一道解三角形測試題的命制與反思

☉四川省攀枝花市第三高級中學(xué)校 馮蓉波

2017年9月，我接到參加攀枝花市高三第一次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題命制工作的通知.筆者多次參加這種試題的命制工作，但以往主要任務(wù)是壓軸題.四川省從2017年起使用全國卷Ⅲ，風(fēng)格發(fā)生了不小的變化.四川卷難易差距大，基本題簡單，壓軸題難；而全國卷不管大題小題中檔題居多，每題都有較大的思維容量.處在全國卷第17題的三角函數(shù)近幾年均考查與三角形相關(guān)問題，難度中等.對已經(jīng)習(xí)慣多年第17題輕松得分的學(xué)生和老師來說這一題還有點不適應(yīng)，加之從2017年開始，全國卷取消了選考題中的幾何證明選講，這意味著平面幾何的知識和方法將在其他題中體現(xiàn).三角形正好是平面幾何知識與方法的良好載體，數(shù)形結(jié)合思想能得以充分體現(xiàn)，解三角形的試題在高考大題中的地位更加牢固.

一、靈感

三角形的五個“心”是三角形重要的幾何特征，湖南師大沈文選教授曾以三角形的五個“心”為載體，將競賽中的平面幾何問題作了歸類，使學(xué)生對平面幾何的學(xué)習(xí)更有條理.“重心”是高中生最熟悉的，它是三角形三邊中線的交點，一定在三角形內(nèi)；“內(nèi)心”是三角形內(nèi)切圓的圓心，也是三角形內(nèi)角平分線的交點，一定在三角形內(nèi).若能將三角形的重心與內(nèi)心結(jié)合，圖形將豐富而生動，同時學(xué)生也不會感到陌生.

二、尋根

（一）三角形內(nèi)角平分線相關(guān)結(jié)論

《人教版八年級上冊數(shù)學(xué)》第56頁拓廣探索12題［1］：

如圖1，在△ABC中，AD是它的角平分線. 求證：S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

（二）三角形中線長公式

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)人教A版必修5》P20習(xí)題1.2A組13題［2］：△ABC三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，應(yīng)用余弦定理證明：ma=

圖1

（三）2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱

解三角形：（1）正弦定理、余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.（2）應(yīng)用：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量與幾何計算有關(guān)的實際問題［3］.

根據(jù)大綱要求，正弦定理、余弦定理的直接運用就是解三角形，即根據(jù)三角形三個獨立條件（已知三個角除外），求出三角形的其他元素，基本方法是用正弦定理、余弦定理（常常離不開三角形的內(nèi)角和定理、面積公式等知識）［4］；基本方法就是邊角轉(zhuǎn)化，三個獨立條件往往不是直接給定，其中有的通過角的關(guān)系（三角方程）、邊的關(guān)系或邊角關(guān)系來給定，這時也考查了三角恒等變形的知識與方法.

（四）全國卷高考試題

（2015年全國卷Ⅱ第17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（2）若AD=1，求BD和AC的長.

運用課本基本知識與方法來編擬市統(tǒng)考題能追根溯源，運用高考原題的思路，既能體現(xiàn)這一章節(jié)的高考方向，又能考查這一部分基本方法與數(shù)學(xué)思想.

三、命制

（一）確定圖形

根據(jù)三角形全等的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS可確定唯一的三角形，而SSA（邊邊角）可能無解，或一解，或兩解（人教A版必修5P8-P9探究與發(fā)現(xiàn)有詳細討論）［2］.即根據(jù)三角形三個獨立條件（三個角除外），可以讓三角形定下來.由于是高三第一次統(tǒng)考，不能讓問題過于復(fù)雜，先確定一個等腰三角形：如圖2，a=c=2b=4，然后由點A出發(fā)作出中線與內(nèi)角平分線.

圖2

（二）設(shè)問

在圖2中，最引入注目的應(yīng)是△ADE，從△ABC中不能得到任何一個直接的邊或角，所以一定要在△ADE上產(chǎn)生問題，第一感覺是“第（2）問：求△ADE的面積”.

第（1）問是求△ADE的邊長好還是求△ADE的內(nèi)角的三角函數(shù)值呢？求△ADE的內(nèi)角的三角函數(shù)值似乎這三條邊都要求，或利用差角或外角或補角來求，問題變得復(fù)雜.所以還是求△ADE某一邊或線段BE或CE的長好些.若求線段DE、BE或CE的長，第（2）問若求△ADE的面積可直接通過等高的三角形面積比等于底之比來求，變得很單薄.若求AE的長，學(xué)生可能會通過半角公式求出∠EAC的正弦或余弦，在△ACE中用正弦定理來解.而求AD的長直接與課本習(xí)題接軌簡單明了.于是決定將第（1）問設(shè)定為求線段AD的長.

第（2）問是求△ADE的面積還是求△ADE內(nèi)切圓半徑（面積）或外接圓半徑（面積），求△ADE內(nèi)切圓半徑（面積）不僅要求出△ADE的面積，還要求出△ADE的周，其中L為三角形的周長 ）；若求外接圓半徑（面積），則由正弦定理須求出某內(nèi)角的正弦及對邊，主要是求角比較復(fù)雜.于是第（2）問設(shè)定為求△ADE的面積.

（三）推敲

△ABC的三個獨立條件用SSS給出會使問題顯得過于平淡，不便于考查三角恒等變換以及正余弦定理的應(yīng)用.參考2017年全國卷Ⅲ第17題：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin

（1）求c；

（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

△ABC的三個獨立條件用了邊邊角給出，只需用同角關(guān)系求出A角的正切值即可求出角A，比較輕松.模仿2017年全國卷Ⅲ，將“a=4”抹去，直接給出從方程的觀點來看這兩個方程在此三角形中是等價的，可以確定同一個三角形.

第1稿：如圖3，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D，E為線段BC上的點，AD，AE分別過△ABC的重心

與內(nèi)心.已知c=2b=4，tan

（1）求線段AD的長；

（2）求△ADE的面積.

1.推敲1

圖3

已知條件中強調(diào)了△ABC的重心與內(nèi)心，概念性太強.如果學(xué)生不知道這兩個概念，此題將無法入手而得零分，這不是命題人的本意，所以要改變兩個條件的敘述.

第2稿：將第1稿中“AD，AE分別過△ABC的重心與內(nèi)心”直接敘述為“BD=CD，∠BAE=∠CAE”.

2.推敲2

對比2017年全國卷Ⅲ第17題的難度，第（1）問相當(dāng)，但全國卷Ⅲ的第（2）問變化多，如果不用面積比來實現(xiàn)求△ABD的面積，則須解△ABD，△ACD，但這兩個三角形都差一個條件，需建立方程來求解就難了.于該題的第（2）問變化并不多，可直接求底和高，常用思路并不困難，于是對tan的條件進行改變.變?yōu)椤?c cos C=b”.

3.推敲3

方程2c cos C=b中如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)b，c邊的關(guān)系，可直接求出cos，比第2稿更簡潔.但這里考查了學(xué)生

第3稿：將第1稿中的的觀察能力，能觀察得到這一結(jié)論獲得這一結(jié)果是對這類學(xué)生的獎償.若不能觀察出，則可用正弦定理進行邊化角，可得sin2C=sin B，因為b＜c，所以B＜C，所以B＜2C.

因為B，2C∈（0，2π），所以B+2C=π.

因為A+B+C=π，所以A=C.

也可用余弦定理化為（c2+acb2>）=0.

而c2+ac-b2=12+4a＞0，所以a=c.所以a=c=4，

在△ABC中，也可得出cos

第4稿：將第3稿中的方程“2c cos C=b”變成與兩個角相關(guān)的等價條件“sin2C=sin B”.

4.推敲4

將方程“2c cos C=b”變成等價條件“sin2C=sin B”.學(xué)生由正弦定理變成“2c cos C=b”，進而得到cos得非常巧妙！這條路不明朗，可能性小.而用第3稿的方法直接用函數(shù)值相等得到角的方程可能性大.

這兩個條件的取舍上中心組成員也產(chǎn)生了很大的爭執(zhí)，關(guān)鍵是直接給出兩邊是正弦值相等，方向誘導(dǎo)性很強，沒有邊角均有的“2c cos C=b”豐富.也設(shè)法變換成但小題中也出現(xiàn)誘導(dǎo)公式，這種變換也只增加了誘導(dǎo)公式的考查，沒有太大改變.權(quán)衡之下，最終還是選擇了第3稿.

（四）定稿

如圖4，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2b=4，2c cos C=b，D，E為線段BC上的點，且BD=CD，∠BAE=∠CAE.

（1）求線段AD的長；

（2）求△ADE的面積.

圖4

四、解答

（一）第（1）問分兩步

第1步：求a.

方法1：因為2c cos C=b

由余弦定理知，c2=a2+b2-2ab cos C?42=a2+22-2×2×a×

方法3：因為2c cos C=b，所以(c2+ac-b2=12+4a＞0，所以a=c.所以a=c=4.

第2步：求AD的長.

方法1（用中線長公式）：由a=4，得BD=2.

方法2（用余弦定理）：由a=4，得CD=2.

方法2：因為2c cos C=b，由正弦定理得sin2C=sin B.

因為b＜c，所以B＜C，所以B＜2C.

因為B，2C∈（0，2π），所以B+2C=π.

因為A+B+C=π，所以A=C.

所以a=c=4.

（二）第（2）問分兩步

第1步：求DE的長.

方法1（用正弦型面積公式）：因為

所以EC

方法2（用三角形內(nèi)角平分線定理）：如圖5，過點E分別作AC，AB的垂線，垂足分別為F，G.

圖5

圖6

方法3（用相似形）：如圖6，過點C作AB的平行線交AE的延長線于F，則∠BAE=∠F，所以∠EAC=∠F，所以CF=AC.

（下同方法1）

第2步：求△ADE的面積.

方法1（直接求高）：因為2c cos C=b，所以所以△ADE中，DE邊上的高為h=

方法2（用等高的三角形面積比等于底之比）：因為2c cos C=b，所以cos

五、反思

（一）對兩道高考題與本題所用方法歸類

2017年全國卷Ⅲ第17題、2015年全國卷Ⅱ第17題以及本題的第（2）問都運用了同一方法：“等高的三角形的面積比等于底之比.”若推廣為含三角形式的結(jié)論為：

如圖7，在△ABC中，∠BAD=θ，∠CAD=φ.

圖7

在2015年全國卷Ⅱ第17題以及本題中，θ=φ，所以

在2017年全國卷Ⅲ第17題中，θ=90°，φ=30°，

運用這個結(jié)論，所命制的統(tǒng)考題（定稿）還可以通過∠CAE來求∠DAE.

（二）對本題特點分析

本題緊扣教材與考綱，既考查學(xué)生的平面幾何的基本知識與方法，又考查了正弦定理余弦定理的應(yīng)用與三角恒等變換的知識與方法，將三角形的面積比、邊長比、角的正弦值之比有機結(jié)合.難度適中，思維角度廣，解題方法多，也便于老師在考后運用本題對解三角形問題進行分析與歸納.

（三）對本題考試結(jié)果的反饋

本題全市理科平均分為6.2分，作為大題第一題，分數(shù)偏低.第（1）問大多數(shù)學(xué)生還能根據(jù)已知條件應(yīng)用正余弦定理對△ABC和△ABD求解；在第（2）問很多學(xué)生試圖去求△ADE的內(nèi)角來求面積而失敗，未能通過與△ABC的面積比來轉(zhuǎn)化.這是學(xué)生慣性，學(xué)生在題海中固化了這一方法.這說明了高三教師對近幾年高考題考查的方法與思路研究不夠，不能從提高學(xué)生關(guān)鍵能力的角度展開教學(xué)，還在題海之中.在第一次全市教研會上我引用了本題作了關(guān)于三角函數(shù)的微專題復(fù)習(xí)的發(fā)言.

（四）對試題命制的反思

作為命題小組成員，十多年來從模仿到改編，從改編到原創(chuàng)，歷經(jīng)磨難，對自己總是難以滿意.究其原因：一是理論水平不高，二是素材積累不夠.因此，平時應(yīng)反復(fù)理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)，多閱讀與試題命制相關(guān)的理論文章，也多學(xué)習(xí)同行的命題過程與心得，欣賞命題的內(nèi)在本質(zhì)與美，提升自身素養(yǎng).多挖掘核心概念，對教材中的例題、習(xí)題等內(nèi)容進行改編與整合，在課堂上學(xué)生提出的新的觀點、方法收集整理，在教研會上教師之間多交流碰撞，對高考試題鉆研、歸類，對競賽試題與高校自主招生試題多作研究，總會找到新的素材與方法，命制出滿意的試題.

1.人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書八年級上冊數(shù)學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱理科［M］.北京：高等教育出版社，2016.

4.羅增儒.一道2017年高考三角試題的雙面剖析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017（10）.H