例談七年級學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

文思靜

直觀想象素養(yǎng)的形成能夠幫助學(xué)生發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，提升數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和問題解決意識.下面利用“數(shù)軸上的動點(diǎn)問題”闡述如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計來引導(dǎo)七年級學(xué)生發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)模式拋磚引玉.

一、直觀想象素養(yǎng)的概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中提出“應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想”.由此可見，新課標(biāo)注重學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生不僅能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，還可以增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識，從而提升數(shù)形結(jié)合的能力，同時也有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

二、以“數(shù)軸上的動點(diǎn)問題”為例，談直觀想象

素養(yǎng)的培養(yǎng)

例已知點(diǎn)P、Q在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-8，4，點(diǎn)P以每秒2個單位的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，運(yùn)動時間為ts.

（1） 若點(diǎn)P、Q同時向右運(yùn)動2s，則點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)P、Q之間的距離是個單位.

（2）經(jīng)過s后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合.

（3）試探究：經(jīng)過多少秒后，P、Q兩點(diǎn)間的距離為14個單位.

1.認(rèn)知分析

該題第（1）問考查的是學(xué)生對“數(shù)軸”的理解以及數(shù)與形的結(jié)合，大部分學(xué)生都能正確答出“-4”和“10”.第（2）問考查的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想，因?yàn)轭}中沒有給出點(diǎn)P，Q的移動方向，所以要使點(diǎn)P、Q重合有兩種方式，大部分學(xué)生只答出一種；其次，第（2）問還間接考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的表示和函數(shù)方程思想.第（3）問與第（2）問考查的基本數(shù)學(xué)知識相同，它的分類討論體現(xiàn)為存在4種情況使得P、Q兩點(diǎn)間的距離為14個單位，學(xué)生都難列舉出所有情況.

2.設(shè)計過程

（Ⅰ）數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的絕對值的幾何表示和代數(shù)表示

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，這也是擺在學(xué)生面前數(shù)與形連接的第一道大門.首先給學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)與原點(diǎn)的位置情況，共兩大類，其中點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b.一大類為A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)，這一類分為在原點(diǎn)的左側(cè)和在原點(diǎn)的右側(cè)兩種情況；另一大類為A，B兩點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，這一類分為A左B右和A右B左兩種情況.

接著引導(dǎo)學(xué)生得出以上四種情況中A，B兩點(diǎn)的距離，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些距離可以表示成a-b，或b-a.這時再讓學(xué)生觀察數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的位置與其距離表達(dá)式的關(guān)系，多數(shù)學(xué)生都能回答出：“若數(shù)a在數(shù)b的右側(cè)，則距離為a-b；若數(shù)b在數(shù)a的右側(cè)，則距離為b-a.”此時再乘勝追擊總結(jié)出“數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)距離可表示為實(shí)數(shù)|a-b|（a、b分別為點(diǎn)A，B表示的數(shù)）”，同時解釋“無論是a>b或b>a，都可以用|a-b|表示兩點(diǎn)之間的距離”.緊接著聯(lián)系實(shí)際生活，把學(xué)校視為A點(diǎn)，家視為B點(diǎn)，若要求學(xué)校與家的距離，則可以做一條過A，B的直線，在直線上選擇適合的原點(diǎn)，單位長度，正方向，此時A，B分別對應(yīng)與數(shù)軸上的數(shù)a，數(shù)b，A，B兩點(diǎn)距離可表示為實(shí)數(shù)|a-b|.在講解該數(shù)學(xué)知識的時候，用呈現(xiàn)的數(shù)軸以及聯(lián)系實(shí)際情境給予學(xué)生直觀的感受，并培養(yǎng)其抽象概括的能力.

（Ⅱ）根據(jù)實(shí)例體會|a-b|（a，b分別為點(diǎn)A，B表示的數(shù)）可表示為數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的距離

a.|x|=2可以表示為|x-0|=2，即其幾何意義為到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)有哪些，則該點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)為x=±2.

b.|x-2|=3的幾何意義為到實(shí)數(shù)2的距離為3的點(diǎn)有哪些，則該點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)為x=2±3.

將上述例子概括化可得：如何從代數(shù)的角度直接解|x-2|=3的方程.由于經(jīng)過了前面實(shí)例的鋪墊，學(xué)生可以很好理解|x-2|=3化為x-2=±3，最后得到x=2±3的過程.這個實(shí)例的設(shè)計是為講解例題作鋪墊.

（Ⅲ）講解例題

例題涉及“數(shù)軸上的動點(diǎn)問題”，初中生在“借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律”方面仍不完善，因此可以借助直觀想象引導(dǎo)學(xué)生，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，進(jìn)而解決問題.

第（1）問可根據(jù)數(shù)軸講解，向右運(yùn)動則在原數(shù)

的基礎(chǔ)上“加”，向左運(yùn)動則“減”.點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，并以每秒2個單位的速度向右運(yùn)動2s，則點(diǎn)P現(xiàn)在的位置為-8+2×2=-4，同理點(diǎn)Q現(xiàn)在的位置為4+1×2=6，故|PQ|=|（-4）-6|=10.

第（2）問以相遇和追及直觀想象的手勢為主，數(shù)軸為輔進(jìn)行講解.要使點(diǎn)P、Q重合，且點(diǎn)P的速度比點(diǎn)Q快，則有兩種情況，第一種是相向行駛的相遇問題，即點(diǎn)P向右、點(diǎn)Q向左，兩點(diǎn)相向而行；第二種是同向行駛的追擊問題，即點(diǎn)P向右、點(diǎn)Q向右.故若用小學(xué)學(xué)過的方法解答，則：（1）P向右Q向左時，時間=路程÷速度和=12÷（2+1）=4（s）；（2）P向右Q向右時，時間=路程÷速度差=12÷（2-1）=12（s）.

若用設(shè)方程來解答，則設(shè)經(jīng)過ts后，點(diǎn)P、Q重合.P向右Q向左時，ts后，點(diǎn)P的位置為（-8）+2t，點(diǎn)Q的位置為4-t，因此|PQ|=|（-8+2t）-（4-t）|=0，解得t=4s.P向右Q向右時，ts后，點(diǎn)P的位置為（-8）+2t，點(diǎn)Q的位置為4+t，因此|PQ|=|（-8+2t）-（4+t）|=0，t=12s.

對于七年級學(xué)生來說，用小學(xué)方法更容易理解，也更簡單，但講解第二種代數(shù)方法不僅為第（3）問作鋪墊，也可以讓學(xué)生體會方程和函數(shù)的思想，有利于以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

第（3）問同樣以相遇和追及直觀想象的手勢展示為主，數(shù)軸為輔來講解.首先詢問學(xué)生：“在同一條道路上的兩個同學(xué)如何從距離12個單位變?yōu)榫嚯x14個單位？”解決該問題的思維仍從相向而行和同向而行兩個方面著手.因?yàn)閷W(xué)生對“點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)間的距離為14個單位”理解不透徹，大多數(shù)都認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)P、Q重合后便不再運(yùn)動了，因此在引導(dǎo)學(xué)生想象的過程中輔以口頭講解和手勢演示更有效.突破了問題的實(shí)際背景的可能性后，再應(yīng)用相遇問題的公式或解方程的辦法實(shí)現(xiàn)問題的圓滿解答（具體解答過程略）.

三、小結(jié)與思考

該例題富有教育價值，它考查了數(shù)軸、絕對值、整式加減、解方程、路程問題等數(shù)學(xué)知識，同時它滲透了數(shù)形結(jié)合、方程和函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.若學(xué)生真正理解了該題，則其在直觀想象素養(yǎng)方面將有所提高，首先能夠借助數(shù)軸和空間認(rèn)識到兩數(shù)的位置變化和運(yùn)動規(guī)律，其次利用已學(xué)知識建立數(shù)與形的聯(lián)系，將兩點(diǎn)的位置問題轉(zhuǎn)化為解絕對值有關(guān)方程的問題或轉(zhuǎn)化為路程與速度和差的問題；最后構(gòu)建出該問題的實(shí)際直觀背景模型，并進(jìn)行邏輯推理來解決問題.由于七年級學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)發(fā)展不夠完善，在設(shè)計講解的過程中，要充分考慮學(xué)生已有知識水平，一步一步引導(dǎo)其對新知識的理解，從而提高知識遷移的速度.