求聯(lián)，讓練習(xí)設(shè)計(jì)從“形式”走向“實(shí)質(zhì)”

陳建珍

【摘 要】“求聯(lián)練習(xí)”采用“習(xí)題模塊”的練習(xí)方式，以打破單一的“講解—練習(xí)—輔導(dǎo)”的課堂練習(xí)模式，創(chuàng)設(shè)系統(tǒng)化、簡約化、模塊化的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過知識(shí)的自主建構(gòu)過程，把數(shù)學(xué)的“知識(shí)結(jié)構(gòu)”內(nèi)化成個(gè)體的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。以人教版六上第五單元“圓的面積練習(xí)”教學(xué)為例，教師可以對其進(jìn)行“求聯(lián)”設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提升學(xué)生的思維能力。

【關(guān)鍵詞】求聯(lián)；圓的面積；練習(xí)設(shè)計(jì)

求聯(lián)，由已知的或熟悉的人、事、概念聯(lián)想到相關(guān)的人、事、概念，通過由此及彼的思維活動(dòng)，架設(shè)關(guān)聯(lián)橋梁。小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題設(shè)計(jì)也需要求聯(lián)，即根據(jù)基礎(chǔ)習(xí)題，通過聯(lián)想，不斷地轉(zhuǎn)化：由A想到B，由B想到C……把多個(gè)命題按照一定的需要聯(lián)系在一起，組合成一個(gè)習(xí)題模塊，儲(chǔ)存于學(xué)生頭腦中，并加以運(yùn)用。對于學(xué)生來說，是通過不斷內(nèi)化而形成的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；對于教師而言，是基于對數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)深刻認(rèn)識(shí)的一種命題方法?；凇扒舐?lián)”的圓面積練習(xí)設(shè)計(jì)，旨在圍繞圓面積的核心知識(shí)展開不同層面的命題聯(lián)想，通過練習(xí)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)能量升級(jí)——基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到整體提升。

一、情境求聯(lián)

情境，在一定的時(shí)間內(nèi)，各種情況相對的或結(jié)合的境況（《辭?！罚?。對于六年級(jí)的學(xué)生來說，情境并不陌生，他們積累了豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)儲(chǔ)備了大量的表象。只要引導(dǎo)有效，就能促使其產(chǎn)生聯(lián)想，建立起知識(shí)間的聯(lián)系。教學(xué)時(shí)，將“圓”置于不同的情境中，利用情境求聯(lián)設(shè)計(jì)練習(xí)題組，可以提升練習(xí)效果。

例如，習(xí)題1：已知圓的半徑是10cm，求圓的面積。學(xué)生解題之后，教師可以借機(jī)進(jìn)行情境求聯(lián)的練習(xí)設(shè)計(jì)。

師：知道什么條件就可以求出圓的面積？

生：知道“半徑”或“半徑的平方”。

師：生活中的圓，半徑會(huì)是什么呢？

生：鐘面上，分針長10cm。

生：草地上自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水裝置射程10m。

生：茶葉罐的直徑10cm，半徑是5cm。

生：拴住一只小狗的鐵鏈長2m。

……

師：剛才我們通過變換不同的情境導(dǎo)出了一組圓面積的練習(xí)題組。雖然習(xí)題情境不同，但計(jì)算方法是相同的?，F(xiàn)在請你選一個(gè)情境進(jìn)行計(jì)算，同桌相互交流。

學(xué)生在情境求聯(lián)中導(dǎo)出圓面積的習(xí)題模塊，不僅了解了圓在生活中的廣泛應(yīng)用，還鞏固了圓面積的基礎(chǔ)練習(xí)，既舉一反三，又舉三反一，用情境的變化反襯和突顯出其中不變的部分——圓的面積計(jì)算方法。引導(dǎo)學(xué)生通過現(xiàn)實(shí)視角橫向聯(lián)系，在生活中找到原型加以設(shè)計(jì)，不僅讓習(xí)題的組織更有結(jié)構(gòu)感，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生的分析歸納能力，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

二、等價(jià)求聯(lián)

等價(jià)求聯(lián)，意指當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)自然地想到將它變成一個(gè)自己熟悉的問題，進(jìn)而去解決它?？墒窃诮虒W(xué)中，實(shí)際操作起來卻不那么簡單。因?yàn)樗鼪]有固定的法則，而是必須通過對具體問題認(rèn)真、深入的剖析，聯(lián)想過去解決類似習(xí)題的方法，尋求它們之間的等價(jià)聯(lián)系，才能實(shí)現(xiàn)從陌生到熟悉的轉(zhuǎn)化。此種求聯(lián)可以幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，習(xí)題2：已知圓的半徑是10cm，求圓的面積。習(xí)題直接給出了條件“半徑”。如果不直接告知半徑，題目可以怎樣變化呢？學(xué)生展開想象：可以已知圓規(guī)的兩腳距離是10cm，可以已知直徑是20cm，還可以已知圓的周長是62.8cm或半圓的周長是31.4cm……學(xué)生通過不斷地轉(zhuǎn)化與“半徑是10cm”等價(jià)的條件，導(dǎo)出習(xí)題模塊。

也有學(xué)生把圓放到其他平面圖形中，出示與“半徑是10cm”等價(jià)的數(shù)據(jù)，見下圖。

習(xí)題2導(dǎo)出模塊

把它放到其他根據(jù)原有練習(xí)變化的題目中，選擇合適的條件，把題目補(bǔ)充完整。不管是已知什么條件，這個(gè)條件必須與半徑等價(jià)。

學(xué)數(shù)學(xué)，等量關(guān)系很重要，要學(xué)會(huì)“換句話說條件”，透過現(xiàn)象抓住問題的本質(zhì)。圓的面積練習(xí)中，找出“關(guān)鍵條件”，以此作為求聯(lián)點(diǎn)，轉(zhuǎn)換說法，變換成不同的條件，導(dǎo)出習(xí)題模塊。等價(jià)求聯(lián)要求置換的條件是等價(jià)的，條件的表達(dá)方式不同，表達(dá)內(nèi)容一致，訓(xùn)練學(xué)生多題一解。在引導(dǎo)學(xué)生如何“把書讀薄”的體驗(yàn)中感受到數(shù)學(xué)思維的力量，感受到厚與薄的辯證關(guān)系。

三、相似求聯(lián)

相似求聯(lián)，就是由某一事物或現(xiàn)象想到與它相似的其他事物或現(xiàn)象，進(jìn)而產(chǎn)生某種新設(shè)想。六年級(jí)學(xué)生對平面圖形的線條、形狀、色彩等能夠進(jìn)行抽象、變化、對比的聯(lián)想。設(shè)計(jì)圓面積的練習(xí)時(shí)可以通過對已知圖形的相似性進(jìn)行聯(lián)想形成題組。

例如，習(xí)題3：正方形的邊長是6厘米，求陰影部分的面積。提問：如果正方形中圓的個(gè)數(shù)變成4個(gè)、9個(gè)、16個(gè)……圓的個(gè)數(shù)不斷變化，你還能求出陰影部分的面積嗎？

習(xí)題3導(dǎo)出模塊

引導(dǎo)學(xué)生通過改變圓的個(gè)數(shù)，探尋相似求聯(lián)的方法，并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

求組合圖形的面積是圓面積教學(xué)比較重要的題型。教師可以改變組合圖形的個(gè)別元素形成相似圖形，引導(dǎo)學(xué)生找圖形之間的規(guī)律。這是設(shè)計(jì)模塊練習(xí)的基本思想，讓學(xué)生從中感受到求聯(lián)模塊內(nèi)在的規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的規(guī)律美、變化美。

四、構(gòu)圖求聯(lián)

美術(shù)中，平面構(gòu)圖的畫面通過視覺傳達(dá)而產(chǎn)生聯(lián)想，達(dá)到某種意境。圓面積的構(gòu)圖聯(lián)想可以借鑒美術(shù)中的某些手法，或變化組合圖形的擺放位置形成題組，或縮放組合圖形的大小形成題組，各種圖形的形狀及其要素都會(huì)產(chǎn)生不同的聯(lián)想與意境。通過設(shè)計(jì)習(xí)題，吸取相通之處，延伸數(shù)學(xué)思維。

例如，習(xí)題4：已知正方形的面積是10cm2，求圓的面積。學(xué)生解答后，教師可以追問，圓和正方形放在一起，還可以產(chǎn)生怎樣的圖形？如果正方形變大呢？變小呢？如果正方形變成長方形呢？變成三角形呢？變成梯形呢？通過啟發(fā)，學(xué)生導(dǎo)出了習(xí)題模塊。（部分學(xué)生作品列舉如下圖）

習(xí)題4導(dǎo)出模塊

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析作品中圖形結(jié)構(gòu)與內(nèi)在關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)這些組合圖形有幾種情況，一種是面積和，一種是面積差，還有一種是揭示兩種圖形之間的倍比關(guān)系的。無論是哪種情況，都要找到已知條件在單個(gè)圖形中的價(jià)值，通過條件的代換，獲取有用信息。進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)，所學(xué)平面圖形都可以不斷改變位置，用不同的組合圖形來辨析、梳理。通過練習(xí)，學(xué)生明確了平面圖形的面積內(nèi)涵，清楚了它們之間的關(guān)系。

又如，習(xí)題5：已知正方形的邊長為10cm，求陰影部分的面積。學(xué)生解答后，教師順勢引導(dǎo)：正方形的面積與圓的面積有什么關(guān)系？還可以求出哪些相關(guān)類似圖形的陰影部分面積呢？學(xué)生嘗試變形，將圖形的相同部分進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)，展開求聯(lián)，導(dǎo)出“求聯(lián)模塊”，見下圖。

習(xí)題5導(dǎo)出模塊

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析圖形之間的數(shù)量關(guān)系：陰影部分的圖形其實(shí)就是圓內(nèi)接正方形后形成的。原圖平均分成4份以后，將各部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或平移后拼接，就能得到一組新圖形。練習(xí)時(shí)讓學(xué)生找出這一類圖形面積的解決方法。

數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)關(guān)系復(fù)雜，借助組合圖形可以溝通知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系。教師要善于挖掘各類圖形的位置關(guān)系，開發(fā)出千變?nèi)f化的求聯(lián)習(xí)題，并通過解答、辨析，理清層次，構(gòu)建新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

五、動(dòng)態(tài)求聯(lián)

靜態(tài)的圖形可以產(chǎn)生聯(lián)想，實(shí)實(shí)在在的靜物也可以產(chǎn)生聯(lián)想。如果讓靜物動(dòng)起來，通過動(dòng)態(tài)求聯(lián)形成題組，奇妙無窮。生活中這樣的素材很多，如一元硬幣、汽車輪胎等。教師可以根據(jù)不同的生成路徑形成不同的動(dòng)態(tài)圖形，以此讓學(xué)生熟練運(yùn)用圓的面積知識(shí)，并發(fā)展空間觀念。

例如，習(xí)題6：一個(gè)一元硬幣的面積是多少？練習(xí)時(shí)學(xué)生只要量出需要的數(shù)據(jù)（“半徑或直徑”），然后根據(jù)公式就能順利地求出面積。這樣的習(xí)題難度不大，對于提升學(xué)生的思維含量沒有太大的幫助。如果讓硬幣滾動(dòng)起來，會(huì)發(fā)生怎樣奇妙的事情？學(xué)生展開想象：如果固定其中一個(gè)硬幣，另一個(gè)沿著它的周長滾動(dòng)一周呢？如果固定兩個(gè)硬幣，第三個(gè)沿著它們的邊緣滾動(dòng)一周呢？如果這個(gè)硬幣沿著正方形的邊緣滾動(dòng)一周呢？如果這個(gè)硬幣沿著正三角形的邊緣滾動(dòng)一周呢？……

學(xué)生嘗試改變硬幣的運(yùn)動(dòng)軌跡，導(dǎo)出習(xí)題模塊。

習(xí)題6導(dǎo)出模塊

引導(dǎo)學(xué)生對模塊練習(xí)進(jìn)行分析：硬幣的運(yùn)動(dòng)軌跡形成什么圖形？要求出這個(gè)硬幣的運(yùn)動(dòng)軌跡必須知道什么？找出這一類題的解決方法（雖然圖形由靜變動(dòng)，狀態(tài)發(fā)生改變，但運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)始終沒變，規(guī)律始終沒變，要善于在變中找不變）。

動(dòng)態(tài)求聯(lián)導(dǎo)出習(xí)題模塊，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生尋求解法上的共通點(diǎn)。在變化中，感受到數(shù)學(xué)的美；通過找尋解法上的共通點(diǎn)，感受習(xí)題模塊“萬變不離其宗”的內(nèi)在魅力。

總之，在“圓的面積練習(xí)”中，圍繞核心知識(shí)進(jìn)行求聯(lián)，如情境求聯(lián)、等價(jià)求聯(lián)、相似求聯(lián)、構(gòu)圖求聯(lián)、動(dòng)態(tài)求聯(lián)等，開展“求聯(lián)練習(xí)”的設(shè)計(jì)，筆者對教材的認(rèn)識(shí)、對學(xué)生的認(rèn)識(shí)、對練習(xí)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)、對學(xué)習(xí)過程的認(rèn)識(shí)有了更深的了解。求聯(lián)練習(xí)是習(xí)題教學(xué)的較高層次的體現(xiàn)，它的設(shè)計(jì)和具體操作從“形式”走向了“實(shí)際”，向一線教師提出了更高的要求和挑戰(zhàn)，必須花更多的時(shí)間和精力去鉆研教材，吃透教材。通過梳理核心點(diǎn)拓展“求聯(lián)結(jié)構(gòu)”的寬度，挖掘生長點(diǎn)加深“求聯(lián)結(jié)構(gòu)”的深度，打造“點(diǎn)點(diǎn)通道”拉伸“求聯(lián)結(jié)構(gòu)”的長度，從而將看似零散的習(xí)題組成一個(gè)個(gè)題組模塊，設(shè)計(jì)出有利于學(xué)生個(gè)性能力張揚(yáng)、潛在能力提升、數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的練習(xí)，進(jìn)而在引導(dǎo)學(xué)生不斷將數(shù)學(xué)知識(shí)簡約化、模塊化、集成化的過程中，逐步完善自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

求聯(lián)式練習(xí)設(shè)計(jì)的價(jià)值并不僅局限于教師的練習(xí)設(shè)計(jì)能力的提升，更為重要的是引導(dǎo)學(xué)生參與到“求聯(lián)”的過程中，參與到知識(shí)的建構(gòu)過程中，參與到把數(shù)學(xué)的“知識(shí)結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為個(gè)體的“知識(shí)結(jié)構(gòu)“的過程中，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)與眼光，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（浙江省建德市新安江第三小學(xué) 311600）