函數(shù)最值問題的解法探究

摘要：本文除了介紹常見到的如何求解高考常見類型的最值問題求法的類型，還將歸納如何遇到某一類問題，而巧用數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化到某一模型上去，因此而收到出奇制勝的效果。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化；二次函數(shù)；三角函數(shù)；數(shù)列；立體幾何；恒成立；最值問題

函數(shù)最值是函數(shù)概念的一個(gè)重要組成部分，在研究函數(shù)圖象、性質(zhì)及實(shí)際問題中起著至關(guān)重要的作用。函數(shù)最值問題的求法有很多，如配方法、換元法、單調(diào)性、圖象法、判別式法等等。高考中常常滲透到三角、立體幾何、解析幾何、實(shí)際應(yīng)用問題中去，但廣大師生遇到一些具體實(shí)例的時(shí)候仍會(huì)感到非常困難，本文除了介紹常見到的如何求解高考常見類型的最值問題求法的類型，還將歸納如何遇到某一類問題，而巧用數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化到某一模型上去，因此而收到出奇制勝的效果。

類型一：三角函數(shù)、立體幾何中的最值問題

【例1】△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求cosA+2cosB+C2取得最大值時(shí)A的值，并求出這個(gè)最大值。

該例先將三個(gè)角化歸為同一個(gè)角，再求該角的三角函數(shù)最值

cosA+2cosB+C2=cosA+2cosπ-A2=cosA+2sinA2=1-2sin2A2+2sinA2

記t=sinA2（0

即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型的最值問題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想。

【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD。記CD=x，用V（x）表示四棱錐F-ABCD的體積。

（1）求V（x）的表達(dá)式；

（2）求V（x）的最大值。

該例由面面垂直的性質(zhì)定理，得線面垂直，進(jìn)而得到四棱錐F-ABCD的高FA，因而易算出V（x）=13SABCD·FA=23x4-x2 （0

以上兩個(gè)例子，列出函數(shù)關(guān)系后，將問題轉(zhuǎn)化為某一類型，此題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類型，當(dāng)然亦可以求導(dǎo)數(shù)類型。三角函數(shù)、立體幾何中涉及最值問題高考中已屢見不鮮，列出函數(shù)關(guān)系，具體根據(jù)函數(shù)形式，常見的轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題類型、基本不等式法求解類型、求導(dǎo)數(shù)方法等。

類型二：數(shù)列中的最值問題

數(shù)列作為特殊的函數(shù)列，遇到此類求最值問題，一定不要忘記數(shù)列其定義的范圍是正整數(shù)。例如：

【例3】已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，求ann的最小值。

函數(shù)知識(shí)是研究數(shù)列問題的一種有效手段。利用疊加法求數(shù)列an，進(jìn)而再求目標(biāo)函數(shù)f（n）的表達(dá)式。因?yàn)閍n=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=33+n2-n（n≥2），n=1時(shí)亦合，所以ann=33n+n-1。用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行探究，函數(shù)列是特殊的函數(shù)，是自變量取整數(shù)的函數(shù)。設(shè)f（x）=33x+x-1，x∈（0，+∞），f′（x）=-33x2+1，可得函數(shù)f（x）在（33，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，33）上是遞減，因?yàn)閚∈N*，所以f（n）最小值為f（5），f（6）中的較小者，又因?yàn)閍55=535，a66=636=212，所以ann的最小值為a66=212?？山Y(jié)合函數(shù)單調(diào)性的特征，亦可用基本不等式法（對(duì)勾函數(shù)的圖象）找最小者。只是再次強(qiáng)調(diào)是特殊的函數(shù)，特殊在定義域取整數(shù)，函數(shù)是一些孤立的點(diǎn)。

類型三：解析幾何中的最值問題

高考解答題解析幾何是壓軸題，而且作為必考題型，考查學(xué)生邏輯思維的同時(shí)，還考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合能力，如遇最值問題，理清思路，清醒地意識(shí)是屬于什么類型的最值問題很重要。例如：

【例4】已知橢圓x225+y216=1長軸的左、右端點(diǎn)A、B，右焦點(diǎn)F，橢圓上的一點(diǎn)P位于x軸上方，且滿足PA⊥PF，在橢圓長軸AB上取一點(diǎn)M，使得到直線AP的距離等于|MB|，求M到橢圓上一點(diǎn)的距離d的最小值。

此例解析：設(shè)P（a，b），由PA⊥PF，利用斜率乘積為-1，或勾股定理，列方程組，易解出P-59，1659，從而得直線AP的方程是2x-5y+10=0。設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)M到直線AP的距離是|2m+10|3。則|2m+10|3=|5-m|，又-5≤m≤5，解得m=1。設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x0，y0），則改點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d有d2=（x0-1）2+y20=（x0-1）2+1-x2025×16=925x0-2592+1289，由于-5≤x0≤5，∴當(dāng)x0=259時(shí)，d取得最小值為823。像這樣設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運(yùn)算是基本的方法，本題將問題最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用求二次函數(shù)最值的方法求解，注意函數(shù)定義域。同時(shí)解析幾何題型的計(jì)算量是比較大的，平時(shí)一定要重計(jì)算，加強(qiáng)計(jì)算能力！

類型四：構(gòu)造模型解決最值問題

高考中常見類型的最值問題求法的類型很重要，但如果遇到某一類問題，而巧用數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化到某一模型上去，也會(huì)而收到出奇制勝的效果哦！如：

【例5】若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-3）2+y2=4，求yx的最大值與最小值。

此例：構(gòu)造斜率模型，yx其結(jié)構(gòu)與斜率公式很像，由此可看成定點(diǎn)（0，0）與圓上（x-3）2+y2=4上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）連線的斜率，易知kOA=255，kOB=-255

∴yxmax=255，yxmin=-255

變式：若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-3）2+y2=4，求y+1x+1的最大值與最小值。

因?yàn)閥+1x+1結(jié)構(gòu)可看成定點(diǎn)（-1，-1）與圓上（x-3）2+y2=4上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）連線的斜率。歸納：對(duì)這一類cy+dax+b的函數(shù)最值問題，運(yùn)用斜率模型求解不失為行之有效的一種辦法。又例如：

【例6】若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-3）2+y2=4，求x2+y2的最大值與最小值。

因?yàn)閤2+y2看成距離問題，可看成定點(diǎn)（0，0）與圓上（x-3）2+y2=4上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的距離，易知 ∴（x2+y2）max=3+2=5，（x2+y2）min=3-2=1

變式：若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-3）2+y2=4，求（x+1）2+（y+1）2的最大值與最小值。

（x+1）2+（y+1）2又可看成定點(diǎn)（-1，-1）與圓上（x-3）2+y2=4上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的距離。

再變式：求函數(shù)y=x2-8x+17+x2-4x+8 的最小值。

因?yàn)閥=x2-8x+17+x2-4x+8=（x-4）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2可以看成 x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（4，1）、點(diǎn)B（2，2）兩點(diǎn)的距離之和的最小值。如圖，又點(diǎn)B（2，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，-2）到點(diǎn)A（4，1）的距離即為所求的最小距離，故ymin=（4-2）2+（1-（-2））2=13。

歸納：對(duì)于平方和的最值問題，運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式（x2-x1）2+（y2-y1）2轉(zhuǎn)化為幾何問題求解。再例如：

【例7】若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-3）2+y2=4，求x+y的最大值與最小值。

此例：令z=x+y，化為：y=-x+z，z表示直線x+y-z=0在y軸的截距，由圓心（3，0）到直線的距離|3-z|2=2，z=-3±22，因此zmax=-3+22，zmin=-3-22

同理：若x+y改2x-y，令z=2x-y化為：y=2x-z，-z表示直線2x-y-z=0在y軸的截距。對(duì)于ax+by型的和差問題的最值問題，運(yùn)用構(gòu)造直線z=ax+by轉(zhuǎn)化為y=-abx+zb的截距問題求解。

類型五：恒成立問題的最值策略

遇到恒成立問題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。如f（x）>m恒成立，即轉(zhuǎn)化為f（x）min>m；如f（x）

【例8】已知m∈R，x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立，求使m的取值范圍。

此例：由題設(shè)x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，得x1+x2=a且x1x2=-2，所以，|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=a2+8當(dāng)a

SymbolNC@ [-1，1]時(shí)，a2+8的最大值為9，即|x1-x2|≤3，即|x1-x2|的最大值為3，由題意，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a

SymbolNC@ [-1，1]恒成立的m的解集等價(jià)于不等式|m2-5m-3|≥3的解集。由此不等式得m2-5m-3≤-3，或m2-5m-3≥3求解。如此遇到恒成立問題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù) f（x）的最值問題。

當(dāng)然還會(huì)遇到實(shí)際應(yīng)用題的最值問題，先理清思路，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，含最值問題常常涉及二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、基本不等式等，并時(shí)刻注意定義域，考慮定義域優(yōu)先原則，除題目本身的限制外，實(shí)際的限制也需考慮，才不至于功虧一簣！

函數(shù)最值問題的滲透是高考常見類型，滲透在小題，解答題，應(yīng)用類型中，掌握好了，在高考中才能運(yùn)籌帷幄而決勝千里！

參考文獻(xiàn)：

[1]互聯(lián)網(wǎng)文檔資源（https：∥wenku.baidu.com/）.

[2]主講人：黃岡中學(xué)高級(jí)教師湯彩仙.2012數(shù)學(xué)高考最值解題策略[K].

作者簡介：

周受萍，福建省福州市，閩侯縣第一中學(xué)。