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    一道2017年高考試題的解法探析

    2018-07-24 10:28:50馮小明
    新課程·下旬 2018年4期
    關(guān)鍵詞:反例數(shù)形單調(diào)

    近年來(lái)許多省市的高考?jí)狠S題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的同時(shí),注重考查學(xué)生綜合能力,特別是對(duì)函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用.本文以2017年全國(guó)新課標(biāo)II卷文科壓軸題為例,探析利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的方法和策略,以期為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供參考.

    1.考題再現(xiàn)

    (2017年新課標(biāo)II·文21)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

    2.標(biāo)準(zhǔn)解法

    評(píng)注 標(biāo)準(zhǔn)答案采用分類(lèi)討論和舉反例的方法.先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而研究不等式恒成立,分三種情況討論:①a≥1;②0

    筆者通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的探析,結(jié)合學(xué)生的思維模式,給出了以下四種行之有效的解法.

    3.拓展解法

    解法1 分離參數(shù)法

    解 當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,即αx≥(1-x2)ex-1(*)對(duì)?坌x≥0恒成立.

    而h′(x)=-xex(x2+4x+1)<0,所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,

    所以h(x)

    所以g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,由洛必達(dá)法則有

    即當(dāng)x→0時(shí),g(x)→1,即當(dāng)x>0時(shí),g(x)<1.

    因?yàn)閍≥g(x)恒成立,所以a≥1.

    因?yàn)椋?)式對(duì)x≥0恒成立,所以由①②得a≥1.

    評(píng)注 將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生普遍習(xí)慣采用的分離參數(shù)法,重新構(gòu)造不含參的函數(shù),再利用“洛必達(dá)法則”求解未定式的極限,該問(wèn)題便迎刃而解.

    解法2 二次求導(dǎo)法

    解 當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,即(1-x2)ex-ax-1≤0對(duì)?坌x≥0恒成立.

    令g(x)=(1-x2)ex-ax-1,則g′(x)=ex(-x2-2x+1)-a

    而g″(x)=ex(-x2-4x-1)<0,即g′(x)在[0,+∞)是減函數(shù),所以g′(x)≤g′(0)=1-a.

    當(dāng)1-a≤0時(shí),即a≥1時(shí),g′(x)≤0,此時(shí)g(x)在[0,+∞)是減函數(shù),

    所以g(x)≤g(0)=0,故a≥1.

    評(píng)注 構(gòu)造新函數(shù),對(duì)新函數(shù)二次求導(dǎo),通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的性質(zhì),不失為解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的良策.

    解法3 數(shù)形結(jié)合法

    解令g(x)=(1-x2)ex-ax-1,則g′(x)=ex(-x2-2x+1)-a.

    因?yàn)間(0)=0,所以一定?堝x0>0,使得x∈[0,x0)時(shí),g′(x)≤0,

    即使得g(x)在[0,x0)單調(diào)遞減,即g′(0)=a-1≤0,得a≥1.

    評(píng)注 對(duì)函數(shù)進(jìn)行圖像分析也即數(shù)形結(jié)合,利用圖像的直觀性分析去解決問(wèn)題,從而得到解題的思路和方法.

    解法4 巧用結(jié)論法

    解 由人教A版教材選修1-1第99頁(yè)B組習(xí)題“利用函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式,ex>x+1,x≠0”,可得ex≥x+1,將x代換為-x,則(1-x)ex≤1.

    而f(x)=(1-x2)ex=(1+x)(1-x)ex≤x+1,又當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,故a≥1.

    評(píng)注 課本是知識(shí)和方法的重要載體,也是高考命題的主要來(lái)源,本試題充分體現(xiàn)了“源于教材而又高于教材”的高考命題原則.

    4.教學(xué)啟示

    高考作為選拔性考試,關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,試題往往靈活多樣,作為一線(xiàn)教師,教學(xué)時(shí)通過(guò)對(duì)一些典型試題的探析,將它轉(zhuǎn)化為教學(xué)的素材,優(yōu)化教學(xué)過(guò)程,提高課堂教學(xué)的時(shí)效性;同時(shí)通過(guò)典型試題從專(zhuān)業(yè)知識(shí)的廣度和深度上拓展充實(shí)自我,從觀念、理念的更新上豐富自我,不斷提升自己的教學(xué)素養(yǎng).

    作者簡(jiǎn)介:馮小明(1982—),男,甘肅嘉峪關(guān)人,中學(xué)一級(jí)教師,嘉峪關(guān)市優(yōu)秀班主任,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)12年。

    編輯 馬曉榮

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