陳題改編教學(xué)的實(shí)踐性思考

☉安徽省太和縣第一中學(xué) 吳 振

科學(xué)合理的教學(xué)策略才能促進(jìn)學(xué)生在真正獲得知識(shí)的同時(shí)發(fā)展智能、提高素質(zhì)，學(xué)生充分發(fā)揮主體作用的情況下才能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開(kāi)理解性的學(xué)習(xí)，教師的知識(shí)與講解是無(wú)法代替學(xué)生的理解與主動(dòng)思考的.筆者結(jié)合“數(shù)列極限”復(fù)習(xí)課中的一道“陳題”對(duì)如何提高學(xué)生課堂參與度展開(kāi)了實(shí)踐性的思考與探索.

例題 已知一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)都是1，等差數(shù)列的公差與前n項(xiàng)和分別是d和An；等比數(shù)列的公比與前n項(xiàng)和分別是r（|r|＜1）和Gn，記Sn=G1+G2+…

筆者讓學(xué)生進(jìn)行了嘗試探究之后，結(jié)合自己的巡視組織了師生對(duì)此題的研討與分析.

一、培養(yǎng)興趣

師：字母眾多往往會(huì)給學(xué)生造成繁難的感覺(jué)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的良好結(jié)構(gòu)與完整敘述需要題設(shè)條件、解題依據(jù)、解題方法、題目結(jié)論這四個(gè)要素組成.同學(xué)們，為了解題順利，請(qǐng)你們對(duì)這個(gè)例題改編一下試試看.

生1：已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為4，前n項(xiàng)和是An；一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比是，前n項(xiàng)和是Gn，記Sn=G1+G2+…+Gn.

生2：把生1求極限的設(shè)計(jì)變成比較An和Sn的大小.師：生1的結(jié)論是顯而易見(jiàn)的，生2所設(shè)計(jì)的大小的比較應(yīng)注意0是否恒成立.（n≥2時(shí)，恒成立）

生3：已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為4，前n項(xiàng)和是An；一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比是，前n項(xiàng)和是

生4：條件減弱為一樣可以求出d.

師：生3和生4的結(jié)果相同，不過(guò)，生4將多余的條件刪除掉了.相信大家一定能夠運(yùn)用類(lèi)比的方法改編出有關(guān)求r的題目，這是給大家的課后作業(yè).編題上大家可還有其他想法？

原命題中的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系在一定的改編之后能夠得出新的命題.常用方式有：（1）增加條件；（2）去掉一些條件；（3）條件與結(jié)論互換；（4）更換角度思考與原命題等價(jià)的新命題等.學(xué)生在課堂中的嘗試改編只是條件與結(jié)論的部分互換，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行命題的改編能為學(xué)生提出問(wèn)題創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì).

二、縱深發(fā)展

生5：觀察例題以及前面四位同學(xué)對(duì)例題的改編發(fā)現(xiàn)例題中的3個(gè)“1”之間的關(guān)系，如果1變成a，其他不變，求r，d.

師：很好，生5發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)使得本變式變得更有可操作性，生6的解題思路與結(jié)果也都是對(duì)的.還有其他的改編方法嗎？

生7：我考慮將3個(gè)“1”中的2個(gè)“1”變成a，把存在，探求d與r的關(guān)系.

生8：將等差數(shù)列、等比數(shù)列的首項(xiàng)“1”分別改成a、b，極限值）=1中的“1”也改成a，其他條件不變，求d與r.

生9：我把極限存在，求d與r滿(mǎn)足的關(guān)系式.

師：這三位同學(xué)在題目的改編上研究得更深，不過(guò)解題方法在實(shí)質(zhì)上沒(méi)有多大區(qū)別，其實(shí)“3個(gè)1”可以變化的方式很多，大家課后好好思考.高考試題其實(shí)大多都是根據(jù)一些例題或習(xí)題改編的，因此，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)重視問(wèn)題中的“并”和“串”，并使其中問(wèn)題的來(lái)龍去脈清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，大家在弄明白這些問(wèn)題的本質(zhì)與聯(lián)系之后才能真正做到舉一反三.

對(duì)原命題進(jìn)行改編必須建立在吃透原命題的解題過(guò)程這一基礎(chǔ)之上，在理順解題思路的過(guò)程中從整體上概括出一般性才有可能在一定范圍內(nèi)達(dá)成知識(shí)的遷移與方法的運(yùn)用，然后再根據(jù)一般性要素思考問(wèn)題解決所需要的要素并設(shè)計(jì)出新的問(wèn)題.

三、縱橫聯(lián)系

生10：記得之前我們做過(guò)這樣的題目：首項(xiàng)是1的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，且=9，求an與bn.我認(rèn)為今天的例題是此題改編得到的.

師：很好.數(shù)學(xué)問(wèn)題都具有很多前后左右的聯(lián)系，我們?cè)诜此贾幸朴诼?lián)想.生10在這一點(diǎn)上做得很好.

生11：我覺(jué)得大家改編時(shí)都沒(méi)有涉及|r|＜1這一限制條件，如果去掉這一條件問(wèn)題同樣可求.

師：怎么求？

生11：分類(lèi)討論.

師：太棒了！我們應(yīng)該從生11的思考中得到啟示：題中每個(gè)詞句及其含義都是審題中特別重要的，任何條件的存在自然都有一定的道理，下面請(qǐng)大家探究以下題為實(shí)數(shù)ai（i=1，2，…，n）與a的和方均值，對(duì)于集合A={-1，0，1}，若n=2013，ai∈A（i=1，2，…，2013），和方均值M=，a=1，且a+1a2+…+a2013=2，則a1，a2，…，a2013中零元素有______個(gè).請(qǐng)大家看看此題可有矛盾？若有，在哪里？應(yīng)該怎么糾正？

求證或求解的難度太大或過(guò)于抽象的原命題往往經(jīng)過(guò)一定的特殊化處理更便于學(xué)生解決，有些原命題的解決并不是很難，但對(duì)其進(jìn)行一定的改編能使學(xué)生對(duì)真命題的探索變得更有價(jià)值.

四、方法總結(jié)

數(shù)學(xué)教學(xué)離開(kāi)例題教學(xué)是不完整的，教師應(yīng)在傳統(tǒng)的陳題中精心挑選出有價(jià)值的題目作為例題進(jìn)行教學(xué)并幫助學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與技能的鞏固與掌握，就題論題的教學(xué)一般會(huì)令學(xué)生陷入題海而倍感壓抑，對(duì)原題進(jìn)行深入的探究并進(jìn)行題目?jī)r(jià)值與潛力的開(kāi)發(fā)、挖掘與利用能使學(xué)生融會(huì)貫通地掌握知識(shí)，并在最短的時(shí)間內(nèi)學(xué)會(huì)舉一反三.

陳題改編應(yīng)在反思解題過(guò)程、總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法與思維策略的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭?chuàng)新，這一教學(xué)行為能夠很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究、發(fā)明、創(chuàng)造的一系列潛在意識(shí)，對(duì)原題進(jìn)行改編其實(shí)就是對(duì)原題的開(kāi)發(fā)與挖掘，學(xué)生往往能在充分開(kāi)發(fā)與利用原題潛在價(jià)值的過(guò)程中提升自己的理解能力、想象能力、邏輯思維能力及創(chuàng)造能力，因此原題的改編這一舉措對(duì)于學(xué)生的發(fā)展是極有意義的.

陳題改編的過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)講雖有一定的難度，但也是學(xué)生基本都能勝任的，不過(guò)學(xué)生自主改編出的新命題的真假也就不得而知了.因此，教師在陳題改編的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)促進(jìn)學(xué)生之間的交流討論與思想碰撞，不斷啟發(fā)學(xué)生的思想火花并體驗(yàn)學(xué)習(xí)的信心、興趣與樂(lè)趣，這是改編陳題教學(xué)過(guò)程中最為重要的.

教學(xué)分層與教學(xué)個(gè)性化常常會(huì)在陳題改編的交流與討論中得以實(shí)現(xiàn)，層次性與遞進(jìn)性是陳題改編教學(xué)過(guò)程中尤其應(yīng)該體現(xiàn)的，那些能夠讓學(xué)生“跳一跳”都能夠得上的高度能夠促進(jìn)全體學(xué)生的發(fā)展，同時(shí)，學(xué)生在改編陳題的過(guò)程中也能感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題的由來(lái)以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)想能力也能得到很好的培養(yǎng)，在陳題改編的過(guò)程中逐步樹(shù)立起自覺(jué)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí).

教師在陳題改編之后還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，這一過(guò)程可以簡(jiǎn)單概括為“說(shuō)數(shù)學(xué)”，說(shuō)什么、怎么說(shuō)以及為什么這么說(shuō)都是這一過(guò)程中需要搞清楚的重要內(nèi)容.教師在面對(duì)面的交流中能夠更好地了解學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的差異、思維上的優(yōu)勢(shì)以及認(rèn)知方面的特點(diǎn)與不足，根據(jù)學(xué)生的表述作出及時(shí)的評(píng)價(jià)并對(duì)自己的教學(xué)實(shí)踐作出診斷與反思，從而形成一套更加符合學(xué)生個(gè)性發(fā)展與思維特點(diǎn)的教學(xué)方法.

陳題改編的成果也是需要教師與學(xué)生再次審視與思考的，學(xué)生在重新審視的過(guò)程中能夠更加深刻而清晰地理解原題中的條件和結(jié)論，從而修正他們“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是做數(shù)學(xué)”的錯(cuò)誤認(rèn)知.F