′(x)＜0.所以當x＞?1時,f(x)≥f(x)min=f(0)=0,即 (1+x)α≥ 1+αx對于x＞?1成立.

我們還可以進一步思考α＜0,情況會怎樣?事實上,此時(1+x)α≥1+αx對于x＞?1成立,證法類似.

綜上所述,我們會得到下面的結論:

定理1當0＜α＜1時,(1+x)α≤1+αx對于x＞?1成立;

定理2當α＞1或α＜0時,(1+x)α≥1+αx對于x＞?1成立.

上述結論就是著名的伯努利(Bernouli)不等式,而課本的這個習題就是Bernouli不等式的一種特例.從上述證明可以看出,該不等式是一個很基本的不等式,只要學習了函數(shù)與導數(shù)知識就可以證明(上述證明方法源自選修2-2習題1.3 B組題1).

Bernouli不等式的幾何解釋

記f(x)=(1+x)α,g(x)=1+αx,則直線g(x)=1+αx是曲線f(x)在點(0,1)處的切線,所以(1+x)α與1+αx的大小比較也就是看兩個圖像位置的“高矮”問題.借助幾何畫板我們可以得到三種情形的圖像:

由圖可知:當0＜α＜1時,切線g(x)=1+αx都在曲線f(x)上方(除切點外);當α＞1或α＜0時,切線g(x)=1+αx都在曲線f(x)下方(除切點外).

在定理2中取α=n,n∈N?,得到

推論1當n∈N?時,(1+x)n≥1+nx對于x＞?1成立.

對于推論1中的不等式(1+x)n≥1+nx,我們還可以再推廣:

定理 3(1+x1)(1+x2)···(1+xn) ≥ 1+x1+x2+

···+xn,其中x1,x2,···,xn同號,且xi＞?1.

在定理1,2中令1+x=t,得到:

推論2當0＜α＜1時,tα≤1+α(t?1)對于t＞0成立;

推論3當α＞1或α＜0時,tα≥1+α(t?1)對于t＞0成立.

四、Bernouli不等式的應用

作為一個基本的不等式,Bernouli不等式在大學數(shù)學中扮演了重要角色,如求重要極限e,證明幾何-算術平均值不等式:其中x,x,···,x為非負數(shù).而《考12n試大綱》指出:(高考)考查考生對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質的理解水平,以及進入高等學校繼續(xù)學習的潛能.基于以上兩點,不少的高考題和模擬題都以Bernouli不等式為背景:或是直接應用Bernouli不等式,或是研究Bernouli不等式,以此考查學生的數(shù)學思維能力和繼續(xù)學習的潛能.下面,選取三個考題進行評析!

例1(2007湖北理科21題)已知m,n∈N+

(1)用數(shù)學歸納法證明:當x＞?1時,(1+x)n≥1+nx;

(2)對于n≥6,已知求證:

(3)求出滿足等式3n+4n+···+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

評析例1是以推論1為背景,研究特殊情形的Bernouli不等式.例1的(2)則是直接應用推論1的結論:當n≥ 6,m≤n時,由(I)得于是

例2(2006江西理科 22題)已知數(shù)列{an}滿足:

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2) 證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1·a2·····an＜2·n!成立.

評析本題這也是Bernouli的一種情形,其證明可以參照湖北高考題,運用數(shù)學歸納法證明.定理3就是這道高考題的背景,第(2)問直接應用定理3即可“秒殺”.在 (1)中求得所以要證轉化成證明由定理3得到:

例3(2012湖北理科22題)(1)已知函數(shù)f(x)=rx?xr+(1?r)(x＞0),其中r為有理數(shù),且0＜r＜1.求f(x)的最小值;

(2)試用(1)的結果證明如下命題:設a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則ab11ab22≤a1b1+a2b2;

(3)請將(2)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題.注:當α為正有理數(shù)時,有求導公式(xα)′=αxα?1.

評析第(1)問以推論2為背景,第(2)問要用到(1)的結果(即使推論2):若a1=0或a2=0,不等式顯然成立,若a1＞0,a＞0,在tα≤1+α(t?1)中令得:所以即

例4(2014安微卷理科21題)設實數(shù)c＞0,整數(shù)p＞1,n∈N?.

(1)證明:當x＞?1且x≠0時,(1+x)p＞1+px;

(2)數(shù)列{an}滿足證明:

評析第(1)問是選修4-5教材上的例題,證明貝努利Bernouli不等式,教材中給出的是數(shù)學歸納法證明(略).第二問則是應用貝努利不等式結論解決數(shù)列問題,體現(xiàn)了高考命題植根于教材又高于教材的特點.

五、反思與小結

波利亞說過:“一個有意義題目的求解,為解此題所花的努力和由此得到的結論和見解,可以打開通向一門新的學科,甚至通向一個科學新紀元的門戶.”學數(shù)學離不開解題,但不能僅僅就題論題,課堂上老師可以努力創(chuàng)造一種“啟發(fā)、誘導、探究”的環(huán)境,使學生身臨其境地經(jīng)歷數(shù)學再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程,使我們的數(shù)學課堂從以解題訓練為主轉向以思維訓練為主.

東晉詩人陶淵明在《桃花源記》寫到:“林盡水源,便得一山,山有小口,仿佛若有光.便舍船,從口入.初極狹,才通人.復行數(shù)十步,豁然開朗.”數(shù)學的美與文學的美是相通的,一道簡單的習題背后同樣別有洞天!我們何妨去做陶公筆下的那個“漁夫”呢!