“兩面” 何須三刀①
——芻議高中數(shù)學(xué)中的“雙變”問(wèn)題

王愛(ài)軍

(江蘇省姜堰中學(xué)　225500)

1　問(wèn)題的提出

高中數(shù)學(xué)解題中，同學(xué)們常常會(huì)碰到“雙變問(wèn)題”，不少同學(xué)面對(duì)雙重壓力，心慌氣短、手忙腳亂，誤打瞎撞，錯(cuò)誤率極高.“如果只有一個(gè)‘量’在變，我還能勉強(qiáng)應(yīng)付，但對(duì)于兩個(gè)‘量’都在變，我往往顧此失彼，暈頭轉(zhuǎn)向……”(學(xué)生語(yǔ)).波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中指出，弄清問(wèn)題”是實(shí)現(xiàn)成功解決問(wèn)題的第一步.現(xiàn)在，我們面臨的問(wèn)題是如何基于學(xué)生“單變尚可，雙變犯難”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)突破？

2　突破：“二”即是“一”

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提煉于生活，并引領(lǐng)著生活，那么我們能否從生活中尋找雙變問(wèn)題的解題靈感呢？其實(shí)，雙變問(wèn)題無(wú)異于“腳踩兩只船”，顧此失彼，情理之中，要獨(dú)善其身必須用心專(zhuān)一、從一而終，基于這種想法，解決雙變問(wèn)題不也可采取“我的眼里只有你”的策略，專(zhuān)攻其一，逐個(gè)突破，拾級(jí)而上嗎？即所謂“二便是一”.下面就以高中數(shù)學(xué)中的幾個(gè)典型的雙變問(wèn)題加以闡述.

2.1　雙變量問(wèn)題： 退“二”進(jìn)“一”，以退為進(jìn)

2.1.1主元思想：視“二”為“一”

題1若不等式bx+c+9lnx≤x2對(duì)任意的x∈(0,+∞),b∈(0,3)恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

分析本題中涉及兩個(gè)變?cè)?，在處理的過(guò)程中應(yīng)先以一個(gè)較為容易研究的變量為主元構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，通過(guò)研究此函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，所以首先選擇b為主元來(lái)研究問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)視“二”為“一”的主元思想突顯了“腳踩兩只船”時(shí)，優(yōu)選順序，逐一突破的“減元”的解題策略.

2.1.2整體思想：化“二”為“一”

令u′=0得t=4，且t∈(0,4)時(shí)，u′>0；

t∈(4,+∞)時(shí)，u′<0.

無(wú)論是化“二”為“一”的整體思想，還是視“二”為“一”的主元思想都采取的是退二進(jìn)一的轉(zhuǎn)化策略，實(shí)現(xiàn)了雙變量到單變量的有效轉(zhuǎn)化．當(dāng)然，處理二元變量問(wèn)題有時(shí)也可直接借助不等式或幾何知識(shí)來(lái)解決，比如線性規(guī)劃問(wèn)題就是利用圖解法解決二元變量最值問(wèn)題的一類(lèi)題型，它是把代數(shù)形式的二元變量轉(zhuǎn)化成一種圖形語(yǔ)言加以處理，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，也就實(shí)現(xiàn)了“二即是一”.當(dāng)然，本題也可借助不等式或幾何知識(shí)來(lái)解決.

2.2　雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)靜變換、以靜制動(dòng)

分析此題涉及雙動(dòng)點(diǎn)，要突破“雙動(dòng)”，首先必須以靜制動(dòng)，化“雙”為“單”，然后再各個(gè)擊破.

圖1

點(diǎn)評(píng)“雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題可以通過(guò)先將動(dòng)點(diǎn)1視為定點(diǎn)研究出動(dòng)點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)時(shí)所求問(wèn)題的最值1，然后再處理動(dòng)點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)時(shí)最值1的最值，從而最終得出所求問(wèn)題的最值，其解題策略是視動(dòng)為靜，化“雙動(dòng)”為“單動(dòng)”，再逐一突破，最后利用函數(shù)知識(shí)或幾何性質(zhì)求出“雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題的最值.

2.3　“雙層”最值問(wèn)題：抽絲剝繭、內(nèi)外兼修

題4函數(shù)f(x)滿足f(x)=x2-2(a+2)·x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}(max(p,q)表示p,q中的較大值，min(p,q)表示p,q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A-B=________.

分析本題要求兩個(gè)函數(shù)值中的較大者(或較小者)中的最值，其解題策略是厘清層次，由內(nèi)到外，抽絲剝繭，我們只需先求出H1(x)=max{f(x),g(x)}、H2(x)=min{f(x),g(x)}的表達(dá)式或函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)及其圖像分別求出它們的最值A(chǔ)、B.

解令h(x)=f(x)-g(x)

=x2-2(a+2)x+a2-[-x2+2(a-2)x-a2+8]

=2x2-4ax+2a2-8

=2(x-a)2-8.

①由h(x)=0得2(x-a)2-8=0，解得x=a±2，此時(shí)f(x)=g(x)；

②由h(x)>0，解得x>a+2,或xg(x)；

③由h(x)<0，解得a-2

綜上可知：

作出函數(shù)H1(x)、H2(x)的圖像(如圖2)，結(jié)合圖像易得

A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]2-4a+12

=-4a-4，

B=g(a-2)=-4a+12,

所以A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16.

圖2

點(diǎn)評(píng)“雙層”最值問(wèn)題可以通過(guò)由內(nèi)到外分層研究對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)，即先求出“內(nèi)層”函數(shù)的最值，得到“外層”函數(shù)，從而最終構(gòu)建了目標(biāo)變量的函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.“雙層”最值問(wèn)題的解題策略是循序漸進(jìn)、分層實(shí)施、逐次突破.

點(diǎn)評(píng)“雙層”最值問(wèn)題也可以通過(guò)分層構(gòu)建目標(biāo)變量的不等關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出“雙層”問(wèn)題的最值.

高中數(shù)學(xué)中涉及到的雙變問(wèn)題不僅僅有雙變量、雙動(dòng)點(diǎn)、雙層最值等問(wèn)題，還常涉及以下雙變問(wèn)題：

(1)雙向問(wèn)題：鎖定方向、擇一而終

題6A、B、C、D、E五人站成一圈傳球，每人只能傳給他的鄰人(左、右不限)，求A傳出(算第一次)后經(jīng)過(guò)十次傳球又回到A的概率.

(2) 雙重“身份”問(wèn)題：整二合一

題7已知等差數(shù)列{an}中，a3=2,a5=6，若正整數(shù)n1,n2,…,nt,…(t∈N*)滿足5

(3) 雙限問(wèn)題：①去雜法：無(wú)“限”馳騁、鋤“奸”務(wù)盡②直接法：突出主次、先后兼顧

題8有5人排成一排，要求其中甲不排在排頭且乙不排在排尾，則有多少不同的排法？

(4)雙時(shí)(約會(huì))問(wèn)題：構(gòu)建幾何模型

題9甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭.假設(shè)它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)碼頭是等可能的.如果甲船的停泊的時(shí)間是2小時(shí)，乙船停泊的時(shí)間是1小時(shí)，求兩船到達(dá)碼頭均不需要等待碼頭空出的概率.

(5)雙段(分段)函數(shù)問(wèn)題：先分后合、合二為一

(6)雙層復(fù)合問(wèn)題

(7)二項(xiàng)分布問(wèn)題

題12某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差.

“不斷地變換你的問(wèn)題”、“我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.”(波利亞)事實(shí)上，無(wú)論是哪種雙變問(wèn)題，我們一般都可以采用明確主次，變“二”為“一”，逐次突破的理念加以解決，其所謂“二即是一”.

3　溯源：“二”生長(zhǎng)于“一”

雙變問(wèn)題源自單變，尚若在單變問(wèn)題中，我們動(dòng)靜變換，化靜為動(dòng)，或者定變互換，化定為變，那單變就生長(zhǎng)為雙變，有時(shí)甚至也可直接由單變生長(zhǎng)為雙變.

題13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為()

本題是2007年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷選擇題壓軸題.據(jù)高考試卷命題組后來(lái)發(fā)布的命題情況說(shuō)明了解到，本題就是由如下問(wèn)題“生長(zhǎng)”而來(lái).

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域A的面積為()

4　結(jié)語(yǔ):“二”即是“一”，和諧統(tǒng)一

“二即是一”，其要義包含兩個(gè)層面：一、雙變問(wèn)題的突破，其本質(zhì)就是有效實(shí)現(xiàn)雙變至單變的轉(zhuǎn)化，達(dá)到未知到已知的飛躍；二、追根溯源，雙變問(wèn)題由單變?cè)杏?、生長(zhǎng)而來(lái).因此，“二”從“一”中來(lái)，必要回到“一”中去，“二”即是“一”，和諧統(tǒng)一.著名的數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”.數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程.因此，當(dāng)我們面對(duì)“雙變”問(wèn)題的挑戰(zhàn)時(shí)，我們不必驚慌失措，也不必“腳踩兩只船”，我們只需把持“重心”，采取變“二”為“一”的消元策略，實(shí)現(xiàn)由“雙變”到“單變”的有效轉(zhuǎn)化，從而不難達(dá)到解決此類(lèi)問(wèn)題的目的.可以說(shuō)，“兩面”，何須三刀？以思想的“快刀”宰亂麻足矣！

數(shù)學(xué)來(lái)自生活，作用于生活，引領(lǐng)著生活.雙變問(wèn)題的突破也啟示著同學(xué)們：當(dāng)人生中，面對(duì)紛繁復(fù)雜的挑戰(zhàn)時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)厘清主次，抓住矛盾的主體，排除干擾，集中力量解決好問(wèn)題的最主要矛盾，進(jìn)而逐一突破，實(shí)現(xiàn)成功.因此，引領(lǐng)學(xué)生突破雙變問(wèn)題，其既是知識(shí)的傳授，也是思想的啟發(fā)，更是學(xué)會(huì)生活的啟迪.這難道不就是我們數(shù)學(xué)教育追求的最本質(zhì)、最重要的價(jià)值嗎？