在探究過程中學(xué)會(huì)思考
——對(duì)“勾股定理”一課的認(rèn)識(shí)

綦春霞

（北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

作為圖形與幾何的重要內(nèi)容，勾股定理對(duì)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)起著非常重要的作用.執(zhí)教教師的“勾股定理”一課，在設(shè)計(jì)中圍繞著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中“探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題”的要求，給學(xué)生思考、探究和發(fā)現(xiàn)勾股定理結(jié)論提供了機(jī)會(huì).執(zhí)教教師的這節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)有如下三個(gè)特點(diǎn).

一、精準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，并在教學(xué)中得以很好的貫徹

執(zhí)教教師所講授的是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“勾股定理”（第1課時(shí)），根據(jù)教材的安排，將該節(jié)的目標(biāo)確定為：（1）經(jīng)歷勾股定理的探究、證明過程.了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景，通過對(duì)我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.（2）能用勾股定理解決一些簡單問題.

在實(shí)際教學(xué)中，執(zhí)教教師把教學(xué)重點(diǎn)放在了探索勾股定理上.本節(jié)課中一共用了28分鐘的時(shí)間，帶領(lǐng)學(xué)生從多種角度感受并經(jīng)歷勾股定理的探究、證明過程，了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景，并通過對(duì)我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.而在10分鐘左右的時(shí)間內(nèi)，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)勾股定理的簡單應(yīng)用進(jìn)行練習(xí)鞏固，通過學(xué)生的課堂表達(dá)反饋，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握了該定理的運(yùn)用.因此，本節(jié)課重點(diǎn)的把握十分清晰，詳略得當(dāng).

二、教學(xué)過程環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)定理探究的全過程

在整個(gè)教學(xué)過程中，從引入，到定理猜想、定理驗(yàn)證、定理應(yīng)用各個(gè)環(huán)節(jié)自然連貫，上下流暢，體現(xiàn)了勾股定理的發(fā)展過程.

在引入階段，執(zhí)教教師聯(lián)系舊知，直接引入要研究的主題，使得引入能夠直奔主題.

在定理的猜想階段，通過從實(shí)際情境到數(shù)學(xué)問題，從具體到一般化的抽象過程，逐步引導(dǎo)學(xué)生形成猜想.從基于畢達(dá)哥拉斯地磚問題（現(xiàn)實(shí)問題）入手，讓學(xué)生通過對(duì)等腰直角三角形（邊長分別為1和2）三邊面積規(guī)律的探究，用同樣的方法體會(huì)一般直角三角形（邊長為2，3和邊長為a和b）的三邊面積規(guī)律，進(jìn)而猜想出定理.

在定理驗(yàn)證階段，通過切割和面積恒等法對(duì)勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證.進(jìn)一步讓學(xué)生歸納還有沒有其他的驗(yàn)證方法，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

最后結(jié)合具體例子，在帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)勾股定理的應(yīng)用，以及游覽數(shù)學(xué)史長廊的過程中，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.

整個(gè)教學(xué)流程環(huán)環(huán)緊扣，主題明確，始終圍繞著勾股定理的探索過程進(jìn)行，突出是學(xué)生探究的方法和過程性的體驗(yàn).

三、充分利用圖形直觀，發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證勾股定理

圖形作為一種直觀，在學(xué)生理解代數(shù)表達(dá)式中起到非常重要的作用.如果用拼圖構(gòu)造勾股定理，那么學(xué)生就會(huì)較為深刻地掌握這個(gè)定理，就如同學(xué)生用“24點(diǎn)游戲”能更好地理解有理數(shù)混合運(yùn)算一樣.赫布斯特認(rèn)為，欲令學(xué)生參與合理猜想，畫圖、拼圖起著重要的作用，因?yàn)椴僮鞯倪^程中產(chǎn)生了假設(shè)的對(duì)象，學(xué)生可以做出猜想，并證明猜想.

構(gòu)圖本身就是推理的一部分，也是發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證定理的重要手段.學(xué)生將外顯的動(dòng)手操作內(nèi)化為有邏輯的思維活動(dòng)，那么就成功實(shí)現(xiàn)了由直觀到抽象的轉(zhuǎn)變.在執(zhí)教教師的課堂上，我們看到學(xué)生能夠利用切割法和面積恒等法驗(yàn)證勾股定理的思路（圖1、圖2和圖3）.能用拼圖構(gòu)造的方式證明勾股定理，說明學(xué)生深刻掌握了這個(gè)定理及其生成過程，這是本節(jié)課最大的成功.

圖1

圖2

圖3

正是基于學(xué)生的動(dòng)手操作，這為轉(zhuǎn)化為一般化的圖示說明提供了基礎(chǔ).尤其是趙爽弦圖本身就是不太容易想到的方法，教師讓學(xué)生通過拼圖（圖4～圖8），有效地克服了難點(diǎn)，同時(shí)也為向一般化過渡提供了基礎(chǔ).

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

此外，本節(jié)課還把探究延展到了課后.在教學(xué)結(jié)束時(shí)，教師提出了由直角三角形三邊向外作半圓、正多邊形，面積之間等量關(guān)系是否存在的問題，這些問題會(huì)激發(fā)學(xué)生進(jìn)行持續(xù)性探索.

總的來講，執(zhí)教教師對(duì)此課的教學(xué)符合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，關(guān)注了學(xué)生的探索過程、思考過程，注重培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.教師采用多媒體等方式，幫助學(xué)生去理解定理.整節(jié)課詳略得當(dāng)，活動(dòng)設(shè)置合理，學(xué)生課堂參與度高，課堂上生成精彩，是一節(jié)非常優(yōu)秀的示范課.但是教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，本節(jié)課有兩個(gè)方面需要后續(xù)思考.

（1）在引入環(huán)節(jié)，執(zhí)教教師強(qiáng)調(diào)了我們可以從邊的角度去研究直角三角形，但是為什么要通過平方的角度去研究呢？我們?cè)撊绾螌?shí)現(xiàn)從邊長到面積的自然過渡呢？這仍然是該課題難以解決的問題.

（2）在小結(jié)部分，執(zhí)教教師帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史的角度去總結(jié)勾股定理，設(shè)計(jì)十分巧妙、深刻.如果可以讓學(xué)生提前查閱資料，并用講故事的形式進(jìn)行講解，效果可能會(huì)更好.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.