關(guān)于勾股數(shù)的思考與探索

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(215021) 楊亞楠

勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一,也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.在中國(guó),商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例.

像3、4、5這樣符合a2+b2=c2的正整數(shù)叫作勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù).勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù).筆者將以普林頓322為例來(lái)闡述勾股數(shù)的構(gòu)造方法及普林頓322勾股數(shù)的構(gòu)造方法.

問題背景:神秘的普林頓322

美國(guó)哥倫比亞大學(xué)普林斯頓收藏館收藏了一塊很古怪的泥板,這款泥板是在巴比倫挖掘出來(lái)的,編號(hào)322,考古學(xué)家相信這塊泥板是公元前18世紀(jì)的成品,泥板上有三列文字,沒有人能解釋,直至1945年,Neugebauer和Sachs經(jīng)過細(xì)心考究,發(fā)現(xiàn)泥板上是三列數(shù)字,你知道這些數(shù)字間的關(guān)系嗎?借助計(jì)算器進(jìn)行探索.

提出問題:如何構(gòu)造勾股數(shù)?

透過驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2,像這樣的三個(gè)正整數(shù),我們稱為勾股數(shù).我們常見的勾股數(shù)有3、4、5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9、40、41.如果a,b,c為一組勾股數(shù),則na,nb,nc也是一組勾股數(shù),其中n為自然數(shù).例如3,4,5是一組勾股數(shù),那么 6,8,10也是一組勾股數(shù)9,12,15也是一組勾股數(shù).而普林頓322里面出現(xiàn)的較大的勾股數(shù)除去是常見的勾股數(shù)的倍數(shù)外,其他一些數(shù)據(jù)是怎么得來(lái)的呢?到底存在多少組勾股數(shù)呢?

問題解決:探尋“勾股數(shù)”

構(gòu)造勾股數(shù),就要尋找3個(gè)正整數(shù),使它滿足“兩個(gè)數(shù)的平方和(或差)等于第三個(gè)數(shù)的平方”,既滿足以下形式:()2+()2=()2或()2?()2=()2.我們可以從乘法公式的變形入手.我們知道:(x+y)2?(x?y)2=4xy.

(1)我們令x=m2,y=n2,上式即可寫成:(m2+n2)2?(m2?n2)2=(2mn)2.于是,當(dāng)m、n為正整數(shù),且m＞n時(shí),m2?n2,2mn,m2+n2就是勾股數(shù).這就是著名的丟番圖構(gòu)造法!丟番圖法我們發(fā)現(xiàn),例如令m=2,n=1,得出一組勾股數(shù)為3,4,5;令m=3,n=2,得到一組勾股數(shù)5,12,13等.

(2)我們令x=n2,y=1,上式可以寫成:(n2+1)2?(n2?1)2=(2n)2.于是,當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),n2?1,2n,n2+1就是勾股數(shù).這就是著名的柏拉圖構(gòu)造法.柏拉圖法我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)造的勾股數(shù),有兩項(xiàng)相差2.至少一項(xiàng)為偶數(shù).即c=a+2,b=2n.例如3,4,5;6,8,10;8,15,17等.

(3)我們令x=n2+2n+1,y=n2,上式可以寫成:(n2+2n+1+n2)2?(n2+2n+1?n2)2=[2n(n+1)]2.于是,當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1為勾股數(shù).這就是著名的畢達(dá)哥拉斯構(gòu)造法.畢達(dá)哥拉斯法我們發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯構(gòu)造法所得的結(jié)果有一個(gè)特征,a是一個(gè)大于1的奇數(shù),b,c為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù),且有a2=b+c,則為一組勾股數(shù).例如3、4、5是一組勾股數(shù),且有32=4+5,5,12,13為一組勾股數(shù),52=12+13,7,24,25為一組勾股數(shù),72=24+25.

揭秘普林頓322

透過觀察“普林頓322”上面的每排3個(gè)數(shù)據(jù),我們發(fā)現(xiàn)后兩個(gè)數(shù)的和除以2再開方剛好得到一個(gè)正整數(shù)(除第11排:60、45、90),因此符合丟番圖構(gòu)造法.