數(shù)學(xué)教學(xué)：為理解而教，為理解而學(xué)
——“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的成因分析及應(yīng)對(duì)策略

☉四川省攀枝花市第十二中學(xué)校 張勇輝

一、問題提出

“懂、會(huì)、對(duì)”反映學(xué)生理解問題、解決問題的不同層次，由低到高呈遞進(jìn)關(guān)系.“懂”是“會(huì)”的基礎(chǔ)，“真對(duì)”是“真懂”和“真會(huì)”的必然.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們總為一個(gè)普遍現(xiàn)象而苦惱，那就是學(xué)生“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”.這種現(xiàn)象到底是如何形成的？如何能有效地消減這種現(xiàn)象？許許多多的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了大量的探究.筆者截取了日常教學(xué)的一些教學(xué)片段，選擇了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一些常見的例習(xí)題，來分析學(xué)生學(xué)習(xí)中“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的成因，探尋教學(xué)應(yīng)對(duì)策略.

二、“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的成因分析

例1 已知向量a，b，c為非零向量，求證：a·b=a·c?a⊥（b-c）.（高中數(shù)學(xué)人教A版必修4第二章《平面向量》P108習(xí)題2.4B組第一題）

學(xué)生在做這個(gè)題的時(shí)候基本上沒有出錯(cuò)，解題思路如下：a⊥（b-c）?a·（b-c）=0?a·b-a·c=0?a·b=a·c.解題思路清晰流暢，向量垂直的條件、向量的數(shù)量積的運(yùn)算用得到位，可以說是行云流水，這讓我很放心，學(xué)生懂了！可是，一周后的一次檢測，有這樣一個(gè)填空題（選擇正確的選擇支），全班竟有的學(xué)生選擇了這個(gè)選擇支：已知向量a，b，c為非零向量，若a·b=a·c，則b=c.

圖1

問題出在哪兒？怪學(xué)生沒有記住練過的那個(gè)習(xí)題的結(jié)論？顯然不能.我問了幾個(gè)出錯(cuò)的同學(xué)，他們給出了一些理由：①?zèng)]細(xì)思考，當(dāng)做實(shí)數(shù)運(yùn)算處理了；②沒弄明白，覺得有點(diǎn)兒像是對(duì)的便選了！其實(shí)，他們并沒有真正弄懂a(chǎn)·b=a·c的含義：從數(shù)的方面看，a·b=a·c?|a||b|cosθ1=|a||c|cosθ2?|b|cosθ1=|c|cosθ2，從形的方面，則意味著向量b和c在向量a上的投影相等（如圖1，顯然a⊥（b-c））.

結(jié)語：從“懂”到“真懂”，需要思維的飛躍.學(xué)生所謂的“懂”，很多時(shí)候只是一種感覺，缺乏具體的衡量標(biāo)準(zhǔn)，懂得多與少、思維層次的深淺等等都是相對(duì)的.從本例來看，學(xué)生剛學(xué)完向量垂直的條件和向量的運(yùn)算，在條件和結(jié)論間相互轉(zhuǎn)換并沒有太大的難度，但是，學(xué)生對(duì)a⊥（b-c）和a·b=a·c的意義及相關(guān)性（等價(jià)性）并沒有進(jìn)行深入的探究，進(jìn)而出現(xiàn)后面的解題錯(cuò)誤.實(shí)際上，如果沒有教師的進(jìn)一步引導(dǎo)，學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的思考恐怕也很難深入.因此，教師在教學(xué)過程中的“導(dǎo)”非常重要，把學(xué)生從“懂”提升到“真懂”，就是一個(gè)把淺層思維導(dǎo)向深層思維的過程，進(jìn)而達(dá)到真正理解的目標(biāo).否則，結(jié)果只可能是只“懂”不“會(huì)”！

例2 在△ABC中，b=

本題是學(xué)完正、余弦定理后的一個(gè)習(xí)題，學(xué)生1展示了她的解題思路：

①欲求a，應(yīng)先求cos A（用余弦定理可求a），或求得sin A（用正弦定理可求a）；

②欲求cos A，sin A，先求sin C，cos C（利用cos A=-cos（B+C）=-cos B cos C+sin B sin C或sin A=sin（B+C））；

③sin C、cos C用正弦定理顯然可求，所以a可求.

實(shí)際上，在解題的思路上，她是正確的，對(duì)于余弦定理、正弦定理的運(yùn)用有了一定程度的理解，可以說她是“會(huì)”了.細(xì)心地檢查，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，她在求sin C時(shí)出了錯(cuò)，正確的是：si，計(jì)算能力的不足，導(dǎo)致最后解題失敗.假如，她沒在求sin C時(shí)出錯(cuò)，后面的運(yùn)算也完全正確的話，她是可以得出正確答案a=4或a=5.

但此處，我引著學(xué)生去反思，她選擇的方法是最好的嗎？結(jié)合已知條件，求a真的必須先求A嗎？有學(xué)生反應(yīng)過來：選擇公式b2=c2+a2-2ca cos B，可以通過解關(guān)于a的一元二次方程，快速得到a=4或a=5.

反思兩種解法，反映出了對(duì)余弦定理在理解上的差異，第一種解法的思路被完全固定在了“求第三邊，必須知道另兩邊和所求邊的對(duì)角”，第二種解法則跳出了這個(gè)框框，轉(zhuǎn)換了思維角度，運(yùn)用方程的思想靈活把握了余弦定理的本質(zhì)“三邊與其中一邊所對(duì)角的關(guān)系”！思維品質(zhì)上了一個(gè)臺(tái)階，選擇了更適合的方法，運(yùn)算量因此銳減！

結(jié)語：從“會(huì)”到“真會(huì)”，還要學(xué)會(huì)對(duì)方法進(jìn)行合理的選擇.選擇的解題方法不同，往往意味著解題過程的繁簡度不同，也直接反映出解題者效率的高低，但本質(zhì)上卻反應(yīng)出學(xué)生對(duì)一個(gè)問題的理解程度！我們可以清晰地看到：從“會(huì)”到“真會(huì)”尚有一段艱難的路要跋涉.

我不經(jīng)意地問：“這下對(duì)了嗎？”“對(duì)了！”聲音非常整齊.我裝著準(zhǔn)備寫下一個(gè)題，突然不放心似地轉(zhuǎn)身問：“真的對(duì)了嗎？”“當(dāng)然！”聲音依然響亮！但我發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有同學(xué)不吱聲了，我決定不點(diǎn)破，知道有人會(huì)用行動(dòng)回答我啦.

第二天課前，我提前來到班上，發(fā)現(xiàn)教室后黑板上已經(jīng)有學(xué)生給出了正確的解答：

因?yàn)閟i舍去，此時(shí)A+B＞π），從而以下略去）

就是這樣一個(gè)常見的問題，經(jīng)過了幾次反復(fù)，才最終“撥云見日”，難怪學(xué)生感嘆：要真正做對(duì)一個(gè)題太不容易！

結(jié)語：從“對(duì)”到“真對(duì)”，需要表達(dá)能力的提升，也需要對(duì)解題過程和結(jié)果進(jìn)行重新審視.從“對(duì)”到“真對(duì)”，不僅要求學(xué)生要真懂，要學(xué)會(huì)選擇解題方法，還要求學(xué)生用批判的眼光審視解題的過程，去偽存真.“真對(duì)”，是有硬性的標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)的，換句話說，“真對(duì)”，太不易.

教學(xué)是教與學(xué)的雙向過程，學(xué)生“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”，既有學(xué)生自身的原因，也有教師教學(xué)方面的原因，兩者如影隨形.

（一）學(xué)生方面的原因分析

第一，知識(shí)“斷面”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和任何其他學(xué)習(xí)一樣，都是一種認(rèn)識(shí)的過程，而認(rèn)識(shí)的過程都是通過自己已知的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來加工新接觸的信息，也就是說從已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取有效的舊知識(shí)以吸取新知識(shí).這就需要找到新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，即它們共通的地方，需要學(xué)生在頭腦中對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行不斷分化和重新組合.但是由于每個(gè)學(xué)生的個(gè)人認(rèn)知情況不同，有的學(xué)生在某一個(gè)問題的學(xué)習(xí)中如果不能順利實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)對(duì)接，就產(chǎn)生思維阻斷.一旦形成障礙，學(xué)生的思維“鏈條”斷裂，對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)只會(huì)停留于“表象”，所謂的“懂”也只是一種表象.

第二，思維“淺層”.根據(jù)英國的S.Pirie和加拿大的T.Kieren提出的數(shù)學(xué)理解動(dòng)態(tài)模型分析，許多學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只停留于模型的第一階段，即“初步了解”.比如，在例1的學(xué)習(xí)中，學(xué)生基本了解了兩向量垂直與向量數(shù)量積為0的關(guān)系，但淺嘗輒止，沒能從“形”的方向深入；基本了解了a·（b-c）=0?a·b-a·c=0?a·b=a·c的推斷，但沒有弄清這種轉(zhuǎn)換的意義，因而當(dāng)同一個(gè)問題a·b=a·c在別的背景中出現(xiàn)時(shí)，形不成有效聯(lián)系.

第三，表達(dá)“障礙”.“說數(shù)學(xué)”是一種重要的數(shù)學(xué)能力，用口說，用筆“說”，都能很好培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言組織、邏輯思維和創(chuàng)新思維能力.然而在教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生不能闡述自己所學(xué)的知識(shí)，往往詞不達(dá)意、邏輯混亂，不能用規(guī)范的語言（文字、符號(hào)等）書寫.究其根源，還是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的來龍去脈沒有厘清，對(duì)所要解決的問題厘不清思路，找不到解決問題的途徑.

第四，方法“單一”.高中新課程新增了“三視圖”，是教學(xué)生多角度審視數(shù)學(xué)問題的好素材.由于學(xué)生對(duì)概念、定理、公式的運(yùn)用條件和知識(shí)背景不熟悉，解題時(shí)很容易抓住一個(gè)貌似可以突破的地方入手，很難做到多角度觀察和思考，找到適合自己的最佳解題路徑，結(jié)果不是處處碰壁就是走了彎路.加之缺乏總結(jié)和反思，在同一問題上反復(fù)碰壁也將成為必然，“盲人摸象”的寓言在他們身上重復(fù)上演.

第五，審視“缺失”.很多學(xué)生沒有真正養(yǎng)成審視解題過程和結(jié)果的習(xí)慣，無法從定性分析和定量運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤.比如，有的學(xué)生解題中出現(xiàn)sin15°+，卻發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤；再比如，例3中，C為△ABC的內(nèi)角，學(xué)生3算出，卻沒有發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤.由于缺乏審視，學(xué)習(xí)過程中的錯(cuò)誤被掩藏了.

我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的真正根源都在于對(duì)知識(shí)沒有真正的理解！

（二）教師教學(xué)方面的原因分析

從教師層面看，教學(xué)缺乏針對(duì)性是造成學(xué)生“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的真正原因.由于實(shí)行師班教學(xué)制，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)任務(wù)太重，一位教師上兩個(gè)班甚至三個(gè)班，面對(duì)一百多位學(xué)生，很容易出現(xiàn)以下兩個(gè)突出問題：一是對(duì)學(xué)生的學(xué)情分析不到位，不清楚學(xué)生學(xué)習(xí)的斷層所在.教學(xué)上趕進(jìn)度、撒大網(wǎng)，備課針對(duì)性不強(qiáng)，不能對(duì)所出現(xiàn)的問題進(jìn)行準(zhǔn)確分析，更談不上準(zhǔn)備充分的、針對(duì)性的材料彌補(bǔ)學(xué)生知識(shí)斷層.二是由于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解需要在反復(fù)的思考和多次琢磨中才能完成，而一個(gè)班級(jí)學(xué)生的基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力差異很大，有的學(xué)生理解一個(gè)問題可在很短的時(shí)間內(nèi)完成，而有的學(xué)生則需要很長時(shí)間，教師很難準(zhǔn)確判定學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解程度.

即便是實(shí)施一些優(yōu)秀的教學(xué)模式和方法，上述兩個(gè)方面的問題也不同程度地存在，需要下大力氣研究才能解決.比如，“先學(xué)后教”教學(xué)模式是對(duì)傳統(tǒng)的“先教后學(xué)、課后作業(yè)”教學(xué)模式的顛覆性改革，倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究、交流展示，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師在整個(gè)教學(xué)的過程中扮演組織者、指導(dǎo)者的角色，相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)有其顯著的優(yōu)點(diǎn).在實(shí)施的過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有一些問題仍然不易解決，如學(xué)生自主學(xué)習(xí)的成果展示的“話語權(quán)”容易掌握在“先行先知者”手中，當(dāng)堂檢測的效果難以準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)和評(píng)判，教師“零散”的點(diǎn)撥難以梳理知識(shí)的來龍去脈、構(gòu)建完整的知識(shí)體系，提升思維水平等等.再比如，“變式訓(xùn)練”作為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)被長期堅(jiān)持，但如果做不到促成學(xué)生思維“漸進(jìn)式”生長，淺層次的“變式訓(xùn)練”，只能是讓學(xué)生“依葫蘆畫瓢”，無法觸及問題的本質(zhì)，引發(fā)深入思考，其結(jié)果是既浪費(fèi)了時(shí)間，又無法真正將學(xué)生的思維引向深入，理解性學(xué)習(xí)成為空談.

三、關(guān)注理解性教學(xué)和學(xué)習(xí)是消減“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的可行途徑

美國國家研究理事會(huì)在《人是如何學(xué)習(xí)的》報(bào)告中，總結(jié)了國際近30年從腦科學(xué)、神經(jīng)科學(xué)、行為科學(xué)、心理學(xué)和教育學(xué)等多個(gè)學(xué)科角度對(duì)人類學(xué)習(xí)的研究成果，提出了學(xué)習(xí)科學(xué)的概念，其中有三條突出的基本學(xué)習(xí)原則：（1）原有的理解；（2）事實(shí)性知識(shí)和概念框架對(duì)理解的作用；（3）自我監(jiān)控的重要性.在此研究基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步地提出了七個(gè)理解性學(xué)習(xí)的原則：（1）圍繞學(xué)科的主要概念和原理形成結(jié)構(gòu)；（2）運(yùn)用已有的知識(shí)建構(gòu)新理解；（3）運(yùn)用元認(rèn)知促進(jìn)學(xué)習(xí)；（4）學(xué)習(xí)者之間存在差異；（5）學(xué)習(xí)者的動(dòng)機(jī)；（6）在實(shí)踐活動(dòng)的情境中學(xué)習(xí)；（7）社會(huì)交互學(xué)習(xí)的共同體.這些原則同樣適合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).新課程改革，倡導(dǎo)建構(gòu)性的學(xué)習(xí)過程觀，把學(xué)習(xí)過程的重點(diǎn)從對(duì)事實(shí)的記憶轉(zhuǎn)向了對(duì)過程的理解.理解性學(xué)習(xí)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也關(guān)注過程的學(xué)習(xí)，重在獲得對(duì)學(xué)科核心概念和原理的深層理解，是一種有效的、有意義的學(xué)習(xí).

“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”的真正癥結(jié)正是在于學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解程度不夠.因此，要消減這種現(xiàn)象，必須關(guān)注理解性學(xué)習(xí)，并把它切切實(shí)實(shí)落實(shí)在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中.

首先，穩(wěn)扎穩(wěn)打練基礎(chǔ).基本知識(shí)是解題的基礎(chǔ)，我們每一位教師都能認(rèn)識(shí)到基礎(chǔ)知識(shí)的重要性，在教學(xué)過程中也都注重打基礎(chǔ)，但是，很多時(shí)候、很多地方我們做得不夠.一些值得推薦的做法有：（1）在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前檢測學(xué)生學(xué)前知識(shí)的掌握程度，它是進(jìn)一步理解的基礎(chǔ)，關(guān)系到學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)；（2）堅(jiān)持“日清”“周清”“月清”；（3）循環(huán)檢測學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度；（4）制訂過關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)，精心編制基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)測試題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逐級(jí)過關(guān)，界定學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握的層次，為進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)提供有信度的依據(jù).這項(xiàng)工作非常重要，不僅要求教師要掌握一定的測量理論，還必須具備非常扎實(shí)的專業(yè)功底，需要教師集體協(xié)作才有可能完成.

其次，活學(xué)活用練方法.基本知識(shí)和方法是分割不開的，前者是解題基礎(chǔ)，后者是解題的策略、手段和途徑，解題反過來又促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化、方法的活化.在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，強(qiáng)化對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題方法訓(xùn)練.“一題多解”并不是說方法越多越好，最重要的是在學(xué)生理解掌握通性通法的基礎(chǔ)上，選擇最適合自己的、最佳的解法并固化下來，反復(fù)訓(xùn)練，才能有效地遷移.以一場經(jīng)典羽毛球賽為例，我們常常驚嘆球員精湛的球技，精準(zhǔn)的擊發(fā)、到位的防守令人嘆為觀止.這一切精彩的表現(xiàn)無不來自于球員艱苦的訓(xùn)練.發(fā)球、勾球、吊球、殺球，無不經(jīng)過千萬次反復(fù)訓(xùn)練，才能做到球到眼到、眼到心到、技由心生.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此.

第三，從從容容提能力.提能力是學(xué)生的期待，也是教師的責(zé)任，教師在提升能力方面起著非常重要的作用.需要強(qiáng)調(diào)的是，不能將打基礎(chǔ)、練方法同能力培養(yǎng)割裂開來，夯實(shí)基礎(chǔ)、熟練方法本身就能使學(xué)生獲得能力，也是學(xué)生進(jìn)一步提高能力的基礎(chǔ).學(xué)生能力的形成是“漸進(jìn)式”的、“動(dòng)態(tài)化”的，因此教師要把握好教學(xué)的進(jìn)度和節(jié)奏，不能因?yàn)榧庇谕瓿山虒W(xué)任務(wù)而加快學(xué)習(xí)進(jìn)度，加大教學(xué)容量，超出學(xué)生理解的程度，而是要適時(shí)地為學(xué)生提供思考的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生擁有思考空間去思考有能力思考的問題，不斷獲得更好的理解.同時(shí)學(xué)生理解力的提高還需要交流和表達(dá)，要讓學(xué)生積極參與交流，表達(dá)自己的觀點(diǎn)和認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)理解的反思，在反思的過程中對(duì)自我認(rèn)知進(jìn)行辨別和調(diào)整，促進(jìn)能力的自然形成和提高.所謂“從從容容”，就是要順其自然，拒絕拔苗助長！

理解是一種復(fù)雜的心理現(xiàn)象，理解性教學(xué)和理解性學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜的過程.通過學(xué)生問題解決的表現(xiàn)去分析學(xué)生的理解程度，找出學(xué)生在理解上存在的困難，分析困難產(chǎn)生的原因，制定相應(yīng)的輔助措施，才能真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，有效消減“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象.總之，懂、會(huì)、對(duì)——在理解中提升！

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