巧借三角換元 妙解高考試題

☉江蘇省張家港市塘橋高級中學(xué) 周 浩

換元思想是一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法，而三角換元是其中最重要的一種.經(jīng)常借助三角換元，把題中的相關(guān)代數(shù)、向量、幾何等問題轉(zhuǎn)化為三角問題，選擇一些合適的三角函數(shù)（或三角函數(shù)式）去代換關(guān)系式中的變數(shù)，由自變量的范圍限制角的范圍，利用三角函數(shù)中的相關(guān)知識，將所求問題化歸為三角問題，用來解決相關(guān)問題中的最值問題或取值范圍問題等，是實現(xiàn)解題目標(biāo)的一種非常有效的轉(zhuǎn)化策略.特別在高考中，經(jīng)常采用三角換元來解決相應(yīng)的問題.

一、代數(shù)式中的三角換元

例1 （2017年北京卷）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則x2+y2的取值范圍是______.

分析：結(jié)合條件x+y=1加以三角換元，通過代數(shù)式x2+y2的三角變換，利用三角函數(shù)的相關(guān)公式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定其取值范圍問題.

點評：解決本題的方法較多，各有特色，各有所長.而根據(jù)三角關(guān)系式sin2α+cos2α=1，很自然地聯(lián)想到引入三角元素，采用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識來解決問題.

二、向量中的三角換元

例2 （2017年浙江卷）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

分析：結(jié)合條件|a|=1，很自然聯(lián)系起a=（cosα，sinα），進而借助三角換元思想，把相應(yīng)的平面向量的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)知識，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定平面向量中的最值問題.

解析：設(shè)a=（cosα，sinα），b=（2，0），則a+b=（cosα+2，sinα），a-b=（cosα-2，sinα），

點評：在解決平面向量問題時，往往通過構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的條件引入三角元素，通過三角換元，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算與模運算等來轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系式問題，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定最值問題.

三、解析幾何中的三角換元

例3（2017年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上.若P—→A·P—→B≤20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是______.

分析：根據(jù)點P在圓上的條件引入三角元素，設(shè)出相應(yīng)的三角參數(shù)坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積公式建立不等關(guān)系，并結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式來確定cosα的取值范圍，進而數(shù)形結(jié)合來確定點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

點評：在解析幾何中，往往結(jié)合直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程等引入三角元素，結(jié)合相應(yīng)方程的三角參數(shù)，把解析幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，也是解決一些解析幾何中的最值問題比較常見的一種思維方式.

四、實際應(yīng)用中的三角換元

例4（2017年全國卷Ⅱ）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM·||OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值.

分析：（1）通過化曲線C1的直角坐標(biāo)方程，設(shè)出點P，M的坐標(biāo)，通過條件建立關(guān)系式，化簡即可得點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)點B在圓C上引入三角元素，通過三角換元，結(jié)合三角形的面積公式轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系式，進而確定△OAB面積的最大值.

解析：（1）設(shè)P的直角坐標(biāo)為（x，y），曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x=4.因為O，P，M三點共線，則點M的坐標(biāo)為

因為x＞0，化簡整理可得x2+y2-4x=0（x≠0），

因此C2的直角坐標(biāo)方程為（x-2）2+y2=4（x≠0）.

（2）在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，則直線OA的方程為設(shè)點B的坐標(biāo)為（x，y），則點B到直線OA的距離為

又|OA|=2，則△OAB面積

又點B在圓C：（x-2）2+y2=4（x≠0） 上，可設(shè)B（2+2cosα，2sinα），

所以△OAB面積的最大值為

點評：在解決一些相關(guān)應(yīng)用問題中，經(jīng)常通過借助三角換元思想，依據(jù)題設(shè)的特殊性，適當(dāng)引入角參數(shù)，由自變量的范圍限制角的范圍，利用同角關(guān)系和三角變化等，將相應(yīng)的應(yīng)用問題化歸為三角問題來解決，達(dá)到目的.

其實，三角換元的優(yōu)點在于通過對題中條件或結(jié)構(gòu)的有規(guī)律的“模式識別”，充分利用題目中的有效信息，積極思考，自主構(gòu)建合適合理的解題方法，加強對數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想的理解和認(rèn)識.因此，在教學(xué)實踐過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)特征的分析和把握，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，這樣對學(xué)生的全面解題能力的發(fā)展將大有裨益.H