數(shù)形結(jié)合，我的數(shù)學(xué)解題法寶

吳秋霖

縱觀做過(guò)的高中數(shù)學(xué)題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果.尤其是在解方程和解不等式問(wèn)題、求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題，以及求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，不僅通過(guò)圖形能發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，可以大大提高做題的速度與正確率.

一、由數(shù)變形

由數(shù)變形在解題過(guò)程中一般是根據(jù)不等式，做出不等式表示的區(qū)域，根據(jù)圖形得到問(wèn)題的答案.

例1已知：x，y∈R，且x2+y2+2y≤0，求證：x2+y2+6x+8>0.

解析：在直角坐標(biāo)系中，已知條件可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋簒2+（y+1）2≤1，表示圓心在（0，1），半徑為1的圓面區(qū)域.求證式為（x+3）2+y2>1，表示半徑為1，圓心為（-3，0）的圓的外部.從圖形可知，圓面x2+（y+1）2≤1上的點(diǎn)在圓（x+3）2+y2>1的外部，所以x2+y2+6x+8>0成立.

二、由形變數(shù)

一般應(yīng)用于函數(shù)值域或某些系數(shù)的求解.

例2已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+x（a，b∈R且ab≠0）的圖象如圖1，且|x1|>|x2|，則有（）.

A.a>0，b>0

B.a<0，b<0

C.a<0，b>0

D.a>0，b<0

解析：由圖知兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2.從而得導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax2+2bx+1的圖象是開(kāi)口向下、與x軸交于點(diǎn)（x1，0）、（x2，0）的拋物線.又由圖得a<0，從而可以判斷a，b，c的符號(hào).由圖象可知：

x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）

f（x）↘極小值↗極大值↘

f′（x）-0+0-

因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax2+2bx+1的圖象是開(kāi)口向下、與x軸交于點(diǎn)（x1，0）、（x2，0）的拋物線，所以a<0，x1+x2=2b3a.由x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，知：x1+x2=2b3a，所以b<0.答案為B.

三、數(shù)形等價(jià)

在高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，由形觀察數(shù)或由數(shù)構(gòu)造圖，離不開(kāi)“觀察”、“構(gòu)造”，需要數(shù)形等價(jià)進(jìn)行嚴(yán)格邏輯推理，防誤求優(yōu).

例3方程x13=2sinx的實(shí)根的數(shù)量是（）.

A.3B.7C.5D.9

解析：應(yīng)用圖象法，作函數(shù)y=2sinx和y=x13的圖象（如圖2）.

兩函數(shù)為奇函數(shù)，只需要繪制x≥0的部分即可，又因當(dāng)x>8時(shí)，x13>2≥2sinx，兩者不可能有交點(diǎn).所以圖形只取[0，3π]一段即可，圖形中除原點(diǎn)外，還有3個(gè)交點(diǎn)，由奇函數(shù)性質(zhì)可知實(shí)數(shù)根為7個(gè).但是，當(dāng)x=18時(shí)，1813=12>2·18>2sin18，在[0，π2]內(nèi)還有一交點(diǎn)，由奇函數(shù)性質(zhì)可知答案為9個(gè)實(shí)數(shù)根.答案為D.

四、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換

在高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，以動(dòng)求靜，以“動(dòng)”觀點(diǎn)看待“靜”問(wèn)題，將常數(shù)看作是變量的取值，靜止?fàn)顟B(tài)是運(yùn)動(dòng)中的“瞬間”，也可以靜制動(dòng)，用字母表示無(wú)限取值，用方程表示動(dòng)點(diǎn)軌跡，用不等式描述變量極限趨勢(shì)，用函數(shù)反映事物關(guān)系.動(dòng)靜轉(zhuǎn)換策略表現(xiàn)為不變量、定值探求、軌跡相交、初步變換、遞推法、局部調(diào)整法、交換法等.

例4一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，6），且與已知圓x2+y2-4x-8y+15=0相切于點(diǎn)A（3，6），求圓的方程.

解析：化靜為動(dòng)，A（3，6）為圓（x-3）2+（y-6）2=R2趨于0的極限值，那么過(guò)圓（x-3）2+（y-6）2=R2且與已知圓相交的圓方程為：（x-3）2+（y-6）2-R2+λ（x2+y2-4x-8y+15）=0.將B（5，6）代入，且令R=0，得出λ=-12，代入x2+y2-8x-16y+75=0.

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的基本思想，在具體解題中需要具體問(wèn)題具體分析，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題化易、化簡(jiǎn)、化熟是解題根本.