“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

馬 麗

（浙江省諸暨市海亮外國(guó)語學(xué)校）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

加權(quán)平均數(shù)的概念及計(jì)算方法.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十章“數(shù)據(jù)的分析”第一節(jié)第1課時(shí).數(shù)據(jù)的分析是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，也是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在生活、生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.平均數(shù)的產(chǎn)生是解決實(shí)際問題的需要，是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)中最簡(jiǎn)單，也是最基礎(chǔ)的內(nèi)容，學(xué)生在四年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的算術(shù)平均數(shù).本節(jié)課通過招募國(guó)際文化使者引入算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念，讓學(xué)生了解“權(quán)”的差異對(duì)平均數(shù)的影響，認(rèn)識(shí)“權(quán)”的重要性，理解并會(huì)計(jì)算加權(quán)平均數(shù)這一刻畫數(shù)據(jù)平均水平的重要統(tǒng)計(jì)量，建立統(tǒng)計(jì)觀念，為后續(xù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)量中位數(shù)、眾數(shù)、方差，以及用樣本估計(jì)總體等數(shù)據(jù)分析奠定基礎(chǔ).

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：（1）加權(quán)平均數(shù)的意義和作用；（2）用加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的概念；

（2）掌握一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，體會(huì)權(quán)的重要作用；

（3）培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念和應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

2.目標(biāo)解析

（1）通過初賽第（1）小題中的綜合成績(jī)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)同等重要，到第（2）小題中的數(shù)據(jù)有所側(cè)重，通過學(xué)生自主悟權(quán)，理解“權(quán)”的意義，在歸納加權(quán)平均數(shù)概念的過程中，感受歸納推理思想；

（2）通過初賽中第（2）小題和第（3）小題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在實(shí)際問題中體會(huì)個(gè)別數(shù)據(jù)的重要程度不同將如何影響到平均數(shù)，感悟“權(quán)”的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，體會(huì)加權(quán)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)味；

（3）經(jīng)歷復(fù)賽、決賽實(shí)例中對(duì)加權(quán)平均數(shù)的運(yùn)算，讓學(xué)生樹立統(tǒng)計(jì)觀念，提高統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的好習(xí)慣.

三、教學(xué)問題診斷分析

初中階段是學(xué)生智力和心理發(fā)展的關(guān)鍵階段.初中生具備活潑好動(dòng)、好奇、好表現(xiàn)的特點(diǎn)，他們喜歡自主地觀察、親身地感受、適當(dāng)?shù)亟涣?八年級(jí)學(xué)生的邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展，已具備一定的分析、歸納的能力，但對(duì)于較復(fù)雜的平均數(shù)——加權(quán)平均數(shù)的本質(zhì)理解與分析應(yīng)用，還不熟悉問題研究的方向和方法，這需要學(xué)生具備以下幾種能力.（1）問題分析能力.從具體實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念，了解“權(quán)”的差異對(duì)平均數(shù)的影響，難以敘述“權(quán)”的作用；（2）抽象概括能力.借助幾個(gè)加權(quán)平均數(shù)的實(shí)例，通過觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證，并推廣到一般方法，這種能力比較欠缺；（3）統(tǒng)計(jì)分析能力.理解加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，通過實(shí)例感受算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)會(huì)統(tǒng)計(jì)分析，這種能力需要逐步培養(yǎng).

基于上述診斷，本節(jié)課設(shè)置明暗兩條主線，明線中創(chuàng)設(shè)初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)情境，喚醒學(xué)生的參與意識(shí)，突顯學(xué)生主體地位，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，感受“權(quán)”的發(fā)生、發(fā)展過程.暗線均用四字短語將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)情懷、數(shù)學(xué)課堂人文化串成線，兩條主線交相呼應(yīng)，給人一種大珠小珠落玉盤的美感.整體設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生在“初步感受—充分感知—形成方法—理解應(yīng)用—內(nèi)化感悟”的學(xué)習(xí)過程中，理解問題本質(zhì)，培養(yǎng)概括能力，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，提升綜合素養(yǎng).

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是“權(quán)”的意義，以及根據(jù)不同的“權(quán)”做出合理的選擇.

四、教學(xué)支持條件分析

根據(jù)本節(jié)課計(jì)算量大的特點(diǎn)，借助Excel的數(shù)據(jù)處理功能，編輯加權(quán)平均數(shù)的公式，在一體機(jī)上給數(shù)據(jù)賦予不同的“權(quán)”，快速、精準(zhǔn)地展示出不同的計(jì)算結(jié)果，便于學(xué)生直觀地分析問題，提升課堂效率.同時(shí)，激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，培養(yǎng)洞察實(shí)際問題的能力.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.引用音頻，創(chuàng)設(shè)情境

播放海亮外國(guó)語學(xué)校的相關(guān)音頻，借助學(xué)生愛校情懷，引出課堂情境主線，即招募國(guó)際文化使者，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入比賽情境.

2.歸納概念，理解辨析

初賽：八年級(jí)對(duì)小久、小張兩名年級(jí)優(yōu)勝者進(jìn)行了聽、說、讀、寫的英語水平測(cè)試，他們的各項(xiàng)成績(jī)（百分制）如表1所示.

表1

（1）如果年級(jí)組想選派一名綜合能力較強(qiáng)的同學(xué)，計(jì)算這兩名學(xué)生的平均成績(jī)（百分制），從他們的成績(jī)來看，應(yīng)該錄取誰？

此時(shí)應(yīng)該錄取小久.

（2）如果選派一名筆譯能力較強(qiáng)的學(xué)生，聽、說、讀、寫成績(jī)按照2∶1∶3∶4的比例確定，計(jì)算兩名同學(xué)的平均成績(jī)（百分制），從他們的成績(jī)來看，應(yīng)該錄取誰？

解：小久的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

小張的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

此時(shí)應(yīng)該錄取小張.

【設(shè)計(jì)意圖】在這個(gè)環(huán)節(jié)中，問題設(shè)置環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生自主探究，逐步導(dǎo)出預(yù)期的結(jié)果，啟發(fā)式教學(xué)有序展開，學(xué)生對(duì)加權(quán)平均數(shù)的概念初步形成，從而達(dá)到引“權(quán)”入課的目的.

教師引導(dǎo)學(xué)生概括出加權(quán)平均數(shù)的概念，即一般地，若n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，…，wn，則叫做這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】這一環(huán)節(jié)中，概念的形成是通過分析問題，使學(xué)生頭腦中逐步形成加權(quán)平均數(shù)的雛形，教師再引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出加權(quán)平均數(shù)的概念.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)更容易讓學(xué)生理解，并掌握數(shù)學(xué)概念的實(shí)際意義，從而實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

（3）如果想選派一名口語能力較強(qiáng)的學(xué)生，聽、說、讀、寫成績(jī)按照3∶3∶2∶2的比例確定，那么小久、小張兩人誰將被錄??？

解：小久的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

小張的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

此時(shí)應(yīng)該錄取小久.

思考1：將上述問題中的（1）（2）（3）進(jìn)行相比較，你能體會(huì)到權(quán)的作用嗎？

權(quán)反映數(shù)據(jù)的重要程度；權(quán)對(duì)結(jié)果的影響程度不同，權(quán)相同表示同等重要；等等.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步感知算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.在實(shí)際問題情境中體會(huì)個(gè)別數(shù)據(jù)的重要程度不同將如何影響到平均數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入比權(quán)量力的過程.初步了解權(quán)的意義，體會(huì)加權(quán)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)味.

3.運(yùn)用新知，合作學(xué)習(xí)

根據(jù)你對(duì)國(guó)際文化使者的工作性質(zhì)的了解，結(jié)合題目中小久、小張的各項(xiàng)成績(jī)，小組合作選取適當(dāng)?shù)摹皺?quán)”，為學(xué)校選拔一名使者.根據(jù)表2來決策選擇誰.

表2

思考2：加權(quán)平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析中的作用是什么？“權(quán)”的作用是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】此處借助excel的數(shù)據(jù)處理功能，給數(shù)據(jù)賦予不同的“權(quán)”，展示不同的計(jì)算結(jié)果，便于學(xué)生觀察分析，及時(shí)有效地解決權(quán)數(shù)之和不為10的情況，從而更好地體現(xiàn)“權(quán)”的掌控作用，做到真正的定權(quán)納賢.同時(shí)，激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，培養(yǎng)洞察實(shí)際問題的能力.

4.深入感知，體驗(yàn)成功

復(fù)賽：評(píng)委老師將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個(gè)方面為選手打分.各項(xiàng)成績(jī)均按百分制，然后再按演講內(nèi)容占50%、演講能力占40%、演講效果占10%的比例，計(jì)算選手的綜合成績(jī)（百分制）.全校進(jìn)入復(fù)賽的前兩名選手小強(qiáng)、小久的單項(xiàng)成績(jī)?nèi)绫?所示，試確定兩人的名次.

表3

解：小強(qiáng)的最后得分為：

小久的最后得分為：

此時(shí)小久獲得第一名，小強(qiáng)第二名.

【設(shè)計(jì)意圖】以初賽三局兩勝的不同選拔標(biāo)準(zhǔn)為背景，讓學(xué)生感悟權(quán)對(duì)平均值的影響，通過創(chuàng)設(shè)復(fù)賽情境，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)據(jù)“權(quán)”的不同表現(xiàn)形式.保證課堂的整體性與連貫性，利用學(xué)生的好奇心和好勝心，確保課堂教學(xué)自然流暢，使知識(shí)點(diǎn)層層遞進(jìn).

思考3：題中兩名選手的單項(xiàng)成績(jī)都是兩個(gè)95分與一個(gè)85分，為什么他們的最后得分不同呢？從中你能再次體會(huì)到權(quán)的重大作用嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在活動(dòng)中整體理解權(quán)和加權(quán)平均數(shù)，分析“同等”權(quán)的意義，加深對(duì)權(quán)作用的理解，探究權(quán)對(duì)平均數(shù)的影響.

5.課堂小結(jié)，總結(jié)升華

教師首先闡述“數(shù)據(jù)的分析”一章在教材中的重要地位，前后知識(shí)的銜接，以及對(duì)學(xué)生未來發(fā)展的重要作用，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生談心得、談收獲.

【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧和反思，讓學(xué)生對(duì)權(quán)的作用和加權(quán)平均數(shù)的意義有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解；通過學(xué)生歸納和教師釋疑，讓學(xué)生優(yōu)化概念、內(nèi)化知識(shí)，感悟真理真知，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的信心和能力，促進(jìn)良好心理品質(zhì)的形成.

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

（2）教育局最終決定，作為國(guó)際文化使者面試的成績(jī)應(yīng)該比筆試的成績(jī)更重要，并分別賦予它們6和4的權(quán)，現(xiàn)計(jì)算小聰、小久兩人各自的平均成績(jī)，看看誰將被錄取？

思考4：（1）已知小久最終平均數(shù)成績(jī)、筆試成績(jī)、各項(xiàng)的權(quán)，計(jì)算小久的面試成績(jī).

（2）已知小久最終的平均數(shù)成績(jī)、筆試成績(jī)、對(duì)應(yīng)的權(quán)和面試成績(jī)，計(jì)算小久面試成績(jī)的權(quán)重.

【設(shè)計(jì)意圖】在決賽的情境中，教師利用學(xué)生的集體榮譽(yù)感調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，促使他們深入課堂，熱烈討論.在第（1）小題和第（2）小題的檢測(cè)過程中，針對(duì)“同等”概念的剖析，本質(zhì)區(qū)分簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)，學(xué)生靈活篩選，熟練計(jì)算，再次感知權(quán)的重要性，具備權(quán)衡利弊的能力，擁有勝權(quán)在握的信念.思考4的兩個(gè)問題通過對(duì)數(shù)據(jù)的再計(jì)算，增強(qiáng)學(xué)生的技能訓(xùn)練，理解加權(quán)平均數(shù)中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，加強(qiáng)對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用能力，感受統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.

作業(yè)布置：必做題：教材第113頁(yè)練習(xí)2，習(xí)題卷第1，2，3，4題.

選做題：習(xí)題卷第5題.

【設(shè)計(jì)意圖】分層布置作業(yè)，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖形，回顧掌握簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的算法；理解當(dāng)給數(shù)據(jù)賦予不同的權(quán)時(shí)，理解并掌握加權(quán)平均數(shù)的算法；針對(duì)權(quán)的不同表達(dá)形式，理解加權(quán)平均數(shù)中權(quán)的作用和意義.

表4

七、教學(xué)反思

本節(jié)課以問題為起點(diǎn)，以探究、歸納為主線，以思維為核心，注重學(xué)生學(xué)習(xí)方式，遵循由具體到抽象、特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，強(qiáng)調(diào)加權(quán)平均數(shù)中“權(quán)”的重要性在于它反映的是數(shù)據(jù)的相對(duì)重要程度.教師角色始終定位為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的素材和機(jī)會(huì).盡管學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中已初步了解了平均數(shù)的意義，并已經(jīng)接觸到計(jì)算權(quán)數(shù)相等情況下的算術(shù)平均數(shù)，但對(duì)加權(quán)平均數(shù)的意義，以及“權(quán)”的作用理解仍非常困難.教學(xué)中，筆者列舉了貼近學(xué)生生活實(shí)際的例子，通過對(duì)實(shí)際問題的分析和解決來加深學(xué)生對(duì)“權(quán)”的理解和體會(huì)，滲透統(tǒng)計(jì)思想.通過設(shè)計(jì)有思維含量的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)“權(quán)”的意義和作用有更深刻的理解，感悟統(tǒng)計(jì)思想，樹立統(tǒng)計(jì)觀念.本節(jié)課始終圍繞一個(gè)重點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)三個(gè)情境，設(shè)計(jì)四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，有序開展教學(xué)活動(dòng)，尊重教材，堅(jiān)持以生為本的原則，加強(qiáng)學(xué)生內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，優(yōu)化概念，內(nèi)化知識(shí)，勇于挑戰(zhàn)，建立自信，實(shí)現(xiàn)三維教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生在愉悅的課堂環(huán)境中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，擁有數(shù)學(xué)情懷.

參考文獻(xiàn)：

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