巧解含1個(gè)或多個(gè)參數(shù)的方程或不等式

何治宣

參數(shù)方程和不等式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文結(jié)合初中教學(xué)實(shí)踐過(guò)程，對(duì)巧解含1個(gè)或多個(gè)參數(shù)的方程或不等式的方法進(jìn)行了闡述，以讓學(xué)生學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單方法解答問(wèn)題，提高解題的效率.

一、整體代入思想方法解參數(shù)方程

整體代入思想是一種非常重要而又常見(jiàn)的方法，特別是在解含一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的方程或不等式中真實(shí)地顯現(xiàn)出了它的優(yōu)越性.

例1解關(guān)于x的方程：ax+b=bx+a（其中a≠b，且a，b為常數(shù)）.

分析：該方程是關(guān)于x且含有兩個(gè)參數(shù)的一元一次方程，要想分別求出參數(shù)a，b的值是不可能的，故而采用整體代入思想.

解：∵ax+b=bx+a，

∴（a-b）x=a-b.

又∵a≠b，

∴a-b≠0.

∴x=a-ba-b=1.

因此，原方程的解為x=1.

例2已知1a-1b=1，求a+2ab-ba-4ab-b的值.

分析：該題是一個(gè)方程含兩個(gè)未知數(shù)，同樣，要分別求出a，b的值是不太可能，因此可考慮將待求式適當(dāng)變形，然后將已知條件整體代入.

解：∵1a-1b=1，

∴b-aab=1，即b-a=ab.

∴a-b=-ab.

∴原式=a-b+2aba-b-4ab=-ab+2ab-ab-4ab=ab-5ab=-15.

二、最值法解含參數(shù)的不等式

最值法就是首先考慮函數(shù)的最大值或最小值，只要我們所求的參數(shù)大于該函數(shù)的最大值或小于函數(shù)的最小值便可以求出參數(shù)的取值范圍.

例3若關(guān)于x的不等式|x|+2≥a對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則a的取值范圍是多少？

解：令y=|x|+2.

∵x∈R，

∴y=|x|+2≥2.

∴ymin=2.

∴只需a≤ymin=2，即可恒成立.

∴a≤2.

例4若關(guān)于x的不等式-x2-2x+3≤m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是多少？

解：令y=-x2-2x+3，顯然該表達(dá)式是y關(guān)于x的一元二次函數(shù)，所以只要我們求出該二次函數(shù)的最大值即可.

∵y=-x2-2x+3，

∴y=-（x+1）2+4.

∵x∈R，

∴ymax=4.

∴只需m≥ymax即可.

∴m≥4.

三 、利用判別式△=b2-4ac≥0解參數(shù)的取值

范圍

一元二次方程是初中的重要知識(shí)，在中考中占有很大的分值，所以是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn).其中判別式的應(yīng)用是解決二次函數(shù)的有力工具，教師在教學(xué)過(guò)程中要重點(diǎn)關(guān)注.

例5已知關(guān)于x的方程x2-2ax+a2+a-1=0.

（1）若該方程有兩個(gè)相等實(shí)根，求a的取值范圍；

（2）若該方程有兩個(gè)相異實(shí)根，求a的取值范圍；

（3）若該方程無(wú)實(shí)根，求a的取值范圍.

解：（1）由題意知△=（-2a）2-4（a2+a-1）

=4a2-4a2-4a+4

=-4a+4.

由△=0得-4a+4=0.所以a=1.

（2）由題意得：△=-4a+4>0，得a<1.

（3）由題設(shè)可得：△=-4a+4<0，得a>1.

含參數(shù)的方程或不等式問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)的確存在一定的困難，但只要掌握一些常用的解題方法和技巧，遇到問(wèn)題時(shí)認(rèn)真分析，解決問(wèn)題也是很輕松的事情.