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    課堂意外是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的絕佳時機
    ——以一堂函數(shù)圖像的探究課為例

    2018-05-29 10:41:52浙江省寧波市北侖中學毛浙東
    中學數(shù)學雜志 2018年9期
    關(guān)鍵詞:逆時針直角坐標坐標系

    ☉浙江省寧波市北侖中學 毛浙東

    自從高中課標修訂組提煉出六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”以來,我們廣大的一線教師積極響應,在課堂教學設計中,融入了很多核心素養(yǎng)的元素,這是令人欣喜的.

    記得章建躍先生曾說:“數(shù)學課改的核心任務是提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng),要把數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育落實在數(shù)學教育的各個環(huán)節(jié).”王尚志教授也指出:“培養(yǎng)并提升核心素養(yǎng),需要理解、感悟,需要主動、自覺地將‘學生為本’的理念與教學實際有機結(jié)合.”

    既然要將核心素養(yǎng)的培育落實到教育的各個環(huán)節(jié),那我們不能只把目光集中在課堂預設中;既然我們要主動、自覺,將“學生為本”的理念與教學實際有機結(jié)合,我們就應該更多地關(guān)注課堂中的意外生成.

    其實,課堂意外正是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的絕佳時機.下面,筆者就以自己執(zhí)教的一堂函數(shù)圖像的探究課為例,來與各位同行一起探討一下,如何在課堂意外中捕捉培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的機會,希望能拋磚引玉.

    一、課堂實錄

    (一)踏破鐵鞋無覓處——課堂意外,喜得方法

    師:我們今天來探究形如的函數(shù)的圖像和性質(zhì).下面我們先來研究特殊情形:即研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).

    當筆者利用描點法畫出了圖1,并想繼續(xù)往下講解時,忽然聽到學生1的笑聲.

    圖1

    圖2

    筆者估計生1可能發(fā)現(xiàn)了什么,便示意他起身回答.

    生1:這不是被擠扁了的反比例函

    師:你挺有想象力嘛,不過今天我們研究的這個函數(shù)叫做“對勾函數(shù)”,和反比例函數(shù)還是有所區(qū)別的.

    生1:沒什么區(qū)別啊,就是被擠壓后的反比例函數(shù)嘛.

    筆者一聽來了興致,便繼續(xù)追問.

    師:那你說說看,它是怎樣被擠壓的呢?

    生1:函數(shù)在平面直角坐標系xOy中的圖像如圖2所示.如果將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,即將平面直角坐標系xOy擠壓變形得到新的坐標系x′Oy.那么在新坐標系中,函數(shù)的圖像其實就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=.也就是說,要得到函數(shù)的圖像,只需先畫出函數(shù)y的圖像,然后把x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,跟著被擠壓變形的函數(shù)的圖像就是的圖像.

    (二)莫畏浮云遮望眼——適時引導,摸索規(guī)律

    師:這位同學旋轉(zhuǎn)坐標軸的方法倒是蠻有創(chuàng)意,剛剛他將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)了45°,那如果我們將x軸順時針旋轉(zhuǎn)45°,又會得到什么結(jié)論呢?

    在教師的啟發(fā)下,學生展開了探究,不一會就有學生舉手.

    生2:我按照生1的方法,先作出函數(shù)的圖像,將x軸按順時針旋轉(zhuǎn)45°,得到新坐標系x′Oy,則在新坐標系中原函數(shù)的圖像被拉伸成了新函數(shù),其圖像如圖3所示,它恰好就是函數(shù)的圖像.

    圖3

    師:很好,對于原函數(shù),若將x軸按照逆時針旋轉(zhuǎn)45°,就能得到的圖像,將x軸按照順時針旋轉(zhuǎn)45°,就能得到的圖像.那我們?nèi)绻麑⒃瘮?shù)改變一下,比如改成,那剛才的旋轉(zhuǎn)作圖是否還有效呢?

    生3:如果將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,被拉伸后的函數(shù)y=的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)的圖像,如圖4所示;如果將x軸順時針旋轉(zhuǎn)45°,跟著被擠壓后的函數(shù)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)的圖像,如圖5所示.

    圖4

    圖5

    師:很好,看來改變原函數(shù)的解析式,這種旋轉(zhuǎn)的規(guī)律依然適用,現(xiàn)在不妨換一個角度,我們每次是否只能旋轉(zhuǎn)45°,比如旋轉(zhuǎn)30°行不行呢?大家不妨探究一下.

    生4:對原函數(shù)將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°,被擠壓后的函數(shù)的圖像就是在原坐標系xOy中的函數(shù)y=的圖像,如圖6所示.同理,將x軸順時針旋轉(zhuǎn)30°,被拉伸后的函數(shù)圖像就是在原坐標系xOy中的的圖像,如圖7所示.

    圖6

    圖7

    師:你能夠驗證剛才的猜想嗎?

    生4:利用計算機畫出函數(shù)與函數(shù)y=的圖像,我們發(fā)現(xiàn)恰好是函的圖像的漸近線,這可以說明將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°,函數(shù)就被擠壓成

    師:不錯,那大家是否能據(jù)此歸納出更一般性的結(jié)論呢?

    經(jīng)過交流討論,學生得出了如下的定理.

    定理:在平面直角坐標系xOy中,保持y軸不動,將x軸按逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),則跟著被擠壓(或拉伸)后的函數(shù)k≠0)的圖像就是原坐標系xOy中的函+tanα·x(k≠0,0°<α<90°)的圖像;將x軸順時針旋轉(zhuǎn)α,則擠壓(或拉伸)后的函數(shù)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)-tanα·x(k≠0,0°<α<90°)的圖像.

    (三)宜將剩勇追窮寇——繼續(xù)探究,擴大戰(zhàn)果

    經(jīng)過進一步探究,學生發(fā)現(xiàn),這不僅只是對反比例函數(shù)擠壓(或拉伸)才有效,對任意的冪函數(shù)y=xn,如果將x軸進行旋轉(zhuǎn),都有類似的結(jié)論成立.

    推論1:在平面直角坐標系xOy中,保持y軸不動,將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),則跟著被擠壓(或拉伸)后的函數(shù)y=kxn(k∈R,n∈R)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=kxn+tanα·x(k∈R,n∈R,0°<α<90°)的圖像;將x軸順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),則擠壓(或拉伸)后的函數(shù)y=kxn(k∈R,n∈R)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=kxn-tanα·x(k∈R,n∈R,0°<α<90°)的圖像.

    比如,在平面直角坐標系xOy中,將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,則函數(shù)y=x2的圖像也跟著變形,得到了函數(shù)y=x2+x的圖像,如圖8所示.

    其實,對任意的函數(shù)f(x),也有這樣的結(jié)論,見推論2.

    圖8

    圖9

    推論2:在平面直角坐標系xOy中,保持y軸不動,將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),則跟著被擠壓(或拉伸)后的函數(shù)y=f(x)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=f(x)+tanα·x(0°<α<90°)的圖像;將x軸順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),則擠壓(或拉伸)后的函數(shù)y=f(x)的圖像就是原坐標系xOy中的函數(shù)y=f(x)-tanα·x(0°<α<90°)的圖像.

    比如,在平面直角坐標系xOy中,畫出函數(shù)y=sin x的圖像,現(xiàn)將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,則原函數(shù)y=sin x的圖像也跟著變形,得到了函數(shù)y=sin x+x的圖像,如圖9所示.

    (四)吹盡狂沙始到金——深入思考,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

    師:保持y軸不動,對x軸旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°),其實質(zhì)是將原坐標平面內(nèi)的每一個點(x,y)進行了怎樣的變換呢?

    生:其實就是把點(x,y)變成了點(x,y+tanα·x).

    師:同學們,那我們能否據(jù)此給坐標軸的旋轉(zhuǎn)下一個定義呢?

    經(jīng)過提煉與修正,學生最終得出了如下的定義.

    坐標軸旋轉(zhuǎn):在平面直角坐標系中,保持y軸不動,對x軸旋轉(zhuǎn)角度α(-90°<α<90°),等價于將坐標平面內(nèi)的任意一個點P(x,y)對應成新的點P′(x,y+tanα·x).

    根據(jù)此定義,我們就不難理解剛才得到的定理與推論了.

    此時課堂已近尾聲,但學生的探究熱情未減,于是筆者干脆讓同學們在課后繼續(xù)分組研究,下面是其中一個小組極具創(chuàng)意的成果.

    (五)喜看稻菽千重浪——課后研究,再結(jié)碩果

    A小組的研究成果:

    我們把情況從二維跨越到三維,想象現(xiàn)在眼前有一個空間直角坐標系,其中O為原點,x軸,y軸,z軸兩兩垂直,那么空間中的每一個點都能被準確定位.在日常生活中,這已滿足我們的需要.但在不同的環(huán)境下,一些超強的引力興許會扭曲這個時空,地球也不例外.

    比如,在地球中,物體都會受到地球的萬有引力的影響.

    如圖10,這是一座鐘塔,一開始,兩個鐘被調(diào)到相同的時間.但過了幾十年、幾百年,會發(fā)現(xiàn)上面的時間與下面所顯示的相差了幾秒.鐘當然沒有問題,問題出在兩個鐘所在的時空受地球引力的影響而發(fā)生了扭曲,從而導致經(jīng)過的時間存在了差異.

    若在某三維空間附近存在一強引力(比如,較大的恒星或黑洞),那么此三維空間便不再正常,即時空會出現(xiàn)扭曲.現(xiàn)以O為原點建立空間直角坐標系,則空間的扭曲可看作是將某個(或某幾個)坐標軸進行了旋轉(zhuǎn),于是我們可以用到之前得出的結(jié)論,即變化量分別為tanα·x或tanα·y或tanα·z.此時,若要求在強引力附近某物體的運動軌跡,我們就可以用坐標軸旋轉(zhuǎn)的定義來解決.

    圖10

    舉個例子,假設某物體初始時是呈直線運動的,為了簡單起見,我們假設其運動軌跡為直線y=x,在經(jīng)過強引力附近時,若x軸發(fā)生了扭曲,設扭曲角為α(-90°<α<90°),則我們就可以計算出物體的實際運動軌跡為y=x+tanα·x.

    二、教學感悟

    本堂課筆者本希望能與學生共同研究函數(shù)y=(ab≠0)的圖像與性質(zhì),卻止步于畫圖環(huán)節(jié),真可謂是意外.但失之東隅卻收之桑榆,本課雖然沒有完成預設的教學任務,卻更好地培養(yǎng)了學生的數(shù)學核心素養(yǎng),而且站在整個高中教學的視野下看,這樣的課堂意外,少了刻意的雕琢,多了靈氣的原生態(tài),反而對學生的學習品質(zhì)的養(yǎng)成更為有利.

    (一)順水推舟,培育學生的直觀想象能力

    直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.它主要包括:借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系等.

    在本課中,教師原本預設了用描點作圖的方法來得到函的圖像,但學生卻意外地提出了旋轉(zhuǎn)法,此處的課堂生成是非常有價值的.我們知道,描點法雖然可以做到精細化作圖,但缺少了圖像動態(tài)變化的過程,失去了培育學生直觀想象力的大好機會.空間想象可分為靜態(tài)圖形的想象和動態(tài)圖形的想象,其中動態(tài)圖形的想象更為復雜,對思維要求更高,學生舍棄了相對“靜態(tài)”的描點法,采用了更為“動態(tài)”的旋轉(zhuǎn)法,不失為一種上乘的選擇.同時,教師在課堂中順水推舟,營造民主的學習氛圍,讓學生放開手腳大膽探索,讓學生的想象力得以自由釋放,從而探究出林林總總旋轉(zhuǎn)后的圖形,極大地培育了學生的直觀想象能力.

    (二)適時引導,提升學生的數(shù)學抽象能力

    數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學研究對象的思維過程.它主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征.

    在本課中,教師不斷改變函數(shù)的解析式,并適時引導學生從一個個具體的函數(shù)中抽象出最本質(zhì)的屬性,最終發(fā)現(xiàn)了圖形的旋轉(zhuǎn)與函數(shù)解析式之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),從而得到了一般性的結(jié)論.這個過程就是數(shù)學抽象的過程,在這個抽象過程中,既有對圖形的抽象提煉,也有對代數(shù)解析式的抽象提煉,更有圖形和代數(shù)解析式之間關(guān)聯(lián)性的抽象提煉,可謂是把抽象思維的培育做到了淋漓盡致.

    比如,從旋轉(zhuǎn)45°,到旋轉(zhuǎn)30°,再到旋轉(zhuǎn)α,這些是對圖形特征進行抽象提煉;而從具體的反比例函數(shù)到一般的反比例函數(shù)再到函數(shù)y=kxn,最后推廣到函數(shù)y=(f x),則是對代數(shù)解析式的抽象提煉;至于將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,對應著函數(shù)解析式值增加了x,從而抽象出將x軸逆時針旋轉(zhuǎn)α,對應著函數(shù)解析式增加了tanα·x,則是對圖形和代數(shù)解析式之間關(guān)聯(lián)性的抽象提煉,而坐標軸旋轉(zhuǎn)定義的形成更是將這種形與數(shù)之間關(guān)聯(lián)性的提煉推向了高潮.

    (三)搭建平臺,發(fā)展學生的數(shù)學建模能力

    數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.它主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模型,最終解決實際問題.

    由于課堂時間有限,教師鼓勵學生在課后繼續(xù)進行分組探究,教師搭建了平臺,學生則登臺唱戲.每個研究小組都獲得了各自的研究成果,以A小組的研究成果為例,學生從實際問題出發(fā),將課堂中二維坐標系的旋轉(zhuǎn)升級為了三維空間坐標系的旋轉(zhuǎn),并給出了扭曲的時空中運動物體的定位方法,雖然觀點略顯稚嫩和粗糙,但難能可貴的是,學生已經(jīng)學會了運用數(shù)學的眼光來看待實際問題,用數(shù)學的方法來分析實際問題,用數(shù)學的模型來刻畫實際問題.學生的數(shù)學建模能力在合作研究中得以發(fā)展,學生的數(shù)學視野也在交流碰撞中得以開闊.

    1.水菊芳.基于數(shù)學核心素養(yǎng)的課堂數(shù)學意識的構(gòu)建[J].數(shù)學通報,2016(11).

    2.任偉芳.為培育核心素養(yǎng),凸顯概念教學過程而設計[J].中學數(shù)學教學參考,2016(11).

    3.毛浙東.把握動態(tài)生成,構(gòu)建和諧課堂[J].中學數(shù)學教學參考,2008(9).

    4.毛浙東.數(shù)學概念課我們?nèi)绾紊系镁剩跩].中學數(shù)學,2010(6).F

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