數(shù)學(xué)問題解答

(解答由問題提供人給出)

(x+y)2=2019(xy+1),

2411設(shè)x,y為正整數(shù),x2+y2-2017xy>0且不是完全平方數(shù),求x2+y2-2017xy的最小值.

(四川省成都七中方廷剛610041)

解記x2+y2-2017xy=k,其中k不是完全平方數(shù).首先證明k≥2019.

設(shè)(x0,y0)是方程

x2+y2-2017xy=k

①

的使得x0+y0最小的一組正整數(shù)解.

不妨設(shè)x0≥y0.

②

由前式知x1∈Z,由k不是完全平方數(shù)知x1≠0.

故x1+y0

故只能x1<0,

于是

另一方面,令x2+y2-2017xy=2019得

(x+y)2=2019(xy+1),

可解得(x,y)=(2018,1)或(1,2018).

于是所求最小值為2019.

(安徽省安慶市岳西縣湯池中學(xué)楊續(xù)亮246620)

證明在銳角△ABC中作兩條高AE、BD交于點(diǎn)H，O為外心，I為內(nèi)心，連接AO，BO，OH，IA，IH，過I作AB的垂線交AB于點(diǎn)M.設(shè)銳角△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，

在Rt△AHD中，

=2RcosA，

所以 ∠OAH=|A-∠EAC-∠BAO|

=|B-C|，

在△OAH中，由余弦定理可知

OH2=OA2+AH2-2OA·AHcos ∠OAH，

所以

OH2=R2+4R2cos2A-4R2cosAcos (B-C)

=R2-4R2cosA(cos (B-C)-cosA)

=R2-4R2cosA(cos (B-C)+cos (B+C))

=R2-8R2cosAcosBcosC，

根據(jù)正弦定理可得

2R2sinAsinBsinC=Rr(sinA+sinB+sinC)，

又由三角恒等式

又在△AMI中，

而 ∠IAH=|A-∠EAC-∠BAI|

在△IAH中，由余弦定理可知

IH2=AI2+AH2-2AI·AHcos ∠IAH，

所以

IH2=AI2+AH2-2AI·AHcos ∠IAH

+4R2cosA(cosA-sinBsinC)

-4R2cosA(cos (B+C)+sinBsinC)

-4R2cosAcosBcosC

=2r2-4R2cosAcosBcosC，

所以O(shè)H2-2IH2=R2-4r2；

由歐拉定理OI2=R2-2Rr可得R≥2r，

所以O(shè)H2-2IH2=R2-4r2

=(R+2r)(R-2r)≥0，

2413設(shè)AB和CD為圓O的兩弦，AB的延長線與CD的延長線交于點(diǎn)E，AD與CB交于點(diǎn)F，以EF為直徑的圓O′與圓O交于點(diǎn)P和Q，證明：圓O和圓O′ 在交點(diǎn)P或Q處的切線互相垂直.

(河南省輝縣市一中賀基軍453600)

證明如圖，自點(diǎn)E引圓O的切線EM和EN，切點(diǎn)為M，N，連接MN.

設(shè)AD與MN交于點(diǎn)F1，CB與MN交于點(diǎn)F2，連接AM，BM，CM，DM及AN，BN，CN，DN. 記圓O的半徑為R.

又DM=2Rsin ∠MAF1,

DN=2Rsin ∠NAF1，

①

②

根據(jù)以上兩個(gè)等式及EM=EN得

③

④

即MF1=MF2，

這表明F1,F2兩點(diǎn)重合，進(jìn)而可知AD,MN,CB三線共點(diǎn)，點(diǎn)F在MN上.

連接PO,PO′及OM,OE,OO′，

其中OE為MN的中垂線，垂足為G.

O,O′,E這三點(diǎn)或共線或不共線，總有

O′O2=O′E2+OE2-2O′E·OE·cos ∠O′EO

=O′E2+OE2-FE·OE·cos ∠FEG

=O′E2+OE2-OE·GE

=O′E2+OE2-ME2

=O′E2+OM2

=O′P2+OP2，

因此O′P⊥OP，從而可知圓O在交點(diǎn)P處的切線為PO′，圓O′ 在交點(diǎn)P處的切線為PO，二者互相垂直.

同理，上述兩圓在另一交點(diǎn)Q處的切線互相垂直.

2414已知a,b,c>0,a+b+c=3,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心安振平712000)

證明所證不等式等價(jià)于

∑(1+ab)(1+b)(1+c)

≤3∏(1+a),

(*)

因?yàn)椤?1+ab)(1+b)(1+c)

=∑(1+ab)(1+b+c+bc)

=∑(1+ab)(1+bc)+∑(1+ab)(b+c)

=3+2∑bc+abc∑a+2∑a+∑ab2+3abc,

3∏(1+a)=3+3∑a+3∑bc+3abc,

所以，不等式(*)等價(jià)于

abc∑a+∑ab2≤∑a+∑bc,

等價(jià)于

27abc+9∑ab2≤(∑a)3+3∑a∑bc,

等價(jià)于∑a3+2∑a2b≥3∑ab2.

不妨設(shè)

c=min{a,b,c},a=c+x,b=c+y,x≥0,y≥0.

于是

P=∑a3+2∑a2b-3∑ab2

3∑(c+x)(c+y)2.

3∑(c+x)(c+y)2

=2c[(x-y)2+xy]+[x3+2x2y-3xy2+

y3].

記Q=x3+2x2y-3xy2+y3,

當(dāng)y=0時(shí)，Q=x3≥0;

當(dāng)y>0時(shí)，

(t≥0)

求導(dǎo)，得

f′(t)=3t2+4t-3

從而P=∑a3+2∑a2b-3∑ab2≥0,獲證.

(四川省西充中學(xué)李光俊637200)

解引入常數(shù)λ>0

t3-2t-1=0

即(t+1)(t2-t-1)=0，

2018年4月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(浙江省慈溪市慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)華漫天315300)

2417四邊形ABCD的邊AD、BC相交于點(diǎn)P，AB與CD不平行，△ABP、△CDP的外心分別為O1、O2，垂心分別為H1、H2，O1H1、O2H2的中點(diǎn)分別為E1、E2，過E1、E2分別作CD、AB的垂線.證明：這兩條垂線與H1H2三線共點(diǎn).

(江西省高安市石腦二中王典輝330818)

(n≥3,n∈N)

(江蘇省常熟市中學(xué)查正開215500)

2419在△ABC中,R,r分別是△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑,∠BAC的平分線AD與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D,AD與BC相交于點(diǎn)E,則

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校黃兆麟300456)

2420設(shè)△ABC中的三邊長分別為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院李永利467000)