中考幾何壓軸題突破技巧之分層遞進(jìn)提取基本圖形*

廣東省廣州市番禺區(qū)沙灣鎮(zhèn)象達(dá)中學(xué)(511483) 蔣鼎年 張順和 林翠娟

在數(shù)學(xué)中考試題中,中考幾何壓軸題是最能體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的題型、是最有區(qū)分度的題型、是最難得分的題型,突破中考幾何壓軸題是成績(jī)高分的關(guān)鍵.幾何壓軸題的基本特點(diǎn)是圖形因多層組合而顯得復(fù)雜,已知條件因相對(duì)分散而難于找到突破口,求解的問(wèn)題因相對(duì)隱性而無(wú)法找到思考方向.通過(guò)分層遞進(jìn),提取基本圖形,可以有效化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,化陌生為熟悉,從而有效突破中考幾何壓軸題.如何發(fā)現(xiàn)并成功提取我們熟悉的基本題型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,首先可以通過(guò)觀(guān)察圖形組合結(jié)構(gòu)而發(fā)現(xiàn)并提取其組合的基本圖形,其次可以通過(guò)已知條件去推理并確定基本圖形,再次還可以通過(guò)求解問(wèn)題的逆向推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)需要的基本圖形.這樣,便能在復(fù)雜繁瑣的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)并提取出我們常見(jiàn)的、常用的、熟悉的基本圖形,這是解決中考幾何壓軸題的常用的有效技巧.本文以2010年廣州市數(shù)學(xué)中考第24題為例,談?wù)劰P者在教學(xué)中探究該類(lèi)型題目的心得體會(huì).

一、題目呈現(xiàn)

圖1

(2010廣東廣州,24,14分)如圖1,⊙O的半徑為1,點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn),弦AB垂直平分線(xiàn)段OP,點(diǎn)D是弧APB上任一點(diǎn)(與端點(diǎn)A、B不重合),DE⊥AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D,分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線(xiàn),兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)C.[1]

(1)求弦AB的長(zhǎng);

(2)判斷∠ACB是否為定值,若是,求出∠ACB的大小;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)記△ABC的面積為S,若求△ABC的周長(zhǎng).

二、題目特點(diǎn)分析

本題的已知圖形是以垂徑定理基本圖形為背景,在此圓弧上的動(dòng)點(diǎn)D帶動(dòng)垂線(xiàn)段DE變化,從而引起⊙D變化,再導(dǎo)致⊙D的外切△ABC不斷變化.可以說(shuō)圖形復(fù)雜,變幻莫測(cè).

(一)圖形因多層組合而顯得復(fù)雜

從已知圖形直接觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn),已知圖形包含了垂徑定理基本圖形、切線(xiàn)長(zhǎng)基本圖形、內(nèi)切圓圖形、三角形等;另外,圖形還隱藏著勾股定理、圓內(nèi)接四邊形等基本圖形.圖形因?yàn)橛啥鄬踊緢D形組合而成而顯得復(fù)雜,讓學(xué)生感到困難,無(wú)從下手.

(二)已知條件因相對(duì)分散而難于找到突破口

首先,已知條件①“點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn),弦AB垂直平分線(xiàn)段OP”,有近60%學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這條件得出OP垂直AB,從而可以使用垂徑定理;其次,已知條件②“點(diǎn)D是弧APB上任一點(diǎn)(與端點(diǎn)A、B不重合),DE⊥AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D,分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線(xiàn),兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)C”,有近86%的學(xué)生不知道變面上看似分散的兩個(gè)已知條件①和②,其實(shí)是緊密相關(guān)的,其中必須利用已知條件①充當(dāng)基石才能有效利用已知條件②去解決問(wèn)題:從條件①可以推導(dǎo)出∠AOB的度數(shù),從而推導(dǎo)出∠ADB的度數(shù),為后面的問(wèn)題求解找到突破口.

(三)求解的問(wèn)題因相對(duì)隱性而無(wú)法找到思考方向

如問(wèn)題(3)“記△ABC的面積為S,若求△ABC的周長(zhǎng)”有近94%學(xué)生不知道已知的三角形面積跟周長(zhǎng)存在什么關(guān)系,如何將兩組聯(lián)系在一起解決問(wèn)題.求解的問(wèn)題因相對(duì)隱性而無(wú)法找到思考方向,根本無(wú)從下手.

針對(duì)此類(lèi)復(fù)雜題型,我們有特殊的高效應(yīng)對(duì)方法.

三、題目突破技巧之方法建議

中考幾何壓軸題因?yàn)槠鹬M(jìn)一步區(qū)分尖子生的作用,所以其圖形設(shè)計(jì)必須綜合性大、知識(shí)面廣、各知識(shí)點(diǎn)一定要循序漸進(jìn)加深并且能環(huán)環(huán)相扣推導(dǎo),故而其復(fù)雜圖形一定隱藏著多個(gè)基本圖形,而這些基本圖形就是我們突破這類(lèi)難題的“鑰匙”,如何快速找到并且找對(duì)“鑰匙”呢?

(一)通過(guò)觀(guān)察圖形組合結(jié)構(gòu)而發(fā)現(xiàn)并提取其中組合的基本圖形

原圖

圖2

圖3

從原圖觀(guān)察容易發(fā)現(xiàn)基本圖形:圖2和圖3,分別對(duì)應(yīng)著垂徑定理和三角形內(nèi)切圓.其中圖4還需要進(jìn)一步添加輔助線(xiàn)能得出我們熟悉的基本圖形圖5(圓的內(nèi)接四邊形).

圖4

圖5

圖6

(二)通過(guò)已知條件去推理并確定基本圖形

已知條件“弦AB垂直平分線(xiàn)段OP”能夠推理出OP垂直平分弦AB,能知道原圖形中必定包含有垂徑定理的基本圖形(圖2);已知條件“以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D,分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線(xiàn),兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)C”中,隱藏著與圓相切的三條切線(xiàn),并且兩兩相交,能知道原圖形中必定包含有三角形內(nèi)切圓的基本圖形(圖3)

(三)通過(guò)求解問(wèn)題的逆向推導(dǎo)確定需要的基本圖形

求解問(wèn)題(2)“判斷∠ACB是否為定值,若是,求出∠ACB的大小;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由”中,通過(guò)逆向分析推導(dǎo),可以發(fā)現(xiàn)若需要判定∠ACB度數(shù),需要先求出∠CAB與∠CBA的度數(shù)和,需要知道上者則需要先求出∠ADB的度數(shù),從而可以發(fā)現(xiàn)其中隱藏的基本圖形(圖6).解決圖6需要以圖5為基石,圖5由圖4添加輔助線(xiàn)所得,整道題只能靠圖2能推導(dǎo)出含具體度數(shù)的角,從而通過(guò)逆向推導(dǎo)將基本圖形:圖2,圖4,圖5和圖6串聯(lián)在一起,環(huán)環(huán)相扣,逐步加深.

求解問(wèn)題(3)“記△ABC的面積為S,若求△ABC的周長(zhǎng)”中,知道△ABC的面積求其周長(zhǎng),說(shuō)明△ABC的面積必定跟周長(zhǎng)存在著特定的關(guān)系,結(jié)合基本圖形3,容易發(fā)現(xiàn)是考查三角形內(nèi)切圓中的面積S與周長(zhǎng)l的關(guān)系:

針對(duì)中考幾何壓軸題圖形因多層組合而顯得復(fù)雜,已知條件因相對(duì)分散而難于找到突破口,求解的問(wèn)題因相對(duì)隱性而無(wú)法找到思考方向的基本特點(diǎn),首先可以通過(guò)觀(guān)察圖形組合結(jié)構(gòu)而發(fā)現(xiàn)并提取其組合的基本圖形,其次可以通過(guò)已知條件去推理并確定基本圖形,再次還可以通過(guò)求解問(wèn)題的逆向推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)需要的基本圖形.實(shí)驗(yàn)顯示,通過(guò)分層遞進(jìn),提取基本圖形,此題得分率從2.88分提高到5.64分,提高率95.8%,效果明顯.

四、教學(xué)建議

提取并利用好基本圖形對(duì)解決幾何壓軸題有較大效果.那么在平時(shí)的教學(xué)上我們老師應(yīng)該注意些什么才能更有利于學(xué)生掌握并利用好基本圖形呢?

(一)重視考綱,回歸教材,給提取基本圖形“把源”

考綱是中考命題的指揮棒,教材是中考試題命制的基石,即使幾何壓軸題難度大,但其考點(diǎn)都必須是符合考綱要求且源自于教材,所以平時(shí)教學(xué)要重視考綱并回歸教材,特別要從教材源頭上把好提取基本圖形的意識(shí).上述2010年廣州市中考24題就是由人教版九年級(jí)上教材(2003版)中的題目改編而成,其中第(1)問(wèn)是源自于教材P111頁(yè)例1;第(2)問(wèn)是源自于教材P88頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第10題和P98頁(yè)練習(xí)題1綜合而成;第(3)問(wèn)是源自于教材P98頁(yè)練習(xí)題2.教材原題展示:

教材P111頁(yè)例1:如圖7.水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m,其中水面高0.3m.求潔面上有水部分面積(精確到0.01m2).[2]

教材P88頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第10題:如圖8,A,B是⊙O上的兩點(diǎn),∠AOB=120°,C是弧AB的中點(diǎn),求證四邊形OACB是菱形.[3]

教材P98頁(yè)練習(xí)題1:如圖9,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,點(diǎn)O是內(nèi)心,求∠BOC的度數(shù).[4]

教材P98頁(yè)練習(xí)題2:△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,△ABC的周長(zhǎng)為l,求△ABC的面積.(提示:設(shè)內(nèi)心為O,連接OA、OB、OC)[4]

圖7

圖8

圖9

當(dāng)中涉及到的基本圖形都是教材已有定理或能用這些定理推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論,教材是基本圖形的“家”,在平時(shí)的教學(xué)中,需要引導(dǎo)學(xué)生善于在教材上發(fā)現(xiàn)基本圖形,很多重要的基本圖形會(huì)在例題或習(xí)題中重復(fù)出現(xiàn),若能引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地關(guān)注基本圖形,如此重復(fù)呈現(xiàn)將進(jìn)一步鞏固基本圖形在學(xué)生腦海中的印象,提高做習(xí)題時(shí)及時(shí)發(fā)現(xiàn)基本圖形的效率.

(二)重視邏輯推理及逆向分析能力的培養(yǎng),給提取基本圖形“提質(zhì)”

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,數(shù)學(xué)知識(shí)之間是環(huán)環(huán)相扣,可以相互推導(dǎo).邏輯推理及逆向分析是數(shù)學(xué)中最重要的核心思想之一,也是衡量一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的重要指標(biāo).[5]中考幾何壓軸題更是需要邏輯推理及逆向分析,才能更快更準(zhǔn)地提取出基本圖形,讓我們找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方向.教師在教學(xué)生應(yīng)注意三點(diǎn).

1、重視定理理解,關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究、發(fā)現(xiàn)及歸納的過(guò)程

數(shù)學(xué)注重理解,而對(duì)知識(shí)的深刻理解需要學(xué)生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)及歸納提取的過(guò)程.定理是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的依據(jù),是邏輯推理的基礎(chǔ),而通過(guò)教師適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生高度參與的小組合作探究模式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理較有效的模式.只有對(duì)定理理解透徹,才能通過(guò)邏輯推理,分析出解題的方向.

2、重視從幾何定理提取基本圖形的演繹,關(guān)注幾何定理與對(duì)應(yīng)基本圖形的相互變換

圖10

每一個(gè)幾何定理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形,能夠僅通過(guò)定理就描繪出基本圖形,也要能夠根據(jù)基本圖形描述出幾何定理.例如,看到“垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”就能馬上想到圖10,而看到圖10就能馬上描述出“垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”.

3、重視作業(yè)設(shè)置,關(guān)注從一般到特殊以及從特殊到一般的過(guò)程

作業(yè)應(yīng)避免題海戰(zhàn)術(shù),設(shè)置作業(yè)的目的應(yīng)該是讓學(xué)生經(jīng)歷鞏固知識(shí)、總歸規(guī)律、反思?xì)w納的過(guò)程.作業(yè)以基本圖形為基礎(chǔ),適度拓展延伸,讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊以及從特殊到一般的過(guò)程、讓學(xué)生感受一題多解和多題歸一的美妙.可以通過(guò)題目變式,多角度展示問(wèn)題設(shè)置,多維度展示思考問(wèn)題的方向,而這一切都是相關(guān)的,都能夠通過(guò)邏輯推理及逆向分析找到彼此.

(三)重視通性通法教學(xué),給提取基本圖形“增效”

通性通法是具有某些規(guī)律性和普遍性意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)基本方法.[6]縱觀(guān)近幾年中考試題,注重通性通法,淡化特殊技巧亦中考幾何壓軸題的基本特點(diǎn).在今后教學(xué)中,應(yīng)該注意對(duì)通性通法的歸納提升,重視在通性通法中提取基本圖形.

在教學(xué)上,重視考綱及教材,給基本圖形“把源”;重視邏輯推理及逆向分析能力的培養(yǎng),給提取基本圖形“提質(zhì)”;重視通性通法教學(xué),給提取基本圖形“增效”.在解題上,通過(guò)觀(guān)察圖形組合結(jié)構(gòu)而發(fā)現(xiàn)并提取其中組合的基本圖形;通過(guò)已知條件去推理并確定基本圖形;通過(guò)求解問(wèn)題的逆向推導(dǎo)確定需要的基本圖形.如此,不但能讓學(xué)生更深刻理解基本圖形,更重要能讓學(xué)生及時(shí)推到發(fā)現(xiàn)并靈活運(yùn)用基本圖形,能較有效提高幾何壓軸題的得分率.