對數(shù)學問題2121的探究

李鳳清　張子衛(wèi)　張青山

(四川職業(yè)技術學院應用數(shù)學與經(jīng)濟系　629000)

數(shù)學問題2121在銳角三角形ABC中，求證：

設三角形ABC的面積為S，由于

我們由這個式子的結構聯(lián)想到著名的幾何不等式——佩多不等式.

佩多不等式對任意兩個三角形A1B1C1與三角形A2B2C2，|B1C1|=a1,|A1C1|=b1,|A1B1|=c1，|B2C2|=a2,|A2C2|=b2,|A2B2|=c2，記三角形A1B1C1的面積為S1，三角形A2B2C2的面積為S2，那么

(1)

僅當三角形A1B1C1與三角形A2B2C2相似時等號成立.

(2)

由此可見，問題2121可以推廣成下面命題.

pcotA+qcotB+rcotC≥4S

(3)

顯然，等號成立的條件也可以表示為

cotA:cotB:cotC

=(q+r-p):(p+r-q):(p+q-r).

定理1顯然與佩多不等式等價.因此，問題2121是佩多不等式的一個特例.

由(3)式可知

(pcotA+qcotB+rcotC)2≥16S2，

由于

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotB=1，

那么可得

(pcotA+qcotB+rcotC)2

≥16S2(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)，

令a=cotA,b=cotB,c=cotC，

就有(pa+qb+rc)2≥16S2(ab+bc+ca)，

我們提出下面問題.

(pa+qb+rc)2≥16S2(ab+bc+ca)

(4)

是否恒成立？

分析

1. 若ab+bc+ca≤0，(4)式顯然成立；

2.若ab+bc+ca>0，由于(4)式是一個三元二次齊次不等式，故可設ab+bc+ca=1.

第一種情況，a,b,c中至少有兩個正數(shù)，不妨設為a,b，則存在三角形ABC使

a=cotA,b=cotB,c=cotC(注：設兩個銳角A,B滿足a=cotA,b=cotB，那么

=cot [π-(A+B)]，

令C=π-(A+B)，

可見0

由定理1可知(4)式成立；

第二種情況，a,b,c全為負數(shù)，則存在三角形ABC使|a|=cotA,|b|=cotB,|c|=cotC，

由定理1可知(4)式成立；

第三種情況，a,b,c中有兩個負數(shù)，一個正數(shù)，不妨設a<0,b<0,c>0，那么

(pa+qb+rc)2≥16S2(ab+bc+ca)

結合互聯(lián)網(wǎng)大數(shù)據(jù)種類多、系統(tǒng)龐大和信息量大等特點建設共享時代的智慧城市，發(fā)展可持續(xù)增長經(jīng)濟?？v觀世界格局發(fā)展趨勢，世界多級化明顯。全球經(jīng)濟命運共同體的提出，為智慧城市大數(shù)據(jù)中心的建設鋪平了道路。智慧城市大數(shù)據(jù)中心的建設需要以互聯(lián)網(wǎng)技術為基礎，以大數(shù)據(jù)技術為載體，建立全球范圍內(nèi)的經(jīng)濟貿(mào)易聯(lián)系系統(tǒng)。智慧城市大數(shù)據(jù)中心的基礎就是互聯(lián)網(wǎng)技術[3]。智慧城市的建設與發(fā)展要在中國特色社會主義城市建設與發(fā)展的引導下，改革創(chuàng)新，因地制宜，努力探索出符合我國國情的現(xiàn)代化城市建設方針政策，各級政府部門也要積極配合智慧城市的建設工作，調(diào)動優(yōu)勢資源，充分發(fā)揮大數(shù)據(jù)中心數(shù)據(jù)收集平臺的消息傳遞快和信息量大的優(yōu)勢。

等價于

(p|a|+q|b|-rc)2

≥16S2[|a||b|+|b|(-c)+(-c)|a|]，

故存在三角形ABC使

|a|=cotA,|b|=cotB,-c=cotC，

由定理1可知(4)式成立.故以下命題成立.

證明由于

(qbcos 2R+rccos 2Q+pa)2+(qbsin 2R-rcsin 2Q)2

≥0，

那么

(pa)2+(qb)2+(rc)2+2(pa)(qb)cos 2R+

2(pa)(rc)cos 2Q+2(qb)(rc)(cos 2Rcos 2Q-

sin 2Rsin 2Q)≥0,

即

(pa)2+(qb)2+(rc)2+2(pa)(qb)cos 2R+

2(pa)(rc)cos 2Q+2(qb)(rc)cos (2R+2Q)≥0,

即

(pa)2+(qb)2+(rc)2+2(pa)(qb)cos 2R+

2(pa)(rc)cos 2Q+2(qb)(rc)cos 2P≥0,

即

(pa+qb+rc)2-4(pa)(qb)sin2R-

4(pa)(rc)sin2Q-4(qb)(rc)sin2P≥0,

即得

(pa+qb+rc)2≥16S2(ab+bc+ca).

易知等號成立的條件為

pa∶qb∶rc=sin 2P∶sin 2Q∶sin 2R，

即

a∶b∶c=(q+r-p)∶(p+r-q)∶(p+q-r).

對三角形ABC，|CA|=b,|CB|=a,|AB|=c，不妨設A,B為銳角，那么

pcotA+qcotB+rcotC

在定理2中令a=cotA,b=cotB,c=cotC，即可得到(3)式，即是說，由定理2可以得到定理1，說明定理1與定理2等價.

根據(jù)定理2即可將數(shù)學通報數(shù)學問題1885推廣為下面結論：

若三角形PQR的三邊長度分別為p,q,r，其面積為S，a,b,c為正數(shù)，則

由定理2即可得證.