高中數(shù)學(xué)集合問(wèn)題的解題技巧

李佳樂(lè)

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中集合屬于比較重要的內(nèi)容，剛開始學(xué)習(xí)只是了解一些相關(guān)概念，但是學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)了，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對(duì)集合概念的了解還是不夠透徹，這樣會(huì)對(duì)自己以后解答集合問(wèn)題有很大的影響。這里總結(jié)了關(guān)于高中數(shù)學(xué)集合概念常見(jiàn)的一些解題方法，供同學(xué)們參考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；集合概念；解題方法

本文從數(shù)學(xué)集合中定義法、數(shù)形結(jié)合、列舉法、具體化法等方面來(lái)解決問(wèn)題。

一、定義法

在高中集合問(wèn)題中選擇定義法解題，就是根據(jù)數(shù)據(jù)定義來(lái)解題，該方法是針對(duì)事物客觀、本質(zhì)的特點(diǎn)進(jìn)行解題，這也需要數(shù)學(xué)集合題具有明顯的數(shù)據(jù)定義特征，能夠直接、明了的突出是根據(jù)定義出題的。

例1：已知集合A={x|x2-4x+w=0}，B={x|x2+px+t=0}，其中A∪B={-1，3，5}，A∩B={-1}，求實(shí)數(shù)w，p，t的值。

解析：∵B∩A={-1}

∴-1∈A

將x=-1帶入x2-4x+w=0中，得到w=-5.

∴A={-1，5}，又A∪B={-1，2，3}

∴B={-1，3}.

∴（-1）+3=-p，（-1）×3=t，

∴p=-2，t=-3，w=-5。

變式：已知集合A={x|x2+dx+a=0}，B={x|x2+nx+6=0}，其中A∩B={2}，A∪B=B，求實(shí)數(shù)n，d，a的值。

解：∵A∪B=B，

∴A包含于B，而且A∩B={2}，將其帶入A和B集合方程內(nèi)，得到4+2d+a=0，n=-5.

所以，B={2，3}；

①A=B，所以d=n=-5，a=6；

②A與B不相等時(shí)，所以A={x|x2+dx+a=0}，只有一個(gè)解；即x2+dx+a=0有且只有一個(gè)解x=2；

d2-4a=0；4+2d+a=0；

所以：d=-4，a=4.

在解析集合問(wèn)題時(shí)，選擇分類討論方法，需要對(duì)結(jié)合概念掌握比較熟練，這樣才能更好的進(jìn)行解題。

二、數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于高中集合問(wèn)題，選擇數(shù)形結(jié)合法主要就是利用畫圖來(lái)幫助解題，這樣可以比較直觀的理解問(wèn)題，了解問(wèn)題的特點(diǎn)，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而找出解決方法。

例2 集合A={（x，y）|y≤-|x|+c}，B={（x，y）|y≥■|x-2|}，其中A∩B≠？覬.（1）求c的取值范圍；（2）假如x+2y最大的值是9，而且（x，y）∈A∩B，解出c的值。

解析：（1）根據(jù)上述兩個(gè)集合可以得到：集合A中y=-|x|+c的圖像，同時(shí)得到集合B中y≥■|x-2|圖像，見(jiàn)圖1，得到A∩B≠？覬，則c≥1.

（2） 設(shè)x+2y=d，則d≤9，將公式轉(zhuǎn)變?yōu)閥=-■+■，而■是y軸直線上的截距，d≤9，得到■≤■，因?yàn)椋▁，y）∈A∩B，所以，A∩B圖形中（0，■）是最高點(diǎn)，得到d=■

即c=■

如果是遇到兩個(gè)集合存在一定聯(lián)系的題型，可以選擇圖形解題的方式進(jìn)行解題。首先，我們要掌握?qǐng)D形解題的特點(diǎn)，其次，就是加深對(duì)問(wèn)題的理解，才能提高解題的效率。

三、列舉法

在解析集合題型時(shí)列舉法是屬于基本方法，這種方法一般是解一些特征顯著的題型，根據(jù)給出的題目將主要內(nèi)容進(jìn)行列舉，之后找到與題目存在聯(lián)系的元素，進(jìn)行解題。

例3：已知集合A={x|x2+dx+e≤0}，B={x|x2-2x-3>0}，而且B∪A=R，B∩A={x|3

解析：在結(jié)合B={x|x2-2x-3>0}

={x|x<-1或是x>3}

∵B∪A=R

∴A中至少有元素{x|-1≤x≤3}

∵B∩A={x|3

∴A={x|-1≤x≤3}

∴方程x2+dx+e=0中的兩個(gè)根是-1，4.

∴d=-3，e=-4.

即d和e的值分別是-3，-4.

解析這種類型的題，需要熟練掌握題目各元素的規(guī)律，根據(jù)自然數(shù)相關(guān)規(guī)律進(jìn)行解題。

四、具體化法

在結(jié)合題型中具體化法是比較重要的方法，它需要我們能夠?qū)⒊橄蟮膯?wèn)題具體化，在實(shí)際解題過(guò)程中，要能夠看懂題目的本質(zhì)。

例4：已知集合D={x|x=d+16，d∈Z}；E={x|x=2e-13，e∈Z}，W={x|x=2w+15，w∈Z}，則D、E、F滿足關(guān)系（）。

解析：分析1：分析題目中元素區(qū)別和共性。

分析2：因?yàn)镈集合是{x|x=d+16，d∈Z}，而E=={x|x=2e-13，e∈Z}。

根據(jù)集合W={x|x=2w+15=2W-13+28，w∈Z}，

所以D∩E=W。

五、結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)中集合是考察比較多的題型，關(guān)于集合解題的方法也比較多。在實(shí)際解題過(guò)程中，要做到經(jīng)常歸類和總結(jié)，熟練掌握各種解題的方法，這樣不僅可以提高個(gè)人解題速度，同時(shí)也能提高解題的成功率。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜衛(wèi)東.關(guān)于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)問(wèn)題的管見(jiàn)[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2016（2）：59-61.

[2]王躍輝.關(guān)于高中數(shù)學(xué)新舊教材“集合概念”編寫方式的比較分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（3）：1-3.