高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合解題思想的整合運(yùn)用實(shí)踐

萬(wàn)濤

摘 要：高中數(shù)學(xué)作為高中教育中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，特別是圖像知識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)非常困難，甚至部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖像感到反感。為了降低數(shù)學(xué)圖像知識(shí)教學(xué)難度，采用數(shù)形結(jié)合方法有著重要意義，并優(yōu)化課堂教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這樣才能夠加強(qiáng)教學(xué)效率和質(zhì)量。重點(diǎn)探究高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合解題思想的整合運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題思想；整合運(yùn)用

由于高中數(shù)據(jù)具有極強(qiáng)的邏輯性和思維性，作為高中教育中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)往往會(huì)望而卻步，認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)非常困難。俗話說(shuō)“會(huì)了不難，難了不會(huì)”，這句話形容高中數(shù)學(xué)非常合適，只要學(xué)生能夠正確掌握高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，很多數(shù)學(xué)題自然迎刃而解。數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法是針對(duì)數(shù)學(xué)圖像的一種現(xiàn)代化教學(xué)模式，可以有效將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)圖像、將數(shù)學(xué)圖像轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這樣即可實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)物的結(jié)合，讓復(fù)雜的知識(shí)變得簡(jiǎn)單，使知識(shí)呈現(xiàn)方式更加靈活。

一、數(shù)轉(zhuǎn)形方法

數(shù)轉(zhuǎn)形也就是將代數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形形式，由于圖形知識(shí)更加形象、直觀，通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)形可以讓抽象的知識(shí)形象化。因此，在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，可以將一些抽象、復(fù)雜的代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形形態(tài)，從而提高學(xué)生的思維能力。

案例1：設(shè)方程x2-1=k+1，討論k取值不同時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)。

具體思路：該數(shù)學(xué)題就是一種開(kāi)放性較強(qiáng)的類(lèi)型題，我們可以將其劃分為兩個(gè)函數(shù)，也就是y1=x2-1，y2=k+1，并將這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行數(shù)轉(zhuǎn)形，從而對(duì)現(xiàn)有方程進(jìn)行求解。通過(guò)函數(shù)y2=k+1表示的和x軸平行的直線，因此圖象表現(xiàn)形式為：

通過(guò)該圖象可見(jiàn)，如果是k<-1的條件下，兩個(gè)函數(shù)圖象之間沒(méi)有產(chǎn)生交點(diǎn)，也就是這種條件下方程沒(méi)有解；如果是k=-1的條件下，兩個(gè)函數(shù)圖象會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，表示該方程有兩個(gè)解；當(dāng)k在（-1，0）之間的時(shí)候，兩個(gè)函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，也就是有四個(gè)解；在k>0的條件下，函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是有兩個(gè)解。

可見(jiàn)，在探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和方程求解過(guò)程中，采用數(shù)轉(zhuǎn)形的方法，能夠讓代數(shù)知識(shí)變得更加直觀，并且答案也顯而易見(jiàn)，從中激發(fā)學(xué)生的解題思路，加深理解深度。由此可見(jiàn)，代數(shù)和圖形知識(shí)相輔相成，通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)形不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，也能夠加強(qiáng)學(xué)生的觀察能力，對(duì)開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)思維有著重要意義。

二、形轉(zhuǎn)數(shù)方法

通過(guò)分析代數(shù)和圖形可知，二者都存在著一定缺陷問(wèn)題，這就需要充分利用各自的優(yōu)勢(shì)，并加強(qiáng)二者整合才能夠充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用。雖然圖形具有很強(qiáng)的直觀性，但也存在著誤導(dǎo)性，也就是缺乏數(shù)學(xué)的邏輯思維和計(jì)算機(jī)精準(zhǔn)性，在如果要得到更加精準(zhǔn)的答案時(shí)，必須要用代數(shù)的方法，圖形只能了解大概。因此可以通過(guò)靈活的形轉(zhuǎn)數(shù)的形式，將圖形內(nèi)容變化為代數(shù)形式。

例題2：設(shè)f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x在[-1，+∞）間取值的時(shí)候，f（x）>a恒成立，對(duì)a的取值范圍進(jìn)行求取。

解題思路：在解題過(guò)程中，由于x在[-1，+∞）間取值的時(shí)候，f（x）>a恒成立，得知x2-2ax+2-a>0在此范圍是恒成立的。所以，g（x）=x2-2ax+2-a在此范圍中處在x軸上方（如下圖）。保證不等式成立的條件包括兩點(diǎn)：一是，Δ=4a2-4（2-a）<0，求得a的取值范圍在（-2，1）之間；二是，Δ≥0，g（-1）>0，a<-1，求得a的取值范圍在（-3，1）之間。

通過(guò)上述案例中我們可以發(fā)現(xiàn)，通常情況下一些數(shù)學(xué)題無(wú)法直接利用圖形得到精準(zhǔn)數(shù)值，這就需要采用形轉(zhuǎn)數(shù)的方法，這樣就能獲得最終的精確答案。在應(yīng)用形轉(zhuǎn)數(shù)過(guò)程中，學(xué)生必須要能夠?qū)D形內(nèi)容進(jìn)行全面分析，不能遺漏任何的已知條件，這樣才能夠保證解題內(nèi)容的完整性，計(jì)算出最終答案。

三、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用原則

1.雙向性原則

數(shù)形結(jié)合解題思路必須要能夠從多個(gè)方向思考，這就需要貫徹雙向性原則，也就是對(duì)圖形進(jìn)行直觀分析，并對(duì)代數(shù)將進(jìn)行抽象分析。這也是數(shù)形結(jié)合的一大特點(diǎn)。由于代數(shù)語(yǔ)言更加精確，邏輯性更強(qiáng)，可以避免圖形給學(xué)生帶來(lái)的誤導(dǎo)，減少圖形在邏輯上的約束性，從而呈現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的積極作用。

2.等價(jià)轉(zhuǎn)換原則

等價(jià)轉(zhuǎn)換原則是指代數(shù)性質(zhì)和圖形性質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化，并且在轉(zhuǎn)化過(guò)程中二者是等價(jià)的，也就是以一個(gè)方面來(lái)呈現(xiàn)出另一個(gè)方面。由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)很多都會(huì)應(yīng)用幾何圖或函數(shù)圖，再加上數(shù)學(xué)題中存在著誤導(dǎo)性已知條件，因此，在實(shí)際解題中具有一定局限性和誤導(dǎo)性。在畫(huà)圖中難以掌握畫(huà)圖精度，影響最終的解題效果。因此，必須要保證數(shù)形結(jié)合的等價(jià)性。

總而言之，數(shù)學(xué)知識(shí)作為高中教育的重點(diǎn)與難點(diǎn)，想要提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，必須要?jiǎng)?chuàng)新傳統(tǒng)教學(xué)方法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法有著重要意義，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，擴(kuò)寬解題思路，這樣才能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，推動(dòng)學(xué)生全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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[2]范粵.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014（7）：233-234.

編輯 溫雪蓮